合用文檔幾何變換的三種模型手拉手、半角、對角互補知識關系圖等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等邊三角形（包含費馬點）旋轉變換對角互補模型特別角一般角角含半角模型特別角一般角等線段變換（與圓相關）真題演練【練1】（2013北京中考）在△ABC中，ABAC，BAC（060），將線段BC繞點B逆時針旋轉60°獲取線段BD．（1）如圖1，直接寫出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如圖2，BCE150，ABE60，判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連接DE，若DEC45，求的值．標準文案合用文檔【練2】（2012年北京中考）在△ABC中，BABC，BAC，M是AC的中點，P是線段上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉2獲取線段PQ．（1）若且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出CDB的度數；（2）在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想CDB的大小（用含的代數式表示），并加以證明；（3）關于合適大小的，當點P在線段BM上運動到某一地址（不與點B，M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQQD，請直接寫出的范圍．標準文案合用文檔例題精講考點1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等邊三角形陪同旋轉出全等，處于各種地址的旋轉模型，及殘缺的旋轉模型都要能很快看出來（1）等腰三角形旋轉模型圖（共極點旋轉等腰出陪同全等）（2）等邊三角形旋轉模型圖（共極點旋轉等邊出陪同全等）（3）等腰直角旋轉模型圖（共極點旋轉等腰直角出陪同全等）（4）不等邊旋轉模型圖（共極點旋轉不等腰出陪同相似）標準文案合用文檔【例1】（14年海淀期末）已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且ABCE．（1）如圖1，連接BG、DG．求證：BGDE；（2）如圖2，若是正方形ABCD的邊長為2，將正方形CEFG繞著點C旋轉到某一地址時恰好使得CG∥BD，BGBD．①求BDE的度數；②請直接寫出正方形CEFG的邊長的值．【題型總結】手拉手模型是中考中最常有的模型，打破口常有的有哪些信息？常有的考試方法有哪些？標準文案合用文檔【例2】（2014年西城一模）四邊形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，BEF90，BEEF，連接DF，G為DF的中點，連接EG，CG，EC。（1）如圖24-1，若點E在CB邊的延長線上，直接寫出EG與GC的地址關系及ECGC的值；（2）將圖24-1中的BEF繞點B順時針旋轉至圖24-2所示地址，請問（1）中所得的結論可否依舊成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明原由；ADADGGFFEEBCBC圖圖標準文案合用文檔【題型總結】此種類題目方法多樣，你還能夠找到其他的解題方法嗎？別的涉及到的中點輔助線你還能夠說出幾種？標準文案合用文檔【例3】（2015年海淀九上期末）如圖1，在△ABC中，BC4，以線段AB為邊作△ABD，使得AD，連接DC，再以DC為邊作△CDE，使得DCDE，BDCDEADB．（1）如圖2，當ABC45且90時，用等式表示線段AD，DE之間的數量關系；ADBCE圖1（2）將線段CB沿著射線CE的方向平移，獲取線段EF，連接BF，AF．若90，依題意補全圖3，求線段AF的長；請直接寫出線段AF的長（用含的式子表示）．AAADDBDCCBCBEEE圖2圖3備用圖標準文案合用文檔【例4】（13年房山一模）（1）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且B、C、三點共線，聯系AD、DBE訂交于點P，求證：BEAD．（2）如圖2，在△BCD中，BCD120，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外面作等邊△ABC、等邊△CDE和等邊△BDF，聯系AD、BE和CF交于點P，以下結論中正確的選項是_______（只填序號即可）①ADBECF；②BECADC；③DPEEPCCPA60；（3）如圖2，在（2）的條件下，求證：PBPCPDBE．ECAACAPPEDBPDBDBCD圖1F圖2F標準文案合用文檔【題型總結】到三個定理的三條線段之和最小，夾角都為°．旋轉與最短行程問題主若是利用旋轉的性質轉變成兩點之間線段最短的問題，同時與旋轉相關行程最短的問題，比較重要的就是費馬點問題費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉變換．標準文案考點2：角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋轉：構造兩次全等AADFBECGBEADGB

合用文檔ADDFBCECFE

CFADB

AGE

CF

B

DECAFBDEC12012年西城期末）已知：如圖，正方形ABCD的邊長為a【例】（，BM，DN分別均分正方形的兩個外角，且滿足MAN45，連接MC，NC，MN．猜想線段BM，DN和MN之間的等量關系并證明你的結論．標準文案合用文檔標準文案合用文檔【例2】（2014年平谷一模）（1）如圖1，點E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，EAF45，連接EF，則EF、BE、FD之間的數量關系是：EFBEFD．連接BD，交AE、AF于點M、N，且MN、BM、DN滿足MN2BM2DN2，請證明這個等量關系；（2）在△ABC中，ABAC，點D、E分別為BC邊上的兩點．①如圖2，當BAC60，DAE30時，BD、DE、EC應滿足的等量關系是__________________；1②如圖3，當BAC，(090)，DAE時，BD、DE、EC2應滿足的等量關系是____________________．【參照：sin2cos21】BAAAEMNCFDBDECBDEC圖1圖2圖3標準文案合用文檔【題型總結】角含半角的特點有哪些，哪些是不變的量？由角含半角產生的數量關系都是有哪些？怎樣描述這類題目的輔助線？考點3：對角互補模型常和角均分線性質一起考，一般有兩種解題方法（全等型—90°）AAMCCDDOEBONEB（全等型—120°）（全等型—任意角）ADCCAACDDOOEBOEBF

EB【例1】四邊形ABCD被對角線BD分為等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A和C都是直角，另一條對角線AC的長度為2，求四邊形ABCD的面積．ABDC標準文案合用文檔標準文案合用文檔【例2】已知：點P是MON的均分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉交射線ON于點B，且使APBMON180．（1）利用圖1，求證：PAPB；（2）如圖1，若點C是AB與OP的交點，當SPOB3SPCB時，求PB與PC的比值；MMTATAPPCCOBNOBN圖1圖2標準文案合用文檔【題型總結】對角互補模型經常在哪里題目里出現，題目中有哪些提示信息？經常和哪一種圖形同時出現？3(初二期末)已知：如圖，在△ABC中，ABAC，BAC，且60120．P【例】為△ABC內部一點，且PCAC，PCA120．（1）用含的代數式表示APC，得APC=_______________________；（2）求證：BAPPCB；（3）求PBC的度數．APBC標準文案合用文檔【題型總結】一般涉及到線段的旋轉都能夠和圓聯系起來，依照圓的相關性質解題是一種比較便利的方法。（標準文案合用文檔全能打破【練1】（2015年昌平九上期末）如圖，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE．,CE交AB連接BD交AE于M連接于N，BD與CE交點為F，連接AF．（1）如圖1，求證：BDCE；2）如圖1，求證：AF是CFD的均分線；3）如圖2，當AC2，BCE15時，求CF的長.BBFEFENNMMCACAD圖1D圖2標準文案合用文檔【練2】（2014西城九上期末）已知：△ABC，△DEF都是等邊三角形，M是BC與EF的中點，連接AD，BE.（1）如圖1，當EF與BC在同一條直線上時，直接寫出AD與BE的數量關系和地址關系；（2）△ABC固定不動，將圖1中的DEF繞點M順時針旋轉（0o≤≤90o）角，如圖2所示，判斷（1）中的結論可否依舊成立，若成立，請加以證明；若不成立，說明原由；（3）△ABC固定不動，將圖1中的DEF繞點M旋轉（0o≤≤90o）角，作DHBC于點H．設BH＝x，線段AB，BE，ED，DA所圍成的圖形面積為S．當AB＝6，DE＝2時，求S關于x的函數關系式，并寫出相應的x的取值范圍．圖1圖2備用圖標準文案合用文檔【練3】（2014年旭日一模24題）在△ABC中，ACBC，在△AED中，ADED，點D、E分別在CA、AB上，（1）圖①，若ACBADE90，則CD與BE的數量關系是______________；（2）若ACBADE120，將△AED繞點A旋轉至如圖②所示的地址，則CD與BE的數量關系是______________；（3）若ACBADE2(090)，將△AED繞點A旋轉至如圖③所示的地址，研究線段CD與BE的數量關系，并加以證明（用含的式子表示）標準文案合用文檔【練4】（2015年燕山九上期末）小輝遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，BAC＝90，AB＝AC，點，E在邊BC上，DAE＝45．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．CCDFEECDFDDEA圖1BA圖2BA圖3B小輝發現，將繞點A按逆時針方向旋轉90o，獲取ACF，連接EF（如圖2），由圖形旋轉的性質和等腰直角三角形的性質以及DAE＝45，可證FAE≌DAE，得FE＝DE．解FCE，可求得EF(即DE)的長．請回答：在圖2中，FCE的度數是__________，DE的長為_______RtABC____．參照小輝思慮問題的方法，解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，B＋D＝180．E，F分別是邊BC，CD上的點，且EAF＝1BAD．猜想線段BE，EF，FD之間的數量關系并說明原由．2標準文案合用文檔【練5】（11年石景山一模）已知：如圖，正方形ABCD中，AC,BD為對角線，將BAC繞極點A逆時針旋轉(045)，旋轉后角的兩邊分別交BD于點P、點Q，交BC,CD于點E、點F，聯系EF、EQ．（1）在BAC的旋轉過程中，AEQ的大小可否改變，若不變寫出它的度數，若改變，寫出它的變化范圍（直接在答題卡上寫出結果，不用證明）；2AEF的面積的數量關系，寫出結論并加以證明．（）研究APQ與ADQFPBEC標準文案合用文檔【練6】（2015年延慶九上期末）已知：△ABC是O的內接三角形，ABAC，在BAC所對弧AC上，任取一點D，連接AD，BD，CD，（1）如圖1，BAC，直接寫出ADB的大小（用含的式子表示）；（2）如圖2，若是BAC60，求證：BDCDAD；33BAC120，那么BDCD與AD之間的數量關系是（）如圖，若是什么？寫出猜想并加以證明；（4）若是BAC，直接寫出BDCD與AD之間的數量關系.DDBCBOCOAADOBCA圖2圖3圖1標準文案合用文檔【練7】（1)如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=1BEFD;BAD．求證：EF2(2)如圖在四邊形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF1，(1)中的結論可否依舊成立？不用證明．BAD2(3)如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BADC180，E，F分別是邊BC，CD延長線上的點，且1BAD，(1)中的結論可否依舊成立？EAF2若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．FADAADDFBFBCEECBCE標準文案合用文檔【練8】小華遇到這樣一個問題，如圖1,ABC中，ACB30o，BC6，AC5，在ABC內部有一點P，連接PA、PB、PC，求PAPBPC的最小值．小華是這樣思慮的：要解決這個問題，第一應想方法將這三條端點重合于一點的線段分別，爾后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依照“兩點之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后試一試了翻折、旋轉、平移的方法，發現經過旋轉能夠解決這個問題．他的做法是，如圖2，將APC繞點C順時針旋轉60oEDC，連接PD、BE，則BE的長即為所求．，獲取（1）請你寫出圖2中，PAPBPC的最小值為________；（2）參照小華的思慮問題的方法，解決以下問題：①如圖3，菱形ABCD中，60oABCD內部有一點P，請在圖3ABC，在菱形中畫出并指明長度等于PAPBPC最小值的線段（保留畫圖印跡，畫出一條即可）；②若①中菱形ABCD的邊長為4，請直接寫出當PAPBPC值最小時PB的長．EAADDAPCBBCP圖1BC圖3圖2標準文案合用文檔92014年西城二模）在ABC，BAC為銳角，ABAC，AD均分BAC交BC【練】（于點D．（1）如圖1，若ABC是等腰直角三角形，直接寫出線段AC，CD，AB之間的數量關系；（2）BC的垂直均分線交AD延長線于點E，交BC于點F．①如圖2，若ABE60，判斷AC，CE，AB之間有怎樣的數量關系并加以證明；②如圖3，若ACAB3AE，求BAC的度數．標準文案合用文檔【練10】(2014年1月西城八年級期末試題—附加題)已知：如圖，MAN為銳角，AD平分MAN，點B，點C分別在射線AM和AN上，ABAC.（1）若點E在線段CA上，線段EC的垂直均分線交直線AD于點F，直線BE交直線AD于點G，求證：EBFCAG；2）若（1）中的點E運動到線段CA的延長線上，（1）中的其他條件