2021年湖北省宜昌市清江中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.四棱錐的底面為菱形，側(cè)棱與底面垂直，則側(cè)棱與菱形對角線的關(guān)系是（）．A．平行 B．相交不垂直C．異面垂直 D．相交垂直參考答案：C∵底面，平面，∴，又∵底面為菱形，∴，∴平面，∴，又，異面，所以側(cè)棱與的關(guān)系是異面垂直，故選．2.袋子中裝有大小相同的4個球，其中2個紅球和2個白球．游戲一，從袋中取一個球，若取出的是紅球則甲獲勝，否則乙獲勝；游戲二，從袋中無放回地取一個球后再取一個球，若取出的兩個球同色則甲獲勝，否則乙獲勝，則兩個游戲（）A．只有游戲一公平 B．只有游戲二公平C．兩個游戲都不公平 D．兩個游戲都公平參考答案：A【考點】概率的意義．【分析】由對立事件的概率計算公式求出每一種情況下甲乙勝的概率，比較概率大小得到結(jié)論．【解答】解：袋子中裝有大小相同的4個球，其中2個紅球和2個白球，游戲一，從袋中取一個球，若取出的是紅球的概率為，白球也是，故取出的是紅球則甲獲勝，否則乙獲勝是公平的，游戲二，從袋中無放回地取一個球后再取一個球，若取出的兩個球同色，則甲獲勝的概率為=，則不公平，故選：A．3.若二項式n的展開式中所有項的系數(shù)之和為243，則展開式中x－4的系數(shù)是()A．80

B．40

C．20

D．10

參考答案：A略4.設(shè)函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，且，下面的不等式在R上恒成立的是（

）A．B．

C．

D．參考答案：A略5.設(shè)a是甲拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，則方程x2＋ax＋2＝0有兩個不相等的實數(shù)根的概率為()

參考答案：A略6.設(shè)a，b為實數(shù)，且a+b=3，則2a+2b的最小值是（）A．6 B． C．2 D．8參考答案：B【考點】基本不等式．【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)與冪的運算性質(zhì)，有2a+2b≥2=2，結(jié)合題意a+b=3，代入可得答案．【解答】解：根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，有2a+2b≥2=2，又由a+b=3，則，故選：B．7.若集合，，

A.

B.

C.

D.參考答案：A8.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則C2的離心率是（

）A. B. C. D.參考答案：D【詳解】試題分析：由橢圓與雙曲線的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線的長軸長)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考點：橢圓的幾何性質(zhì)．9.已知拋物線與雙曲線有相同的焦點F，點A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為

()A、

B、

C、

D、參考答案：C略10.已知函數(shù)有且僅有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A. B. C.或 D.參考答案：B【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個極值點，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用函數(shù)大致形狀進(jìn)行求解即可．【詳解】,,,函數(shù)有且僅有一個極值點,上只有一個根，即只有一個正根，即只有一個正根，令，則由可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上遞增，在遞減，當(dāng)時，函數(shù)的極大值也是函數(shù)的最大值為1，時，，當(dāng)時，所以當(dāng)或時，與圖象只有一個交點，即方程只有一個根，故或，當(dāng)時，，可得，且，不是函數(shù)極值點，故舍去.所以故選：B【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，極值，利用函數(shù)圖象的交點判斷方程的根，屬于中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.母線長為1的圓錐的側(cè)面積為，則此圓錐展開圖的中心角為

▲

參考答案：12.設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為：

X-101P0.51-2q

則q=

。參考答案：略13.已知數(shù)列{an}滿足條件a1=–2,an+1=2+,則a5=

參考答案：

14.直線x﹣y+a=0的傾斜角為．參考答案：60°【考點】直線的傾斜角．【專題】計算題；方程思想；演繹法；直線與圓．【分析】由直線的傾斜角α與斜率k的關(guān)系，可以求出α的值．【解答】解：設(shè)直線x﹣y+a=0的傾斜角是α，則直線的方程可化為y=x+a，l的斜率k=tanα=，∵0°≤α＜180°，∴α=60°．故答案為60°．【點評】本題考查了利用直線的斜率求傾斜角的問題，是基礎(chǔ)題．15.函數(shù)f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是．參考答案：﹣5【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，則f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]，由基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，則f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]≤1﹣2=1﹣6=﹣5，當(dāng)且僅當(dāng)lgx=﹣3即x=10﹣3，取得等號，即有f（x）的最大值為﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間上的最大值是．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】對函數(shù)y=x+2cosx進(jìn)行求導(dǎo)，研究函數(shù)在區(qū)間上的極值，本題極大值就是最大值．【解答】解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx令y′=0而x∈則x=，當(dāng)x∈[0，]時，y′＞0．當(dāng)x∈[，]時，y′＜0．所以當(dāng)x=時取極大值，也是最大值；故答案為17.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合P={3，4}，Q={1，3，5}，則P∩（?UQ）=

．參考答案：{4}【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】根據(jù)補集與交集的定義，進(jìn)行運算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合P={3，4}，Q={1，3，5}，所以?UQ={2，4}，所以P∩（?UQ）={4}．故答案為：{4}．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知是等差數(shù)列，其中（Ⅰ）數(shù)列從哪一項開始小于0

；（Ⅱ）求值.參考答案：略19.已知數(shù)列{an}滿足，設(shè).(Ⅰ)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(Ⅱ)求{an}的前項和.參考答案：（1）數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.

（2）∵又∵，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列..........................................................................................5分（2）由（1）∴

①

②①-②得

∴...............................................................................12分20.如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，，，，，G是△ABC重心，E是邊PC上點，且.（1）當(dāng)時，求證：EG∥平面PAB；（2）若PC與平面ABE所成角的正弦值為時，求的值.參考答案：（1）又取AB邊中點M，則M、G、C三點共線且有∴EG∥PM∵EG平面PAB，PM平面PAB∴EG∥平面PAB（2）中：由余弦定理知

所以 故由題意可以A為原點，AC為y軸,平面ABC為xoy平面建系如圖所示則

假設(shè)假設(shè)平面ABE的法向量為由不妨假設(shè) 化簡得：由

所求

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線C2的方程為x2+（y﹣4）2=16．（Ⅰ）求曲線C1的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若曲線θ=（ρ＞0）與曲線C1．C2交于A，B兩點，求|AB|．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；對應(yīng)思想；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（I）利用cos2α+sin2α=1可把曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得極坐標(biāo)方程．（II）把曲線C2的方程x2+（y﹣4）2=16化為極坐標(biāo)方程為：ρ=8sinθ，可得曲線θ=（ρ＞0）與曲線C1交于A：ρ1，與曲線C2交于B點：ρ2．利用|AB|=|ρ2﹣ρ1|即可得出．【解答】解：（I）曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），消去參數(shù)α化為普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得極坐標(biāo)方程：ρ=4sinθ．（II）曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．把曲線C2的方程x2+（y﹣4）2=16化為極坐標(biāo)方程為：ρ=8sinθ，曲線θ=（ρ＞0）與曲線C1交于A：ρ1==2，