2008年抽象代數期末試卷(周振強)

說明：本試卷的R模，均指R是交換環的情況.

一、設:f:M ?N是R模同態，(16分)

.證明下述敘述等價：

f是單同態.

.對任意的R模K，以及R模g,h:K M，如果fg=fh，則有g=h.

.對偶地，證明下述敘述等價：

(a)f是滿同態.

(b)對任意的R模K，以及R模g,h:N W，如果gf=hf，則有g=h.

.證明：若gf為滿同態，則g是滿同態；若gf為單同態，則f是單同態.

二、(18分)

.請敘述自由模的定義，并分別舉出是自由模與非自由模之例.

.設M是主理想整環R上自由模，試問：向量空間中擴充基定理是否成立？即M的基是否可以由其子模的基擴充而得到？若結論成立，證明之，若不成立，請舉反例.

⑶.證明：m是自穌-模的充要條件為m是其循環子模m的內直和,即M=*M，，并且每個子模Mj都同構于R.

三、設A，｛AJ臼是R一模，A是｛AJ臼的直和.(22分)

.試寫出直和的范性定理并繪出交換圖.

.試證明：對于范性圖中的典范入射氣，皆存在一個8產Hom(A,A)，使得

(a)g門=￡，(b)g門=0,jOi，(c)Z門g=￡.

iiAj ji ijA

.試問：直和A，是否滿足直積的交換圖，即對于直和的典范投射族｛七｝臼，任意的對象B及

一族同態｛巴七,

其中.6Hom(B,AJ，是否有下圖可交換:

B ■*A

成立？若成立，不必給出證明，若不成立，請舉出反例，反之，設A是直積，問其是否滿足直和范性圖的性質，若結論為真，亦不必證明，若不然，請舉一反例說明之.

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四、 (22分)

.請敘述正合列的定義，舉一短正合列之例.

.設頊:N M和g:M N是R一模同態，使得gf=8n.證明：f是單

同態，g是滿同態，并且有M=Imf十kerg成立. "

.我們將滿足(2)中條件的f稱為可裂單同態，g稱為可裂滿同態，如果短正合列

0 ?M—M—M ?0

1 2

中f是可裂單同態，g是可裂滿同態，則稱此短正合列為分裂的.試證明：共變Hom(A,__)函子保持可裂正合列.

五、 (22分)

設fg是R一模，若M除了零模和本身之外沒有其他的子模，則稱M為單純R一模.試證明：

.若f:A B是一個R模同態，則f不是零同態就是單同態.

.若g:B A是一個R模同態，則g不是零同態就是滿同態.

.證明(Schur引理)EndRA=Hom^(A,A)是一個除環.

一、 (1)敘述Sylow的三個定理。

利用Sylow定理具體描述s。

3

二、 (1)敘述Zorn引理.

(2)利用Zorn引理證明命題：如果G是有限交換P群，則G是循環群的直和。

三、 (1)給出自由模的定義。

(2)找出一個自由模的例子。

(3)證明：如果V是自由模，則存在一個集合x以及集合的映射l:X—V,使得對任意R-模M以及集合的映射f:X—M，存在唯一的R-模同態，f::V—M，滿足f=fl。

四、 (1)給出內射模的定義及可除模的定義。

（2） 給出Baer判別法。

（3） 給出內射模的兩個等價刻畫并加以證明。

（4） 證明：在主理想整環R上，內射模與可除模是一致的。

五、 記（吃七A為一族左R模。給出模族直積的泛性刻劃，并以其證明（吃七A的積在同