2023學年高考數學模擬測試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是函數圖象上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（）A． B． C．0 D．2．已知，其中是虛數單位，則對應的點的坐標為（）A． B． C． D．3．設函數（，）是上的奇函數，若的圖象關于直線對稱，且在區間上是單調函數，則（）A． B． C． D．4．用數學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+15．設分別為的三邊的中點，則（）A． B． C． D．6．第24屆冬奧會將于2023年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環所占面積與單獨五個環面積之和的比值P，某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10，寬為6的長方形奧運會旗內隨機取N個點，經統計落入五環內部及其邊界上的點數為n個，已知圓環半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．7．函數的部分圖像大致為（）A． B．C． D．8．設，，，則的大小關系是()A． B． C． D．9．以下四個命題：①兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近1；②在回歸分析中，可用相關指數的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數據的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關關系的數據，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個數為()A．4 B．3 C．2 D．110．設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（）A． B． C． D．11．已知函數，若對于任意的，函數在內都有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．12．已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A，B兩點，F為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若，則的取值范圍是__14．已知函數，則曲線在處的切線斜率為________.15．函數的定義域為，其圖象如圖所示．函數是定義域為的奇函數，滿足，且當時，．給出下列三個結論：①；②函數在內有且僅有個零點；③不等式的解集為．其中，正確結論的序號是________．16．若函數在區間上有且僅有一個零點，則實數的取值范圍有___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前項和為，且滿足（）.（1）求數列的通項公式；（2）設（），數列的前項和.若對恒成立，求實數，的值.18．（12分）對于非負整數集合（非空），若對任意，或者，或者，則稱為一個好集合．以下記為的元素個數．（1）給出所有的元素均小于的好集合．（給出結論即可）（2）求出所有滿足的好集合．（同時說明理由）（3）若好集合滿足，求證：中存在元素，使得中所有元素均為的整數倍．19．（12分）貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會的標志性指標.黨的十九屆四中全會提出“堅決打贏脫貧攻堅戰，建立解決相對貧困的長效機制”對當前和下一個階段的扶貧工作進行了前瞻性的部署，即2020年要通過精準扶貧全面消除絕對貧困，實現全面建成小康社會的奮斗目標.為了響應黨的號召，某市對口某貧困鄉鎮開展扶貧工作.對某種農產品加工生產銷售進行指導，經調查知，在一個銷售季度內，每售出一噸該產品獲利5萬元，未售出的商品，每噸虧損2萬元.經統計，兩市場以往100個銷售周期該產品的市場需求量的頻數分布如下表：市場：需求量（噸）90100110頻數205030市場：需求量（噸）90100110頻數106030把市場需求量的頻率視為需求量的概率，設該廠在下個銷售周期內生產噸該產品，在、兩市場同時銷售，以（單位：噸）表示下一個銷售周期兩市場的需求量，（單位：萬元）表示下一個銷售周期兩市場的銷售總利潤.（1）求的概率；（2）以銷售利潤的期望為決策依據，確定下個銷售周期內生產量噸還是噸?并說明理由.20．（12分）為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網絡知識問卷調查，每一位學生家長僅有一次參加機會，現對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分服從正態分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數據用該組區間的中點值作為代表）.（1）請利用正態分布的知識求；（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調查的學生家長制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費：②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）概率市食品安全檢測部門預計參加此次活動的家長約5000人，請依據以上數據估計此次活動可能贈送出多少話費？附：①；②若；則，，.21．（12分）（選修4-4：坐標系與參數方程）在平面直角坐標系，已知曲線（為參數），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）過點且與直線平行的直線交于，兩點，求點到，的距離之積．22．（10分）已知橢圓C的中心在坐標原點，其短半軸長為1，一個焦點坐標為，點在橢圓上，點在直線上，且．（1）證明：直線與圓相切；（2）設與橢圓的另一個交點為，當的面積最小時，求的長．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】

先畫出函數圖像和圓，可知，若設，則，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若設圓的圓心為，則，所以只要取得最小值，若設，則，然后構造函數，利用導數求其最小值即可.【題目詳解】記圓的圓心為，設，則，設，記，則，令，因為在上單調遞增，且，所以當時，；當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以（當時等號成立）.故選：C【答案點睛】此題考查的是兩個向量的數量積的最小值，利用了導數求解，考查了轉化思想和運算能力，屬于難題.2、C【答案解析】

利用復數相等的條件求得，，則答案可求．【題目詳解】由，得，．對應的點的坐標為，，．故選：．【答案點睛】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查復數相等的條件，是基礎題．3、D【答案解析】

根據函數為上的奇函數可得，由函數的對稱軸及單調性即可確定的值，進而確定函數的解析式，即可求得的值.【題目詳解】函數（，）是上的奇函數，則，所以.又的圖象關于直線對稱可得，，即，，由函數的單調區間知，，即，綜上，則，.故選：D【答案點睛】本題考查了三角函數的圖象與性質的綜合應用，由對稱軸、奇偶性及單調性確定參數，屬于中檔題.4、C【答案解析】

首先分析題目求用數學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【題目詳解】當n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【答案點睛】本題主要考查數學歸納法，屬于中檔題./5、B【答案解析】

根據題意,畫出幾何圖形,根據向量加法的線性運算即可求解.【題目詳解】根據題意,可得幾何關系如下圖所示:,故選:B【答案點睛】本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎題.6、B【答案解析】

根據比例關系求得會旗中五環所占面積，再計算比值.【題目詳解】設會旗中五環所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【答案點睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.7、A【答案解析】

根據函數解析式，可知的定義域為，通過定義法判斷函數的奇偶性，得出，則為偶函數，可排除選項，觀察選項的圖象，可知代入，解得，排除選項，即可得出答案.【題目詳解】解：因為，所以的定義域為，則，∴為偶函數，圖象關于軸對稱，排除選項，且當時，，排除選項，所以正確.故選：A.【答案點睛】本題考查由函數解析式識別函數圖象，利用函數的奇偶性和特殊值法進行排除.8、A【答案解析】

選取中間值和，利用對數函數，和指數函數的單調性即可求解.【題目詳解】因為對數函數在上單調遞增,所以,因為對數函數在上單調遞減,所以，因為指數函數在上單調遞增,所以,綜上可知,.故選:A【答案點睛】本題考查利用對數函數和指數函數的單調性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.9、C【答案解析】

①根據線性相關性與r的關系進行判斷,

②根據相關指數的值的性質進行判斷,

③根據方差關系進行判斷,

④根據點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數據的中心點，而回歸直線必過樣本中心點，可進行判斷.【題目詳解】①若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數r的絕對值越接近于1,故①正確;

②用相關指數的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯誤;

③若統計數據的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因為點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數據的中心點，即，不一定成立，而回歸直線必過樣本中心點，所以當，時，點必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.【答案點睛】本題考查兩個隨機變量的相關性，擬合性檢驗，兩個線性相關的變量間的方差的關系，以及兩個變量的線性回歸方程，注意理解每一個量的定義，屬于基礎題.10、C【答案解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面積比.【題目詳解】作圖，設與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設，則直線，即，與聯立，解得，從而得到面積比為.故選：【答案點睛】解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯立方程組求解，是一道不錯的綜合題.11、D【答案解析】

將原題等價轉化為方程在內都有兩個不同的根，先求導，可判斷時，，是增函數；當時，，是減函數.因此，再令，求導得，結合韋達定理可知，要滿足題意，只能是存在零點，使得在有解，通過導數可判斷當時，在上是增函數；當時，在上是減函數；則應滿足，再結合，構造函數，求導即可求解；【題目詳解】函數在內都有兩個不同的零點，等價于方程在內都有兩個不同的根.，所以當時，，是增函數；當時，，是減函數.因此.設，，若在無解，則在上是單調函數，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個解.設其解為，當時，在上是增函數；當時，在上是減函數.因為，方程在內有兩個不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因為，所以，代入，得.設，，所以在上是增函數，而，由可得，得.由在上是增函數，得.綜上所述，故選：D.【答案點睛】本題考查由函數零點個數求解參數取值范圍問題，構造函數法，導數法研究函數增減性與最值關系，轉化與化歸能力，屬于難題12、C【答案解析】

方法一：設，利用拋物線的定義判斷出是的中點，結合等腰三角形的性質求得點的橫坐標，根據拋物線的定義求得，進而求得.方法二：設出兩點的橫坐標，由拋物線的定義，結合求得的關系式，聯立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達定理，由此求得，進而求得.【題目詳解】方法一：由題意得拋物線的準線方程為，直線恒過定點，過分別作于，于，連接，由，則，所以點為的中點，又點是的中點，則，所以，又所以由等腰三角形三線合一得點的橫坐標為，所以，所以．方法二：拋物線的準線方程為，直線由題意設兩點橫坐標分別為，則由拋物線定義得又①②由①②得.故選：C【答案點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關系，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

根據分段函數的性質，即可求出的取值范圍.【題目詳解】當時，，，當時，，所以，故的取值范圍是.故答案為：.【答案點睛】本題考查分段函數的性質，已知分段函數解析式求參數范圍，還涉及對數和指數的運算，屬于基礎題.14、【答案解析】

求導后代入可構造方程求得，即為所求斜率.【題目詳解】，，解得：，即在處的切線斜率為.故答案為：.【答案點睛】本題考查切線斜率的求解問題，考查導數的幾何意義，屬于基礎題.15、①③【答案解析】

利用奇函數和，得出函數的周期為，由圖可直接判斷①；利用賦值法求得，結合，進而可判斷函數在內的零點個數，可判斷②的正誤；采用換元法，結合圖象即可得解，可判斷③的正誤.綜合可得出結論.【題目詳解】因為函數是奇函數，所以，又，所以，即，所以，函數的周期為.對于①，由于函數是上的奇函數，所以，，故①正確；對于②，，令，可得，得，所以，函數在區間上的零點為和.因為函數的周期為，所以函數在內有個零點，分別是、、、、，故②錯誤；對于③，令，則需求的解集，由圖象可知，，所以，故③正確.故答案為：①③.【答案點睛】本題考查函數的圖象與性質，涉及奇偶性、周期性和零點等知識點，考查學生分析問題的能力和數形結合能力，屬于中等題．16、或【答案解析】

函數的零點方程的根，求出方程的兩根為，，從而可得或，即或.【題目詳解】函數在區間的零點方程在區間的根，所以，解得：，，因為函數在區間上有且僅有一個零點，所以或，即或.【答案點睛】本題考查函數的零點與方程根的關系，在求含絕對值方程時，要注意對絕對值內數的正負進行討論.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），.【答案解析】

（1）根據數列的通項與前n項和的關系式，即求解數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用等比數列的前n項和公式和裂項法，求得，結合題意，即可求解.【題目詳解】（1）由題意，當時，由，解得；當時，可得，即，顯然當時上式也適合，所以數列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.因為對恒成立，所以，.【答案點睛】本題主要考查了數列的通項公式的求解，等差數列的前n項和公式，以及裂項法求和的應用，其中解答中熟記等差、等比數列的通項公式和前n項和公式，以及合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.18、（1），，，．（2）；證明見解析．（3）證明見解析．【答案解析】

（1）根據好集合的定義列舉即可得到結果；（2）設，其中，由知；由可知或，分別討論兩種情況可的結果；（3）記，則，設，由歸納推理可求得，從而得到，從而得到，可知存在元素滿足題意.【題目詳解】（1），，，．（2）設，其中，則由題意：，故，即，考慮，可知：，或，若，則考慮，，，則，，但此時，，不滿足題意；若，此時，滿足題意，，其中為相異正整數．（3）記，則，首先，，設，其中，分別考慮和其他任一元素，由題意可得：也在中，而，，，對于，考慮，，其和大于，故其差，特別的，，，由，且，，以此類推：，，此時，故中存在元素，使得中所有元素均為的整數倍．【答案點睛】本題考查集合中的新定義問題的求解，關鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求，根據集合元素的要求進行推理說明，對于學生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求，屬于較難題.19、（1）；（2）噸，理由見解析【答案解析】

（1）設“市場需求量為90，100，110噸”分別記為事件，，，“市場需求量為90，100，110噸”分別記為事件，，，由題可得，，，，，，代入，計算可得答案；（2）可取180，190，200，210，220，求出噸和噸時的期望，比較大小即可.【題目詳解】（1）設“市場需求量為90，100，110噸”分別記為事件，，，“市場需求量為90，100，110噸”分別記為事件，，，則，，，，，，；（2）可取180，190，200，210，220，當時，當時，.，時，平均利潤大，所以下個銷售周期內生產量噸.【答案點睛】本題考查離散型隨機變量的期望，是中檔題.20、（1）；（2）估計此次活動可能贈送出100000元話費【答案解析】

（1）根據正態分布的性質可求的值.（2）設某家長參加活動可獲贈話費為元，利用題設條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數額.【題目詳解】（1）根據題中所給的統計表，結合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據題意，某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10，20，30，40元，且每位家長獲得贈送1次、2次話費的概率都為，得10元的情況為低于平均值，概率，得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費；得分不低于平均值，2次均獲贈10元話費，概率，得30元的情況為：