2023學年高考數學模擬測試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若函數在上有3個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知分別為雙曲線的左、右焦點，點是其一條漸近線上一點，且以為直徑的圓經過點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領域的語音識別、人臉識別，數據分析、機器學習、服務器開發五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學習，其中劉澤同學學習人臉識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種4．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．5．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a6．若點是角的終邊上一點，則（）A． B． C． D．7．已知函數（），若函數有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知展開式的二項式系數和與展開式中常數項相等，則項系數為（）A．10 B．32 C．40 D．809．若函數有且僅有一個零點，則實數的值為（）A． B． C． D．10．一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區別），任取球，記其中黑球數為，則為（）A． B． C． D．11．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．12．函數f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若將該函數的圖象向右平移個單位后得到的函數圖象關于直線x＝對稱，則函數f(x)的解析式為（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．成都市某次高三統考，成績X經統計分析，近似服從正態分布，且，若該市有人參考，則估計成都市該次統考中成績大于分的人數為_____．14．已知復數，其中為虛數單位，若復數為純虛數，則實數的值是__．15．（5分）如圖是一個算法的流程圖，若輸出的值是，則輸入的值為____________．16．已知，，則與的夾角為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系.已知點的直角坐標為，過的直線與曲線相交于，兩點.（1）若的斜率為2，求的極坐標方程和曲線的普通方程；（2）求的值.18．（12分）如圖，底面ABCD是邊長為2的菱形，，平面ABCD，，，BE與平面ABCD所成的角為.（1）求證：平面平面BDE；（2）求二面角B-EF-D的余弦值.19．（12分）團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式，不少商家同時加入多家團購網.現恰有三個團購網站在市開展了團購業務，市某調查公司為調查這三家團購網站在本市的開展情況，從本市已加入了團購網站的商家中隨機地抽取了50家進行調查，他們加入這三家團購網站的情況如下圖所示.（1）從所調查的50家商家中任選兩家，求他們加入團購網站的數量不相等的概率；（2）從所調查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團購網站數量之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數學期望；（3）將頻率視為概率，現從市隨機抽取3家已加入團購網站的商家，記其中恰好加入了兩個團購網站的商家數為，試求事件“”的概率.20．（12分）已知橢圓：的長半軸長為，點（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，為直線上任一點，過點橢圓上點處的切線為，，切點分別，，直線與直線，分別交于，兩點，點，的縱坐標分別為，，求的值.21．（12分）已知函數.（1）當a=2時，求不等式的解集；（2）設函數.當時，，求的取值范圍.22．（10分）已知橢圓的右焦點為,過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為為坐標原點.（1）證明:點在軸的右側;（2）設線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點.若與的面積相等,求直線的斜率

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

根據分段函數，分當，，將問題轉化為的零點問題，用數形結合的方法研究.【題目詳解】當時，，令，在是增函數，時，有一個零點，當時，，令當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當時，有2個零點，如圖所示：所以實數的取值范圍為綜上可得實數的取值范圍為，故選：B【答案點睛】本題主要考查了函數的零點問題，還考查了數形結合的思想和轉化問題的能力，屬于中檔題.2、B【答案解析】

根據題意，設點在第一象限，求出此坐標，再利用三角形的面積即可得到結論.【題目詳解】由題意，設點在第一象限，雙曲線的一條漸近線方程為，所以，，又以為直徑的圓經過點，則，即，解得，，所以，，即，即，所以，雙曲線的離心率為.故選：B.【答案點睛】本題主要考查雙曲線的離心率，解決本題的關鍵在于求出與的關系，屬于基礎題.3、B【答案解析】

將人臉識別方向的人數分成：有人、有人兩種情況進行分類討論，結合捆綁計算出不同的分配方法數.【題目詳解】當人臉識別方向有2人時，有種，當人臉識別方向有1人時，有種，∴共有360種.故選：B【答案點睛】本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數學思想方法，屬于基礎題.4、A【答案解析】

設坐標，根據向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【題目詳解】設，，其中，，即關于軸對稱故選：【答案點睛】本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數量積運算；關鍵是利用動點坐標表示出變量，根據平面向量數量積的坐標運算可整理得軌跡方程.5、C【答案解析】

兩復數相等，實部與虛部對應相等.【題目詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【答案點睛】本題考查復數的概念，屬于基礎題.6、A【答案解析】

根據三角函數的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【題目詳解】由題意，點是角的終邊上一點，根據三角函數的定義，可得，則，故選A.【答案點睛】本題主要考查了三角函數的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中根據三角函數的定義和正弦的倍角公式，準確化簡、計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7、A【答案解析】

分段求解函數零點，數形結合，分類討論即可求得結果.【題目詳解】作出和，的圖像如下所示：函數有三個零點，等價于與有三個交點，又因為，且由圖可知，當時與有兩個交點，故只需當時，與有一個交點即可.若當時，時，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??，故滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點，故不滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點，故不滿足題意；時，顯然與有一個交點，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【答案點睛】本題考查由函數零點的個數求參數范圍，屬中檔題.8、D【答案解析】

根據二項式定理通項公式可得常數項，然后二項式系數和，可得，最后依據，可得結果.【題目詳解】由題可知：當時，常數項為又展開式的二項式系數和為由所以當時，所以項系數為故選：D【答案點睛】本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細心計算，屬基礎題.9、D【答案解析】

推導出函數的圖象關于直線對稱，由題意得出，進而可求得實數的值，并對的值進行檢驗，即可得出結果.【題目詳解】，則，，，所以，函數的圖象關于直線對稱.若函數的零點不為，則該函數的零點必成對出現，不合題意.所以，，即，解得或.①當時，令，得，作出函數與函數的圖象如下圖所示：此時，函數與函數的圖象有三個交點，不合乎題意；②當時，，，當且僅當時，等號成立，則函數有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【答案點睛】本題考查利用函數的零點個數求參數，考查函數圖象對稱性的應用，解答的關鍵就是推導出，在求出參數后要對參數的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10、A【答案解析】

由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得隨機變量的數學期望值.【題目詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機變量的數學期望為.故選：A.【答案點睛】本題考查隨機變量數學期望的計算，考查計算能力，屬于基礎題.11、A【答案解析】

首先找出與面所成角，根據所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據同角三角函數關系求出所成角的正弦值.【題目詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設中點為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【答案點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.12、D【答案解析】

由函數的周期求得，再由平移后的函數圖像關于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.【題目詳解】分析：由函數的周期求得，再由平移后的函數圖像關于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.詳解：因為函數的最小正周期是，所以，解得，所以，將該函數的圖像向右平移個單位后，得到圖像所對應的函數解析式為，由此函數圖像關于直線對稱，得：，即，取，得，滿足，所以函數的解析式為，故選D.【答案點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及函數的解析式的求解，其中解答中根據三角函數的圖象變換得到，再根據三角函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【答案解析】

根據正態分布密度曲線性質，結合求得，即可得解.【題目詳解】根據正態分布，且，所以故該市有人參考，則估計成都市該次統考中成績大于分的人數為．故答案為：．【答案點睛】此題考查正態分布密度曲線性質的理解辨析，根據曲線的對稱性求解概率，根據總人數求解成績大于114的人數.14、2【答案解析】

由題，得，然后根據純虛數的定義，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得，又復數為純虛數，所以，解得.故答案為：2【答案點睛】本題主要考查純虛數定義的應用，屬基礎題.15、或【答案解析】

依題意，當時，由，即，解得；當時，由，解得或(舍去)．綜上，得或．16、【答案解析】

根據已知條件，去括號得：，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）：，：；（2）【答案解析】

（1）根據點斜式寫出直線的直角坐標方程，并轉化為極坐標方程，利用，將曲線的參數方程轉化為普通方程.（2）將直線的參數方程代入曲線的普通方程，結合直線參數的幾何意義以及根與系數關系，求得的值.【題目詳解】（1）的直角坐標方程為，即，則的極坐標方程為.曲線的普通方程為.（2）直線的參數方程為（為參數，為的傾斜角），代入曲線的普通方程，得.設，對應的參數分別為，，所以，在的兩側.則.【答案點睛】本小題主要考查直角坐標化為極坐標，考查參數方程化為普通方程，考查直線參數方程，考查直線參數的幾何意義，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）【答案解析】

（1）要證明平面平面BDE，只需在平面內找一條直線垂直平面BDE即可；（2）以O為坐標原點，OA，OB，OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系，分別求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.【題目詳解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形，∴.∵，∴平面BDE，設AC，BD交于O，取BE的中點G，連FG，OG，，，四邊形OCFG是平行四邊形，平面BDE∴平面BDE，又因平面BEF，∴平面平面BDE.（2）以O為坐標原點，OA，OB，OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系∵BE與平面ABCD所成的角為，，，，，，.，設平面BEF的法向量為，，，設平面的法向量設二面角的大小為..【答案點睛】本題考查線面垂直證面面垂直、面面所成角的計算，考查學生的計算能力，解決此類問題最關鍵是準確寫出點的坐標，是一道中檔題.19、（1）;（2）從而的分布列為012;（3）.【答案解析】

（1）運用概率的計算公式求概率分布，再運用數學期望公式進行求解；（2）借助題設條件運用貝努力公式進行分析求解：（1）記所選取額兩家商家加入團購網站的數量相等為事件，則，所以他們加入團購網站的數量不相等的概率為.（2）由題，知的可能取值分別為0，1，2，，，從而的分布列為012.（3）所調查的50家商家中加入了兩個團購網站的商家有25家，將頻率視為概率，則從市中任取一家加入團購網站的商家，他同時加入了兩個團購網站的概率為，所以，所以事件“”的概率為.20、（1）；（2）.【答案解析】

（1）因為點在橢圓上，所以，然后，利用，，得出，進而求解即可（2）設點的坐標為，直線的方程為，直線的方程為，分別聯立方程：和，利用韋達定理，再利用，，即可求