第五章

三角函數(shù)單三恒變本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修1本（A版節(jié)簡單的三角恒等變換于授本節(jié)的內(nèi)容是簡單的角恒等變,要內(nèi)容是利用已有的十一個公式進(jìn)行簡的恒等變換,以及三角恒變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用本節(jié)的內(nèi)容都是例題來展現(xiàn)通過例題的解答,導(dǎo)學(xué)生對變換對象和變換目標(biāo)進(jìn)行對比促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公,何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形,以及變換過程中體現(xiàn)的換元使用公式等屬性思想方法的認(rèn),從而加深理解變換思想,高學(xué)生的推理能力。讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)二角公式出半角公體會其中的a.數(shù)學(xué)抽象公式的應(yīng)用;三角恒等變換的基本思想方法,及進(jìn)行簡單邏輯推:公式之間的聯(lián)系;的應(yīng)用、

c.學(xué)運算運用公式求;了解三角恒等變的特點換技掌握d.觀想象:式的靈活運;三角恒等變換的基本思想方法能利用三角恒e.數(shù)學(xué)建模運用三角公式解決實際問;等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的證明和一些簡單的應(yīng)用、知之間的在聯(lián),培養(yǎng)學(xué)生的思考?xì)w納能力提高其思維靈活.教學(xué)重點體會其中的三角恒等變換的基本思想方以及進(jìn)行簡單的應(yīng)用、教學(xué)難點了解三角恒等變換的特點、變換技,掌三角恒等變換的基本思想方能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的證明和一些簡單的應(yīng)用、多媒體

22=,2222=,222=教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)問題情境提問學(xué)習(xí)了和（差）角式、二倍角公式以后,我們就有了進(jìn)行三角恒等變換的新工具,從而使三角恒等變換的內(nèi)容、思路方法更加豐富、

設(shè)計意圖核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)通過開門見山,提出問題,利用三角解決證明例試表

2

2

2

2

2

2

問題,培養(yǎng)和發(fā)解是的二倍角、在倍角公??????22中以代替以代22替,得2

展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。所以??

2

22

①在倍角公式????2??2中以代替以代替2得2②所以=22將①②兩個等式的左右兩邊分別相得

2

??2

.

通過對三角例結(jié)果還可以表示為公式的靈活運αsin＝

－cosαcos＝_____±2

＋cosα＝±

－cosα＋cosα

用,發(fā)展學(xué)生,直觀想象、數(shù)學(xué)抽α并稱為半角公式,號由所的象限決定。歸總因為不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差而還會存在所包含的角以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差所以進(jìn)行三角恒變換時,常常要先尋找式所包含的各個角之間的聯(lián)并以此為依據(jù)選擇適當(dāng)?shù)墓健⑦@是三角恒等變換的一個重要特點、例８求證:（1）??)(??2

象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)

1??）((??

通過對典型這兩個式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不證明:（１）因為(=????(=??????將以上兩式的左右兩邊分別相得((

①

問題的分析解決,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理,直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素;即??

1

????]（2由1）可得(??(,.設(shè)把,代入,即得??

如果不用（１）的結(jié)如何證歸納總結(jié)例８的證明用到了換元的方法看θ,看,而把包含,??的角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為的角函數(shù)式、或,看作,cos看,把等式看作,的方,原問題轉(zhuǎn)化為解方程（組）求它們都體現(xiàn)了化歸思想、例９求下函數(shù)的周期,大值和最小值（１）;

（２）??、分析:便于求周期和最大值、最小的三角函數(shù)式利用和角公式將其展開,可化為）的形式、反之,用和（差）角公可將??轉(zhuǎn)為??的式進(jìn)而就可以求得其周期和最值了、解（1）??3=（??

）=2??

??????

因此,所求周期為2,大值為,最小值為－２、你能說說①這一步變形的理由（２）??(??,則??=????

22于是??、??22于是

2

2

??

2

所以取A,則??、由??(??可知,所求周期為2最大值為最值為5例10如圖已知是徑為１圓心角為的扇,扇形弧上2的動點ABCD是形的內(nèi)接矩形、記COP＝求當(dāng)角α取值時矩形ABCD的積最大?并出這個最大面積、分析:要求當(dāng)角值,矩形ABCD的積最可二步進(jìn).①找出S與的函數(shù);②由得出的函數(shù)關(guān)系,求的大值解:Rt,OB

,BCsin

.在Rt中,

DA

tan60

,所以,

3BC3

,所以,

ABOA

.設(shè)矩形積為BC

cos

13sin(1cos

22422331313cos322

)

.對于第二步求具體值,要首先確定變量的取值范:由

0

3

得

6

6

56

所以當(dāng)

6

2

即

6

時

33.6因此,當(dāng)

6

時,矩ABCD的面積最,最面積為

36

注（1）在求解最大值時,要特別注意“

0

3

”這一隱含條件;（2應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問,后要回歸到實際問通過三角變換把形如yasin+的數(shù)轉(zhuǎn)化為形如yAsin(函數(shù),從而使問題得到簡化化思想三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)、若α＝α∈0,則cos的為)

通過練習(xí)鞏固本A

630B－D－6

節(jié)所學(xué)知識,

鞏απαα【解析】由意知∈，∴cos＝【答案】

＋cosα＝.

固對三角公式運用,增強學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)α、已知α＝α，π,則等于(

)

抽象學(xué)算、A

B－D、55

邏輯推理的核心素養(yǎng)。α3αα【解析】由知∈ππ∴sin＝

－α＝5【答案】A、已知α－cosα＝,則sinα的等于)A

79B－C、－D、1616【解析】由sinα－cos＝sin－α)α＝所以sin2＝－.

＝－αα1sin

＝θ2444＝θ24444、函數(shù)y＝

sinx＋cos2

x最小正周期、【解析】∵y＝

sinx＋cosx＝sinx＋2＋＝sin2

π12＋＋,2π∴函數(shù)的最小正周期＝＝π.【答案】πθ、求證:4sin2＝＋.θ【證明】法:左邊＝2sinθ2＝2sin(＋cos)＝θ＋2sincos＝＋sinθ＝右邊,所以原式成立、法二:右邊＝＋θcosθ＝2sinθ(＋cos)＝θ·2cos

θθ

＝左邊所以原式成立、、如圖所示,要把半徑為的圓形木料截成長方形,應(yīng)怎樣截取才使△OAB的長最大【精彩點撥】

設(shè)∠＝→建周長lα

→求的最大值【解答】設(shè)＝eq\o\ac(△,,)OAB的長為l則Rα,OBα,∴l(xiāng)＝OAAB＋OB＝＋α＋Rαπ＝R(＋cos)＋R＝sinα＋R.πππ3π∵0<<∴<＋<ππ∴l(xiāng)的大值為2R＋＝(＋R此時α＋＝,＝π即當(dāng)＝時eq\o\ac(△,,)OAB的周長最大、四、小結(jié)、識如何采用兩角和或差的正余弦公式進(jìn)行合角借助三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求值.其中三角函數(shù)最值問題是對三角函數(shù)的概念、圖像和性

學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí),自主總結(jié)知識要點,及運用的思想方法。

以及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、(差)角公式的綜合應(yīng),是函數(shù)思想的具體體現(xiàn).如何科學(xué)的把實問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系;求解三角函數(shù)在一區(qū)間的最值問