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高考沖刺不等式的證明（1）若a∈R，則|a|≥0，a2≥0若a,b∈R，則a2+b2≥2ab若a,b∈R+， 若a,b同號，則 若a,b,c∈R+， 例題分析例1．a,b,c∈R+，求證：a3+b3+c3≥3abc分析與解答∵a3+b3+c3-=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-=(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc+c2]-=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0∵a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab（當且僅當a=b時“=”成立）b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc（當且僅當b=c時“=”成立）c3+a3=(a+c)(c2+a2-ca)≥(c+a)ca（當且僅當c=a時“=”成立）∴∴a3+b3+c3≥3abc例2．已知a,b,c為不等正數，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b分析：由于所證不等式兩端都是冪和積的形式，且a,b,c為正數，可選用商值比較法。證明：a,b,c為不等正數，不失一般性，設a>b>c>0，這時a2ab2bc2c>0，ab+cbc+aca+b>0。=a(a-b)+(a-c)b(b-c)+(b-a)c(c-b)+(c- )a-b()b-c()c-∵a>b>c>0，∴ ∴>1，即：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b負”；求商比較法的基本步驟是“作商——變形——11”，應注意，求商比較法一般用于各字母均為 證明a2+b2≥2ab即 ，兩邊開方，得 例4．已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求證：（1）++≥9，（2）a2+b2+c2≥（1）證法一：++=++=3+++++ 證法二：∵ ，∴ +≥ =9（2）∵∴≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)=3(a2+b2+c2)a2+b2+c2≥例5．已知|a|<1，|b|<1，求證：| |<1成立，只要證|a+b|<|1+ab|，只要證(a+b)2<(1+ab)2，即a2+b2+2ab<1+2ab+a2b2，只要證a2+b2-1-a2b2<0，只要證(a2-1)(1-b2)<0，∴ 例6．已知a，b是不等正數，且a3-b3=a2-b2，求證 證明：a，b是不等正數，且a3-b3=a2- 即(a-b)2>0一定成立，故a+b<成立中證明a+b>1采用的是綜合法。證明a+b<采用的是分析法，事實上，推理論證中，由因導果和執果兩種方法常常例7．已知a,b,c∈(0,1)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一個不大于。 中每一推理必須正確由本例7題的結是個中“少有個不”況比較復雜，會出現多個由向不式組成的不等式組一一證明十分繁雜，而對論的定是個數“都大”，構簡單明。（1）已知x∈R已知a,b∈R，a

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