2021年廣西壯族自治區南寧市紅星學校高二數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.拋物線y=﹣4x2的焦點坐標是（）A．（0，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣） D．（﹣，0）參考答案：C【考點】拋物線的簡單性質．【分析】將拋物線方程化為標準方程，確定p的值，即可得到結論．【解答】解：拋物線y=﹣4x2可化為∵2p=，∴∴拋物線y=﹣4x2的焦點坐標是故選C．2.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點，若用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為()

參考答案：：C：由平面基本性質知截面一定過DD1中點，截后剩余幾何體如圖，則其左視圖與C項圖符合，故選C.3.若實數，滿足則的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：D4.在各項均為正數的等比數列中,,則的值是（

）A.1

B.

C.

D.4

參考答案：D5.下列求導運算正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.直線關于軸對稱的直線方程為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C7.已知變量x，y滿足約束條件，則y－2x的取值范圍是（

）A．[－，4]

B．[－，1]

C．[1，4]

D．[－1，1]參考答案：A8.命題“，”的否定為（

）A．，

B．，

C．，

D．，參考答案：C因為，，所以否定為，,

9.在下列命題中，假命題是（

）．A．如果平面內的一條直線垂直于平面內的任一直線，那么B．如果平面內的任意直線平行于平面，那么C．如果平面平面，任取直線，那么必有D．如果平面平面，任取直線，那么必有參考答案：C由，，得，∴是真命題．若內任一條直線都平行于，則與無公共點，由面面平行的定義知，∴是真命題．由，可得，或與相交（垂直或斜交），∴是假命題．若，，則，這是面面平行性質定理，∴是真命題．綜上所述，故選．10.在中，已知，則(

)

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知=（﹣3，2，5），=（1，x，﹣1），若⊥，則x=

．參考答案：4【考點】空間向量的數量積運算．【分析】由題意可得?=﹣8﹣2+3x=0，由此解得x的值．【解答】解：∵=（﹣3，2，5），=（1，x，﹣1），⊥，∴?=0，即﹣3+2x﹣5=0，解得：x=4，故答案為：4．12.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為

cm3參考答案：13.在正方體中，分別為

的中點，則直線與平面所成角的余弦值等于

ks**5u參考答案：略14.若x，y滿足約束條件，則的最大值為

．參考答案：1215.點P為雙曲線上一動點，O為坐標原點，M為線段OP中點，則點M的軌跡方程是

.參考答案：16.把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，對于下列結論正確的有__________．（1）AC⊥BD； （2）△ADC是正三角形；（3）三棱錐C-ABD的體積為a3； （4）AB與平面BCD成角60°．參考答案：（）（）（）∵，，∴面，∴．①正確．，，，為正三角形．②正確．．③正確．與平面所成角．④錯誤．17.有人收集了春節期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關數據如下表：平均氣溫（℃）﹣2﹣3﹣5﹣6銷售額（萬元）20232730根據以上數據，用線性回歸的方法，求得銷售額y與平均氣溫x之間回歸直線方程=bx+a的系數=﹣2.4，則預測平均氣溫為﹣8℃時該商品銷售額為

萬元．參考答案：34.6考點：線性回歸方程．專題：概率與統計．分析：先求出橫標和縱標的平均數，寫出樣本中心點，根據所給的的值，寫出線性回歸方程，把樣本中心點代入求出a的值，再代入數值進行預測．解答： 解：=﹣4，=25，∴這組數據的樣本中心點是（﹣4，25），∵=﹣2.4，∴y=﹣2.4x+a，把樣本中心點代入得a=15.4，∴線性回歸方程是y=﹣2.4x+15.4，當x=﹣8時，y=34.6，故答案為：34.6點評：本題主要考查線性回歸方程，題目的條件告訴了線性回歸方程的系數，省去了利用最小二乘法來計算的過程，是一個基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.證明下列不等式.（1）當時，求證：；（2）設，，若，求證：.參考答案：證明：（1）要證；即證，只要證，只要證，只要證，由于，只要證，最后一個不等式顯然成立，所以；（2）因為，，，所以，，當且僅當，即時，等號成立，所以.

19.（本小題滿分14分）參考答案：

20.（本題滿分9分）已知關于的不等式：的整數解有且僅有一個值為2．（1）求整數的值；（2）在（1）的條件下，解不等式：．參考答案：解：（1）由，得。不等式的整數解為2，，又不等式僅有一個整數解，?！?分(2)即解不等式當時，不等式為不等式的解集為；當時，不等式為不等式的解集為；當時，不等式為不等式的解集為，綜上，不等式的解集為21.（2016秋?廈門期末）拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點F，過點H（3，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于點A，B和點C，D，其中點A，C在x軸上方．（Ⅰ）若點C的坐標為（2，2），求△ABC的面積；（Ⅱ）若p=2，直線BC過點F，求直線CD的方程．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】（Ⅰ）點C（2，2）在拋物線E上，可得4=4p，解得p，可得拋物線E的方程為y2=2x．由AB⊥CD，可得kAB?kCD=﹣1，解得kAB，由直線AB過點H（3，0），可得直線AB方程為y=（x﹣3），設A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線方程聯立化簡得y2﹣4y﹣6=0；可得|AB|=，|CH|，S△ABC=|AB|?|CH|．（Ⅱ）設C（x3，y3），D（x4，y4），則=（x2﹣3，y2），=（x3﹣3，y3），利用AB⊥CD，可得?=x2x3﹣3（x2+x3）+9+y2y3=0．根據直線BC過焦點F（1，0），且直線BC不與x軸平行，設直線BC的方程為x=ty+1，聯立，得y2﹣4ty﹣4=0，利用根與系數的關系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵點C（2，2）在拋物線E上，∴4=4p，p=1，∴拋物線E的方程為y2=2x，∵kCD==﹣2，且AB⊥CD，∴kAB?kCD=﹣1，∴kAB=，又∵直線AB過點H（3，0），∴直線AB方程為y=（x﹣3），設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立，化簡得y2﹣4y﹣6=0；所以△=40＞0，且y1+y2=4，y1?y2=﹣6，此時|AB|==10，|CH|==，∴S△ABC=|AB|?|CH|==5．（Ⅱ）設C（x3，y3），D（x4，y4），則=（x2﹣3，y2），=（x3﹣3，y3），∵AB⊥CD，∴?=（x2﹣3）（x3﹣3）+y2y3=x2x3﹣3（x2+x3）+9+y2y3=0，（1）∵直線BC過焦點F（1，0），且直線BC不與x軸平行，∴設直線BC的方程為x=ty+1，聯立，得y2﹣4ty﹣4=0，△=16t2+16＞0，且y2+y3=4t，y2?y3=﹣4，（2）∴x2+x3=ty2+1+ty3+1=t（y2+y3）+2=4t2+2，x2?x3===1．代入（1）式得：1﹣3（4t2+2）+9﹣4=0，解得t=0，代入（2）式解得：y2=﹣2，y3=2，此時x2=x3=1；∴C（1，2），∴kCD==﹣1，∴直線CD的方程為y=﹣x+3．【點評】本小題考查直線與拋物線的位置關系等基礎知識；考查學生基本運算能力，推理論證能力，運算求解能力；考查學生函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于難題．22.如果有窮數列（為正整數）滿足條件，，…，，即（），我們稱其為“對稱數列”．例如，數列與數列都是“對稱數列”．（1）設是7項的“對稱數列”，其中是等差數列，且，．依次寫出的每一項；（2