第28課時矩形、菱形、正方形第1頁考點管理第2頁1．矩形判定方法： (1)證實它有______個角是直角； (2)先證實它是平行四邊形，再證實它有______個角是直角； (3)先證實它是平行四邊形，再證實對角線________．2．菱形判定方法： (1)證實它四條邊_______； (2)先證實它是平行四邊形，再證實一組鄰邊________； (3)先證實它是平行四邊形，再證實對角線____________．三一相等相等相等相互垂直第3頁3．正方形判定方法： (1)有一組鄰邊相等矩形是正方形； (2)有一個角是直角菱形是正方形； (3)四條邊相等，四個角也相等四邊形是正方形； (4)對角線相互垂直矩形是正方形； (5)對角線相等菱形是正方形； (6)對角線相等，且相互垂直平分四邊形是正方形．第4頁1．[·寧夏]如圖28－1，已知菱形邊長為6，一個內角為60°，則菱形較短對角線長是______．

圖28－16第5頁2．[·天津]將以下圖形繞其對角線交點逆時針旋轉90°，所得圖形一定與原圖形重合是 (

) A．平行四邊形B．矩形 C．菱形

D．正方形D第6頁3．[·溫州]如圖28－2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O.已知∠AOB＝

60°，AC＝16，則圖中長度為8線段有 (

)

A．2條 B．4條

C．5條 D．6條圖28－2D第7頁4．[·防城港]如圖28－3，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC≠BD，則圖中全等三角形有 (

)

圖28－3 A．4對

B．6對 C．8對

D．10對C第8頁歸類探究類型之一菱形性質與判定

[·遂寧]如圖28－4，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E，F，而且DE＝DF.求證：(1)△ADE≌△CDF；(2)四邊形ABCD是菱形．第9頁圖28－4證實：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C.第10頁∴△ADE≌△CDF(AAS)．(2)∵△ADE≌△CDF，∴AD＝CD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．第11頁圖28－5第12頁【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠B＝∠D＝60°.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴S菱形ABCD＝BC·AE＝CD·AF，∠BAE＝∠DAF＝30°，∴AE＝AF.∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF，∠AEF＝60°.第13頁∵AB＝4，【點悟】菱形四邊相等，有一個角是60°菱形能夠被一條對角線分成兩個等邊三角形．第14頁類型之二矩形性質與判定

[·白銀]如圖28－6，在△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD中點，過A點作BC平行線交CE延長線于點F，且AF＝BD，連結BF.(1)線段BD與CD有何數量關系？為何？(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？請說明理由．圖28－6第15頁解：(1)BD＝CD.理由以下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，又∵E是AD中點，∴AE＝DE.∴△AFE≌△DCE.∴AF＝CD.又∵AF＝BD，∴BD＝CD.(2)△ABC滿足AB＝AC時，四邊形AFBD是矩形．理由以下：第16頁∵AF∥BC，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形．∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.又∵四邊形AFBD是平行四邊形，∴四邊形AFBD是矩形．第17頁[·天津]如圖28－7，在△ABC中，AC＝BC，點D，E分別是邊AB，AC中點，將△ADE繞點E旋轉180°得△CFE，則四邊形ADCF一定是 (

)

圖28－7A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．梯形A第18頁【點悟】證實一個四邊形是矩形，普通慣用方法是：(1)有三個角是直角四邊形；(2)有一個角是直角平行四邊形；(3)對角線相等平行四邊形等．第19頁類型之三正方形性質與判定

[·濟寧]如圖(1)，在正方形ABCD中，E，F分別是邊AD，DC上點，且AF⊥BE.(1)求證：AF＝BE；(2)如圖(2)，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA上點，且MP⊥NQ.MP與NQ是否相等？并說明理由．圖28－8第20頁解：(1)如圖，設AF與BE交于點G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴在Rt△ADF中，∠FAD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，∴Rt△AGE中，∠FAD＋∠AEG＝90°，∴∠AFD＝∠AEG，∴△DAF≌△ABE，∴AF＝BE.第21頁

例3答圖(2)過點A作AF∥MP交CD于點F，過點B作BE∥NQ交AD于點E，得到?BEQN和?AFPM，∴AF＝MP，BE＝NQ，∵BE∥NQ，AF∥MP，MP⊥NQ，∴BE⊥AF.由(1)得AF＝BE，∴MP＝NQ.第22頁[·濰坊]已知正方形ABCD邊長為a，兩條對角線AC，BD相交于點O，P是射線AB上任意一點，過P點分別作直線AC，BD垂線PE，PF，垂足為E，F.

圖28－9第23頁(1)如圖28－9(1)，當P點在線段AB上時，求PE＋PF值；(2)如圖28－9(2)，當P點在線段AB延長線上時，求PE－PF值．解：(1)∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD.∴四邊形PFOE為矩形，故PE＝OF.第24頁(2)∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD.

∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD.

∴四邊形PFOE為矩形，故PE＝OF.【點悟】正方形中含有很多相等邊和角，這些相等邊和角是證實全等有力工具．第25頁類型之四平行四邊形折疊問題

[·常德]如圖28－10，將長方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在D′處，若AB＝3，AD＝4，則ED長為 (

)

圖28－10A第26頁【解析】首先利用勾股定理計算出AC長，再依據折疊可得△DEC≌△D′EC，設ED＝x，則D′E＝x，AD′＝AC－CD′＝2，AE＝4－x，再依據勾股定理可得方程22＋x2＝(4－x)2，再解方程即可．第27頁依據折疊性質可得：△DEC≌△D′EC，∴D′C＝DC＝3，DE＝D′E.設ED＝x，則D′E＝x，AD′＝AC－CD′＝2，AE＝4－x，在Rt△AED′中，AD′2＋ED′2＝AE2，第28頁1．[·成都]如圖28－11，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C與點C′重合．若AB＝2，則C′D長為(

)A．1 B．2C．3 D．4圖28－11B第29頁【解析】在矩形ABCD中，CD＝AB，∵矩形ABCD沿對角線BD折疊后點C和點C′重合，∴C′D＝CD，∴C′D＝AB，∵AB＝2，∴C′D＝2.故選B.第30頁2．如圖28－12，將矩形紙片ABCD四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重合四邊形EFGH，若EH＝12厘米，EF＝16厘米，則邊AD長是 (

)A．12厘米

B．16厘米C．20厘米

D．28厘米圖28－12C第31頁第32頁第33頁

圖28－13C第34頁

第3題答圖由翻折變換性質可知AD＝A′D′，A′H＝AH，D′G＝DG，∴陰影部分周長＝A′D′＋(A′H＋BH)＋BC＋(CG＋D′G)＝AD＋AB＋BC＋CD＝2×4＝8.第35頁4．如圖28－14，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與CD中點重合，若AB＝2，BC＝3，則△FCB′與△B′DG面積之比為 (

)A．9∶4 B．3∶2 C．4∶3 D．16∶9

圖28－14D第36頁第37頁【點悟】折疊實質是軸對稱，折疊前后對應部分重合，即對應角相等，對應邊相等，對應圖形全等．第38頁

特殊平行四邊形判定錯誤診療[·廣州]在平面中，以下命題為真命題是(

)A．四邊相等四邊形是正方形