第七章三角形【知識要點(diǎn)】一.認(rèn)識三角形.關(guān)于三角形的概念及其按角的分類定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。.三角形的分類：①三角形按內(nèi)角的大小分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。②三角形按邊分為兩類：等腰三角形和不等邊三角形。.關(guān)于三角形三條邊的關(guān)系（判斷三條線段 能否構(gòu)成三角形的方法、比較線段的長短）根據(jù)公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。.與三角形有關(guān)的線段：三角形的角平分線、中線和高??三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與對邊相交形成的線段；三角形的中線：連接三角形的一個頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的線段，三角形任意一條中線將三角形分成 面積相等的兩個部分；三角形的高：過三角形的一個頂點(diǎn)做對邊的垂線，這條垂線段叫做三角形的高。注意：①三角形的角平分線、中線和高 都是線段，不是直線，也不是射線；②任意一個三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；③任意一個三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部。但三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；直角三角形有一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高恰好是它兩條直角邊；鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高在三角形的外部。④一個三角形中，三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高所在的直線交于一點(diǎn)。 （三角形的三條高（或三條高所在的直線）交與一點(diǎn)，銳角三角形高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，直角三角形高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)，鈍角三角形高（所在的直線）的交點(diǎn)在三角形的外部。 ）4.三角形的內(nèi)角與外角（1）三角形的內(nèi)角和：180°引申：①直角三角形的兩個銳角互余；②一個三角形中至多有一個直角或一個鈍角；③一個三角中至少有兩個內(nèi)角是銳角。（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性質(zhì)：①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；一一 常用來求角度②三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。一一 常用來比較角的大小5.多邊形的內(nèi)角與外角多邊形的內(nèi)角和與外角和（識記）正n邊形34568101215內(nèi)角和180°360°540°720°1080°1440°1800°2340°外角和360°360°360°360°360°360°360°360°每,個內(nèi)角(n2)180— 360 或180n n60°90°108°120°135°144°150°158°每一個外角?oc(n2)1803360180 2 l 或n n120°90°72°60°45°36°30°22（1）多邊形的內(nèi)角和：（n-2）180°（2）多邊形的外角和：360°引申：（1）(2)X6.(1)（3）引申：（1）(2)X6.(1)（3）鑲嵌從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)能作（n-3）條對角線；多邊形有n（n3）條對角線。2從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)能將 n邊形分成（n-2）個三角形;同一種正三邊形、正四邊形、正六邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌；正三角形與正四邊形、正三角形與正六邊形……可以進(jìn)行平面鑲嵌;同一種任意三角形、任意四邊形可以進(jìn)行鑲嵌。【典型例題】

三角形的分類例題1:具備下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（【典型例題】

三角形的分類例題1:具備下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（A:/A+ZB=ZCB:/A=ZB=/CC:/A=90°-ZBD:/A-/B=90例題2:等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 30。，則頂角的度數(shù)為（D）60°120°60°或150°D.60°或120°如圖，/1+/2+/3+/4等于多少度；（280°）60°120°60°或150°D.60°或120°如圖，/1+/2+/3+/4等于多少度；（280°）練習(xí):A、GA、如圖，下列說法錯誤的是（A）/B>/ACDB/B+/ACB<180°D、/B+/ACB=180°-ZA、/HEC>/B若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個三角形是 （C）.直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、無法確定三角形的內(nèi)角和、外角和相關(guān)的計(jì)算與證明例題1:若三角形的三個外角的比為A.銳角三角形B.例題1:若三角形的三個外角的比為A.銳角三角形B.直角三角形例題2:已知等腰三角形的一個外角為練習(xí)：1、如圖，若/AEC=100,/B=45°3:4:5,則這個三角形為（B）.C.等邊三角形 D.鈍角三角形150°,則它的底角為.則/DFE等于（A）°°°C.110A.125B.115D.1053、如圖，則/,22°°°C.110A.125B.115D.1053、如圖，則/,22二1=4、已知等腰三角形的一個外角是,/3=,120°,則它是(C)A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰鈍角三角形5、如果三角形的一個外角和與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和為 180°，那么與這個外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為（C）TOC\o"1-5"\h\zA.30°B.60 °C.90 °D.120 °6、已知三角形的三個外角的度數(shù)比為 2：3：4,則它的最大內(nèi)角的度數(shù)（D）.A.90°B.110 °C.100 °D.120 °例7.如圖（1）所示，△中，的平分線交于點(diǎn)，求證：.（2） （3）變式1:如圖（2）所示，△中，內(nèi)角和外角的平分線交于點(diǎn)，求證： .變式2:如圖（3）所示，△中，外角的平分線交于點(diǎn)，求證： .分析：本題已知△的內(nèi)角平分線和外角平分線，從而想到可利用三角形角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及外角與內(nèi)角的關(guān)系證題。解答：如圖（1）,二?在△中，又丁的平分線交于點(diǎn)，變式1:二.是△的一個外角，，??平分，平分，且是△的外角,???,即變式2:在△中，在△中，??平分，且三點(diǎn)共線，??,同理可證例5.已知：如圖，在△中，，分別是邊上的高，相交于，求的度數(shù)。分析：由已知可求，在△中，故先求和。解答：??.??設(shè)，則???,解得???為邊上的高，，，在中，同理，在△中，TOC\o"1-5"\h\z例題1:若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，則這個多邊形是（ A）A.三角形B.六邊形C.五邊形D.四邊形例題2:下列說法錯誤的是（A）A.邊數(shù)越多，多邊形的外角和越大 B.多邊形每增加一條邊，內(nèi)角和就增加 180°C.正多邊形的每一個外角隨著邊數(shù)的增加而減小 D.六邊形的每一個內(nèi)角都是120°例題3:一個多邊形內(nèi)角和與其中一個外角的總和為 1360°這個多邊形白勺邊數(shù)為 9.例題4:一個多邊形的每一個外角都是24°,則此多邊形的內(nèi)角和（B）A.2160°B.2340°C.2700°D,2880°練習(xí)：一個多邊形內(nèi)角和是1080°,則這個多邊形的邊數(shù)為 （B）A、6B、7C、8D、9一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的 2倍，它是（C）A、四邊形B、五邊形C、六邊形D、 八邊形一個多邊形的邊數(shù)增加一倍，它的內(nèi)角和增加 （A）A.180°B.360 °C.（n-2） 180°D.n1804、若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和相加是 1800°,則此多邊形是（B）A、八邊形B、十邊形C、十二邊形D、十四邊形5、正方形每個內(nèi)角都是90°一每個外角都是__90。 。6、多邊形的每一個內(nèi)角都等于 150°,則從此多邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)引出的對角線有 9條。7、正六邊形共有 9 條對角線，內(nèi)角和等于720°,每一個內(nèi)角等于 120° 。8、內(nèi)角和是1620°的多邊形的邊數(shù)是11。9、如果一個多邊形的每一外角都是 24。，那么它是15邊形。10、將一個三角形截去一個角后，所形成的一個新的多邊形的內(nèi)角和 180。或個0。。11、一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之比是 5：2,則這個多邊形的邊數(shù)為8。12、一個多邊形截去一個角后 ，所得的新多邊形的內(nèi)角和為 2520。，則原多邊形有15或16或17條邊。13.已知一個十邊形中九個內(nèi)角的和的度數(shù)是 12900,那么這個十邊形的另一個內(nèi)角為 150 度.考點(diǎn)六：鑲嵌例題1：裝飾大世界出售下列形狀的地磚： ①正方形；②長方形；③正五邊形；@正六邊形。若只選購其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚有（B）例題2:邊長相等的下列兩種正多邊形的組合，不能作平面鑲嵌的是 （B）A.正方形與正三角形 B.正五邊形與正三角形 C.正六邊形與正三角形 D.正八邊形與正方形練習(xí)：1.下列正多邊中，能鋪滿地面的是（B）A、正方形B、正五邊形C、等邊三角形D、正六邊形.下列正多邊形的組合中，不能夠鋪滿地面的是 （D）.A.正六邊形和正三角形 B. 正三角形和正方形C.正八邊形和正方形 D.正五邊形和正八邊形.用正三角形和正十二邊形鑲嵌，可能情況有 （B）種.A1B、2C、3D、4.某裝飾公司出售下列形狀的地磚：①正方形；②長方形；③正五邊形；④正六邊形 .若只選購其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚共有 （C）種.A、1B、2C、3D、4.小李家裝修地面，已有正三角形形狀的地磚，現(xiàn)打算購買另一種不同形狀的正多邊形地磚，與正三角形地磚在同一頂點(diǎn)處作平面鑲嵌，則小李不應(yīng)購買的地磚形狀是 （C）A、正方形B、正六邊形C、正八邊形D、