第1章第2節(jié)

§1.2極限的概念與計(jì)算§1.2.1數(shù)列的極限§1.2.2函數(shù)的極限§1.2.3左極限和右極限§1.2.4無窮小量§1.2.5極限的計(jì)算1第1章第2節(jié)

§1.2極限的概念與計(jì)算§1.2.1數(shù)列的極§2.1數(shù)列的極限引例(割圓術(shù))：古代數(shù)學(xué)家利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積.該方法的思路是： 雖然整個(gè)圓周是彎曲的，但每一段小圓弧卻可以近似的看成直的,即在很小的一段上可以近似地“以直代曲”. 邊)其n值越大,正n邊形就越接近于圓面積.n,AnA.在此例中,先求其近似值,再通過“無限接近”的方法導(dǎo)出準(zhǔn)確值。----極限法。(考察變化趨勢(shì))引例(圓的面積求法:轉(zhuǎn)化為矩形面積)2§2.1數(shù)列的極限引例(割圓術(shù))：古代數(shù)學(xué)家利用圓內(nèi)接正多邊定義：一般地，按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)x1,x2,...,xn,...,稱為數(shù)列,簡(jiǎn)記為{xn}.其中第n項(xiàng)xn稱稱為該數(shù)列的通項(xiàng)。注意1數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2數(shù)列可看作定義在整數(shù)集上的函數(shù)§2.1數(shù)列的極限3定義：一般地，按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)x1,x2,...,xn數(shù)列舉例(1)(2)(3)(4)不趨于一確定值4數(shù)列舉例(1)(2)(3)(4)不趨于一確定值4數(shù)列極限的描述性定義定義：給定數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n無限增大時(shí),xn無限趨近某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{xn}以A為極限，記為：這時(shí)也稱數(shù)列{xn}為收斂的，即當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{xn}收斂于A；否則，如果當(dāng)n無限增大時(shí)，xn不能無限地趨近某個(gè)固定的常數(shù)A，則稱當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{xn}發(fā)散。或xn→A（n→∞）5數(shù)列極限的描述性定義定義：給定數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n無限增大判斷下列數(shù)列是否收斂：6判斷下列數(shù)列是否收斂：6§2.2函數(shù)的極限一.x時(shí)函數(shù)f(x)的極限二.xx0時(shí)函數(shù)f(x)的極限三.函數(shù)極限的其它情形 數(shù)列作為函數(shù)的一種特殊而簡(jiǎn)單的情形,其自變量(下標(biāo))的"無限"變化模式只有一種：越來越大。然而普通函數(shù)f(x)的自變量的變化方式卻多種多樣,如x越來越大、越來越接近定點(diǎn)x0...等等。從而討論函數(shù)值的變化趨勢(shì)就有多種模式。7§2.2函數(shù)的極限一.x時(shí)函數(shù)f(x)的極限7x時(shí)函數(shù)f(x)的極限描述性定義：若當(dāng)自變量的絕對(duì)值|x|無限增大時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近某確定的常數(shù)A.則稱當(dāng)x趨向無窮時(shí)函數(shù)f(x)以A為極限,或f(x)收斂到A,記為例如：018x時(shí)函數(shù)f(x)的極限描述性定義：若當(dāng)自變量的絕對(duì)值|xxx0時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義：若當(dāng)自變量x無限趨近x0（但x≠x0）時(shí),函數(shù)f(x)無限接近某個(gè)確定的常數(shù)A。則稱當(dāng)x趨向x0時(shí)函數(shù)f(x)以A為極限,或f(x)收斂到A,記為利用定義可以容易的估計(jì)出一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限，如：9xx0時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義：若當(dāng)自變量x無限趨近x0（§1.2.3左極限和右極限若x從x0左側(cè)(x<x0)趨近x0(記為xx0-)時(shí),f(x)無限接近常數(shù)A,則稱A為當(dāng)xx0-時(shí)f(x)的左極限;記作若x從x0右側(cè)(x>x0)趨近x0(記為xx0+)時(shí),f(x)無限接近常數(shù)A,則稱A為當(dāng)xx0+時(shí)f(x)的右極限;記作若x無限增大(記為x+)時(shí),f(x)無限接近常數(shù)A,則稱A為當(dāng)x+時(shí)f(x)的極限;記作若-x無限增大(記為x-)時(shí),f(x)無限接近常數(shù)A,則稱A為當(dāng)x-時(shí)f(x)的極限;記作定理:10§1.2.3左極限和右極限若x從x0左側(cè)(x<x0)趨近x0說明：函數(shù)極限與某一點(diǎn)的函數(shù)值無關(guān)，它考察的是隨自變量變化引起相應(yīng)函數(shù)值變化的最終趨勢(shì)。例題與講解例:求下列極限解:(1)12解:(1)(2)(3)11說明：函數(shù)極限與某一點(diǎn)的函數(shù)值無關(guān)，它考察的是隨自變量變化引例題與講解例1不存在在１與－１之間振蕩思考：為多少？是否存在？12例題與講解例1不存在在１與－１之間振蕩思考：為多少？是否存在例題與講解例213例題與講解例213例題與講解左右極限存在但不相等,例4證14例題與講解左右極限存在但不相等,例4證14例題與講解例5解左右極限存在且相等,15例題與講解例5解左右極限存在且相等,15§1.2.4無窮小量一.無窮小量的概念二.無窮小量的性質(zhì)三.無窮小量的比較 前面討論了函數(shù)極限(變化趨勢(shì))的一般情況,下面我們將討論兩類特殊的函數(shù)變化趨勢(shì),它們與一般的函數(shù)極限有著密切關(guān)系。16§1.2.4無窮小量一.無窮小量的概念16無窮小量定義：在自變量的某一變化過程下,以0為極限的函數(shù)(變量)稱無窮小量。常用希臘字母表示。例如:sinx0(x0);cos2x0(x/4).判斷： 10-100是無窮小量嗎？ x、x2是無窮小量嗎？ 0是無窮小量嗎？注意：無窮小量是趨向0的變量,變化趨勢(shì)總是要和自變量的變化過程聯(lián)系在一起。17無窮小量定義：在自變量的某一變化過程下,以0為極限的函數(shù)(變無窮小量性質(zhì)(同一自變量變化過程)性質(zhì)1:有限個(gè)無窮小量之和仍為無窮小量。性質(zhì)2:有限個(gè)無窮小量之積仍為無窮小量。性質(zhì)3:無窮小量與有界量之積仍為無窮小量。性質(zhì)4:無窮小量除以極限不為零的變量,其商仍為無窮小量。注意：上述結(jié)論中"有限個(gè)"不能輕易去掉.比如無限個(gè)無窮小量之和不一定無窮小量。考慮：n個(gè)18無窮小量性質(zhì)(同一自變量變化過程)性質(zhì)1:有限個(gè)無窮小量之例題與講解例：求極限解：|sinx|≤1(有界量).(無窮小量與有界量之積)思考：19例題與講解例：求極限解：|sinx|≤1(有界量).(無窮小§1.2.5極限計(jì)算一.極限的四則運(yùn)算法則二.第一個(gè)重要極限僅憑極限的描述性定義，我們可以直觀的推測(cè)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的極限，但對(duì)較復(fù)雜的函數(shù)要直接判斷它的變化趨勢(shì)就比較困難，甚至無能為力。因而我們需要進(jìn)一步了解極限的性質(zhì)、運(yùn)算復(fù)雜，借助它們?nèi)デ蠼鈴?fù)雜的函數(shù)極限。20§1.2.5極限計(jì)算一.極限的四則運(yùn)算法則20極限的四則運(yùn)算法則定理21極限的四則運(yùn)算法則定理21四則運(yùn)算法則(續(xù)--推論)推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2注意：四則運(yùn)算法則1、2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形。(n可推廣至實(shí)數(shù))22四則運(yùn)算法則(續(xù)--推論)推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面例題與講解例123例題與講解例123例題與講解例224例題與講解例224例題與講解例3解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得25例題與講解例3解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得25例題與講解例4未定型方法：約去零因子法不可利用法則326例題與講解例4未定型方法：約去零因子法不可利用法則326例題與講解例5例627例題與講解例5例627n時(shí)有理分式極限小結(jié)無窮小分出法以自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.28n時(shí)有理分式極限小結(jié)無窮小分出法以自變量的最高次冪除例題與講解例7解先變形再求極限.29例題與講解例7解先變形再求極限.29例題與講解例8例9例1030例題與講解例8例9例1030例題與講解例11不存在不可直接用法則有界函數(shù)根據(jù)無窮小乘以有界函數(shù)仍是無窮小．是當(dāng)時(shí)的無窮小量．所以無窮小有界函數(shù)無窮小

31例題與講解例11不存在不可直接用法則有界函數(shù)根據(jù)無窮小乘以有例題與講解例12從條件求常數(shù)32例題與講解例12從條件求常數(shù)32二.兩個(gè)重要的極限 盡管有了極限的四則運(yùn)算法則能解決不少問題,但是仍有許多復(fù)雜函數(shù)求極限很困難。其中有兩類問題頗具代表性，對(duì)它們進(jìn)行專門研究，發(fā)展出兩個(gè)重要極限。利用這兩個(gè)極限的結(jié)論又能處理不少問題。為了領(lǐng)會(huì)這兩個(gè)極限,我們先探討一下極限存在定理。33二.兩個(gè)重要的極限33第一個(gè)重要極限1.34第一個(gè)重要極限1.34關(guān)于重要極限1的說明注1型(含三角函數(shù))注2為弧度注3在形式上完全一致，且注4如：35關(guān)于重要極限1的說明注1型(含三角函數(shù))注2為弧度注3在形式例題與講解例3例4例5注意區(qū)別：36例題與講解例3例4例5注意區(qū)別：36第二個(gè)重要極限2證明的基本思路：有界，所以存在，記為單調(diào)增，再由(其中n=[x])用夾逼定理可證37第二個(gè)重要極限2證明的基本思路：有界，所以存在，記為單調(diào)增，關(guān)于重要極限2的說明注1注2在形式上完全一致,且可以如：38關(guān)于重要極限2的說明注1注2在形式上完全一致,且可以如：38例題與講解例6例7例8例9例1039例題與講解例6例7例8例9例1039§2.1數(shù)列的極限40§2.1數(shù)列的極限404141424243434444454546464747484849495050515152525353545455555656575758585959606061616262636364646565666667676868696970707171繼續(xù)72繼續(xù)72分的份數(shù)越多,拼成的圖形就越接近于長方形73分的份數(shù)越737474757576767777787879798080818182828383848485858686878788888989繼續(xù)90繼續(xù)9091919292939394949595969697979898繼續(xù)99繼續(xù)99長=r

寬=r繼續(xù)100長=r寬=r繼續(xù)100長=r寬=r如果圓的半徑為r，你能算出圓的面積嗎？繼續(xù)回到第3頁101長=r寬=r如果圓的半徑為r，繼續(xù)回到第3頁101第1章第2節(jié)

§1.2極限的概念與計(jì)算§1.2.1數(shù)列的極限§1.2.2函數(shù)的極限§1.2.3左極限和右極限§1.2.4無窮小量§1.2.5極限的計(jì)算102第1章第2節(jié)

§1.2極限的概念與計(jì)算§1.2.1數(shù)列的極§2.1數(shù)列的極限引例(割圓術(shù))：古代數(shù)學(xué)家利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積.該方法的思路是： 雖然整個(gè)圓周是彎曲的，但每一段小圓弧卻可以近似的看成直的,即在很小的一段上可以近似地“以直代曲”. 邊)其n值越大,正n邊形就越接近于圓面積.n,AnA.在此例中,先求其近似值,再通過“無限接近”的方法導(dǎo)出準(zhǔn)確值。----極限法。(考察變化趨勢(shì))引例(圓的面積求法:轉(zhuǎn)化為矩形面積)103§2.1數(shù)列的極限引例(割圓術(shù))：古代數(shù)學(xué)家利用圓內(nèi)接正多邊定義：一般地，按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)x1,x2,...,xn,...,稱為數(shù)列,簡(jiǎn)記為{xn}.其中第n項(xiàng)xn稱稱為該數(shù)列的通項(xiàng)。注意1數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2數(shù)列可看作定義在整數(shù)集上的函數(shù)§2.1數(shù)列的極限104定義：一般地，按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)x1,x2,...,xn數(shù)列舉例(1)(2)(3)(4)不趨于一確定值105數(shù)列舉例(1)(2)(3)(4)不趨于一確定值4數(shù)列極限的描述性定義定義：給定數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n無限增大時(shí),xn無限趨近某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{xn}以A為極限，記為：這時(shí)也稱數(shù)列{xn}為收斂的，即當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{xn}收斂于A；否則，如果當(dāng)n無限增大時(shí)，xn不能無限地趨近某個(gè)固定的常數(shù)A，則稱當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{xn}發(fā)散。或xn→A（n→∞）106數(shù)列極限的描述性定義定義：給定數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n無限增大判斷下列數(shù)列是否收斂：107判斷下列數(shù)列是否收斂：6§2.2函數(shù)的極限一.x時(shí)函數(shù)f(x)的極限二.xx0時(shí)函數(shù)f(x)的極限三.函數(shù)極限的其它情形 數(shù)列作為函數(shù)的一種特殊而簡(jiǎn)單的情形,其自變量(下標(biāo))的"無限"變化模式只有一種：越來越大。然而普通函數(shù)f(x)的自變量的變化方式卻多種多樣,如x越來越大、越來越接近定點(diǎn)x0...等等。從而討論函數(shù)值的變化趨勢(shì)就有多種模式。108§2.2函數(shù)的極限一.x時(shí)函數(shù)f(x)的極限7x時(shí)函數(shù)f(x)的極限描述性定義：若當(dāng)自變量的絕對(duì)值|x|無限增大時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近某確定的常數(shù)A.則稱當(dāng)x趨向無窮時(shí)函數(shù)f(x)以A為極限,或f(x)收斂到A,記為例如：01109x時(shí)函數(shù)f(x)的極限描述性定義：若當(dāng)自變量的絕對(duì)值|xxx0時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義：若當(dāng)自變量x無限趨近x0（但x≠x0）時(shí),函數(shù)f(x)無限接近某個(gè)確定的常數(shù)A。則稱當(dāng)x趨向x0時(shí)函數(shù)f(x)以A為極限,或f(x)收斂到A,記為利用定義可以容易的估計(jì)出一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限，如：110xx0時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義：若當(dāng)自變量x無限趨近x0（§1.2.3左極限和右極限若x從x0左側(cè)(x<x0)趨近x0(記為xx0-)時(shí),f(x)無限接近常數(shù)A,則稱A為當(dāng)xx0-時(shí)f(x)的左極限;記作若x從x0右側(cè)(x>x0)趨近x0(記為xx0+)時(shí),f(x)無限接近常數(shù)A,則稱A為當(dāng)xx0+時(shí)f(x)的右極限;記作若x無限增大(記為x+)時(shí),f(x)無限接近常數(shù)A,則稱A為當(dāng)x+時(shí)f(x)的極限;記作若-x無限增大(記為x-)時(shí),f(x)無限接近常數(shù)A,則稱A為當(dāng)x-時(shí)f(x)的極限;記作定理:111§1.2.3左極限和右極限若x從x0左側(cè)(x<x0)趨近x0說明：函數(shù)極限與某一點(diǎn)的函數(shù)值無關(guān)，它考察的是隨自變量變化引起相應(yīng)函數(shù)值變化的最終趨勢(shì)。例題與講解例:求下列極限解:(1)12解:(1)(2)(3)112說明：函數(shù)極限與某一點(diǎn)的函數(shù)值無關(guān)，它考察的是隨自變量變化引例題與講解例1不存在在１與－１之間振蕩思考：為多少？是否存在？113例題與講解例1不存在在１與－１之間振蕩思考：為多少？是否存在例題與講解例2114例題與講解例213例題與講解左右極限存在但不相等,例4證115例題與講解左右極限存在但不相等,例4證14例題與講解例5解左右極限存在且相等,116例題與講解例5解左右極限存在且相等,15§1.2.4無窮小量一.無窮小量的概念二.無窮小量的性質(zhì)三.無窮小量的比較 前面討論了函數(shù)極限(變化趨勢(shì))的一般情況,下面我們將討論兩類特殊的函數(shù)變化趨勢(shì),它們與一般的函數(shù)極限有著密切關(guān)系。117§1.2.4無窮小量一.無窮小量的概念16無窮小量定義：在自變量的某一變化過程下,以0為極限的函數(shù)(變量)稱無窮小量。常用希臘字母表示。例如:sinx0(x0);cos2x0(x/4).判斷： 10-100是無窮小量嗎？ x、x2是無窮小量嗎？ 0是無窮小量嗎？注意：無窮小量是趨向0的變量,變化趨勢(shì)總是要和自變量的變化過程聯(lián)系在一起。118無窮小量定義：在自變量的某一變化過程下,以0為極限的函數(shù)(變無窮小量性質(zhì)(同一自變量變化過程)性質(zhì)1:有限個(gè)無窮小量之和仍為無窮小量。性質(zhì)2:有限個(gè)無窮小量之積仍為無窮小量。性質(zhì)3:無窮小量與有界量之積仍為無窮小量。性質(zhì)4:無窮小量除以極限不為零的變量,其商仍為無窮小量。注意：上述結(jié)論中"有限個(gè)"不能輕易去掉.比如無限個(gè)無窮小量之和不一定無窮小量。考慮：n個(gè)119無窮小量性質(zhì)(同一自變量變化過程)性質(zhì)1:有限個(gè)無窮小量之例題與講解例：求極限解：|sinx|≤1(有界量).(無窮小量與有界量之積)思考：120例題與講解例：求極限解：|sinx|≤1(有界量).(無窮小§1.2.5極限計(jì)算一.極限的四則運(yùn)算法則二.第一個(gè)重要極限僅憑極限的描述性定義，我們可以直觀的推測(cè)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的極限，但對(duì)較復(fù)雜的函數(shù)要直接判斷它的變化趨勢(shì)就比較困難，甚至無能為力。因而我們需要進(jìn)一步了解極限的性質(zhì)、運(yùn)算復(fù)雜，借助它們?nèi)デ蠼鈴?fù)雜的函數(shù)極限。121§1.2.5極限計(jì)算一.極限的四則運(yùn)算法則20極限的四則運(yùn)算法則定理122極限的四則運(yùn)算法則定理21四則運(yùn)算法則(續(xù)--推論)推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2注意：四則運(yùn)算法則1、2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形。(n可推廣至實(shí)數(shù))123四則運(yùn)算法則(續(xù)--推論)推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面例題與講解例1124例題與講解例123例題與講解例2125例題與講解例224例題與講解例3解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得126例題與講解例3解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得25例題與講解例4未定型方法：約去零因子法不可利用法則3127例題與講解例4未定型方法：約去零因子法不可利用法則326例題與講解例5例6128例題與講解例5例627n時(shí)有理分式極限小結(jié)無窮小分出法以自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.129n時(shí)有理分式極限小結(jié)無窮小分出法以自變量的最高次冪除例題與講解例7解先變形再求極限.130例題與講解例7解先變形再求極限.29例題與講解例8例9例10131例題與講解例8例9例1030例題與講解例11不存在不可直接用法則有界函數(shù)根據(jù)無窮小乘以有界函數(shù)仍是無窮小．是當(dāng)時(shí)的無窮小量．所以無窮小有界函數(shù)無窮小

132例題與講解例11不存在不可直接用法則有界函數(shù)根據(jù)無窮小乘以有例題與講解例12從條件求常數(shù)133例題與講解例12從條件求常數(shù)32二.兩個(gè)重要的極限 盡管有了極限的四則運(yùn)算法則能解決不少問題,但是仍有許多復(fù)雜函數(shù)求極限很困難。其中有兩類問題頗具代表性，對(duì)它們進(jìn)行專門研究，發(fā)展出兩個(gè)重要極限。利用這兩個(gè)極限的結(jié)論又能處理不少問題。為了領(lǐng)會(huì)這兩個(gè)極限,我們先探討一下極限存在定理。134二.兩個(gè)重要的極限33第一個(gè)重要極限1.135第一個(gè)重要極限