第1講空間幾何體【要點提煉】考點一表面積與體積1．旋轉體的側面積和表面積(1)S圓柱側＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(2)S圓錐側＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2．空間幾何體的體積公式V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)；V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．【熱點突破】【典例】1(1)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側面積為________．【答案】40eq\r(2)π【解析】因為母線SA與圓錐底面所成的角為45°，所以圓錐的軸截面為等腰直角三角形．設底面圓的半徑為r，則母線長l＝eq\r(2)r.在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，所以sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8).因為△SAB的面積為5eq\r(15)，即eq\f(1,2)SA·SBsin∠ASB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)r×eq\r(2)r×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，所以r2＝40，故圓錐的側面積為πrl＝eq\r(2)πr2＝40eq\r(2)π.(2)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，點D在棱AA1上，則三棱錐D－BB1C1的體積為________．【答案】eq\f(2\r(3),3)【解析】如圖，取BC的中點O，連接AO.∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，∴AC＝2，OC＝1，則AO＝eq\r(3).∵AA1∥平面BCC1B1，∴點D到平面BCC1B1的距離為eq\r(3).又＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).易錯提醒(1)計算表面積時，有些面的面積沒有計算到(或重復計算)．(2)一些不規則幾何體的體積不會采用分割法或補形思想轉化求解．(3)求幾何體體積的最值時，不注意使用基本不等式或求導等確定最值．【拓展訓練】1(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π【答案】B【解析】設圓柱的底面半徑為r，高為h，由題意可知2r＝h＝2eq\r(2)，∴圓柱的表面積S＝2πr2＋2πr·h＝4π＋8π＝12π.故選B.(2)如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分別是邊BC和AC上異于端點的點，DE⊥BC，將△CDE沿DE折起，使點C到點P的位置，得到四棱錐P－ABDE，則四棱錐P－ABDE的體積的最大值為________．【答案】eq\f(\r(3),27)【解析】設CD＝DE＝x(0<x<1)，則四邊形ABDE的面積S＝eq\f(1,2)(1＋x)(1－x)＝eq\f(1,2)(1－x2)，當平面PDE⊥平面ABDE時，四棱錐P－ABDE的體積最大，此時PD⊥平面ABDE，且PD＝CD＝x，故四棱錐P－ABDE的體積V＝eq\f(1,3)S·PD＝eq\f(1,6)(x－x3)，則V′＝eq\f(1,6)(1－3x2)．當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))時，V′>0；當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))時，V′<0.∴當x＝eq\f(\r(3),3)時，Vmax＝eq\f(\r(3),27).【要點提煉】考點二多面體與球解決多面體與球問題的兩種思路(1)利用構造長方體、正四面體等確定直徑．(2)利用球心O與截面圓的圓心O1的連線垂直于截面圓的性質確定球心．【典例】2(1)已知三棱錐P－ABC滿足平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝4，∠APB＝30°，則該三棱錐的外接球的表面積為__________．【答案】64π【解析】因為AC⊥BC，所以△ABC的外心為斜邊AB的中點，因為平面PAB⊥平面ABC，所以三棱錐P－ABC的外接球球心在平面PAB上，即球心就是△PAB的外心，根據正弦定理eq\f(AB,sin∠APB)＝2R，解得R＝4，所以外接球的表面積為4πR2＝64π.(2)(2020·全國Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為________．【答案】eq\f(\r(2),3)π【解析】圓錐內半徑最大的球即為圓錐的內切球，設其半徑為r.作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內切圓為圓錐的內切球的大圓．在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點，AB＝2，E為切點，則PD＝2eq\r(2)，△PEO∽△PDB，故eq\f(PO,PB)＝eq\f(OE,DB)，即eq\f(2\r(2)－r,3)＝eq\f(r,1)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，故內切球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2),3)π.規律方法(1)長方體的外接球直徑等于長方體的體對角線長．(2)三棱錐S－ABC的外接球球心O的確定方法：先找到△ABC的外心O1，然后找到過O1的平面ABC的垂線l，在l上找點O，使OS＝OA，點O即為三棱錐S－ABC的外接球的球心．(3)多面體的內切球可利用等積法求半徑．【拓展訓練】2(1)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36πB．64πC．144πD．256π【答案】C【解析】如圖所示，設球O的半徑為R，因為∠AOB＝90°，所以S△AOB＝eq\f(1,2)R2，因為VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB的面積為定值，當點C位于垂直于平面AOB的直徑端點時，三棱錐O－ABC的體積最大，此時VO－ABC＝VC－AOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，則球O的表面積為S＝4πR2＝144π.(2)中國古代數學經典《九章算術》系統地總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD＝eq\r(5)，ED＝eq\r(3)，若鱉臑P－ADE的外接球的體積為9eq\r(2)π，則陽馬P－ABCD的外接球的表面積為________．【答案】20π【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，即AD⊥CE，且AD＝eq\r(5)，ED＝eq\r(3)，∴△ADE的外接圓半徑為r1＝eq\f(AE,2)＝eq\f(\r(AD2＋ED2),2)＝eq\r(2)，設鱉臑P－ADE的外接球的半徑為R1，則eq\f(4,3)πReq\o\al(3,1)＝9eq\r(2)π，解得R1＝eq\f(3\r(2),2).∵PA⊥平面ADE，∴R1＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))2＋r\o\al(2,1))，可得eq\f(PA,2)＝eq\r(R\o\al(2,1)－r\o\al(2,1))＝eq\f(\r(10),2)，∴PA＝eq\r(10).正方形ABCD的外接圓直徑為2r2＝AC＝eq\r(2)AD＝eq\r(10)，∴r2＝eq\f(\r(10),2)，∵PA⊥平面ABCD，∴陽馬P－ABCD的外接球半徑R2＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))2＋r\o\al(2,2))＝eq\r(5)，∴陽馬P－ABCD的外接球的表面積為4πReq\o\al(2,2)＝20π.專題訓練一、單項選擇題1.水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個()A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形【答案】A【解析】AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，BC＝B′O′＋C′O′＝1＋1＝2.在Rt△AOB中，AB＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，同理AC＝2，所以原△ABC是等邊三角形．2．(2020·全國Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4)D.eq\f(\r(5)＋1,2)【答案】C【解析】設正四棱錐的底面正方形的邊長為a，高為h，側面三角形底邊上的高(斜高)為h′，則由已知得h2＝eq\f(1,2)ah′.如圖，設O為正四棱錐S－ABCD底面的中心，E為BC的中點，則在Rt△SOE中，h′2＝h2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2，∴h′2＝eq\f(1,2)ah′＋eq\f(1,4)a2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h′,a)))2－eq\f(1,2)·eq\f(h′,a)－eq\f(1,4)＝0，解得eq\f(h′,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4)(負值舍去)．3．已知一個圓錐的側面積是底面積的2倍，記該圓錐的內切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)【答案】C【解析】如圖，由已知圓錐側面積是底面積的2倍，不妨設底面圓半徑為r，l為底面圓周長，R為母線長，則eq\f(1,2)lR＝2πr2，即eq\f(1,2)·2π·r·R＝2πr2，解得R＝2r，故∠ADC＝30°，則△DEF為等邊三角形，設B為△DEF的重心，過B作BC⊥DF，則DB為圓錐的外接球半徑，BC為圓錐的內切球半徑，則eq\f(BC,BD)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(r內,r外)＝eq\f(1,2)，故eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4).4．(2020·大連模擬)一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出，如圖，需要設計各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住，罩內充滿保護文物的無色氣體．已知文物近似于塔形，高1.8米，體積0.5立方米，其底部是直徑為0.9米的圓形，要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米，氣體每立方米1000元，則氣體的費用最少為()A．4500元B．4000元C．2880元D．2380元【答案】B【解析】因為文物底部是直徑為0.9米的圓形，文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米，所以由正方形與圓的位置關系可知，底面正方形的邊長為0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2(米)，所以正四棱柱的高為1.8＋0.2＝2(米)，則正四棱柱的體積V＝1.52×2＝4.5(立方米)．因為文物的體積為0.5立方米，所以罩內空氣的體積為4.5－0.5＝4(立方米)，因為氣體每立方米1000元，所以氣體的費用最少為4×1000＝4000(元)，故選B.5.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，動點E在BB1上，動點F在A1C1上，O為底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，則三棱錐O－AEF的體積()A．與x，y都有關B．與x，y都無關C．與x有關，與y無關D．與y有關，與x無關【答案】B【解析】由已知得V三棱錐O－AEF＝V三棱錐E－OAF＝eq\f(1,3)S△AOF·h(h為點E到平面AOF的距離)．連接OC，因為BB1∥平面ACC1A1，所以點E到平面AOF的距離為定值．又AO∥A1C1，OA為定值，點F到直線AO的距離也為定值，所以△AOF的面積是定值，所以三棱錐O－AEF的體積與x，y都無關．6．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D．2π【答案】C【解析】如圖，過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周而形成的旋轉體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3).7．(2020·全國Ⅰ)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64πB．48πC．36πD．32π【答案】A【解析】如圖，設圓O1的半徑為r，球的半徑為R，正三角形ABC的邊長為a.由πr2＝4π，得r＝2，則eq\f(\r(3),3)a＝2，a＝2eq\r(3)，OO1＝a＝2eq\r(3).在Rt△OO1A中，由勾股定理得R2＝r2＋OOeq\o\al(2,1)＝22＋(2eq\r(3))2＝16，所以S球＝4πR2＝4π×16＝64π.8．(2020·武漢調研)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，則球O的體積為()A.eq\f(32π,3)B．3πC.eq\f(4π,3)D．8π【答案】A【解析】設△ABC外接圓圓心為O1，半徑為r，連接O1O，如圖，易得O1O⊥平面ABC，∵AB＝AC＝1，AA1＝2eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，∴2r＝eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2，即O1A＝1，O1O＝eq\f(1,2)AA1＝eq\r(3)，∴OA＝eq\r(O1O2＋O1A2)＝eq\r(3＋1)＝2，∴球O的體積V＝eq\f(4,3)π·OA3＝eq\f(32π,3).故選A.9.如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球對接而成，在該封閉的幾何體內部放入一個小圓柱體，且小圓柱體的上、下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為()A.eq\f(2000π,9) B.eq\f(4000π,27)C．81π D．128π【答案】B【解析】小圓柱的高分為上、下兩部分，上部分的高同大圓柱的高相等，為5，下部分深入底部半球內．設小圓柱下部分的高為h(0<h<5)，底面半徑為r(0<r<5)．由于r，h和球的半徑構成直角三角形，即r2＋h2＝52，所以小圓柱的體積V＝πr2(h＋5)＝π(25－h2)(h＋5)(0<h<5)，把V看成是關于h的函數，求導得V′＝－π(3h－5)(h＋5)．當0<h<eq\f(5,3)時，V′>0，V單調遞增；當eq\f(5,3)<h<5時，V′<0，V單調遞減．所以當h＝eq\f(5,3)時，小圓柱的體積取得最大值．即Vmax＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(25,9)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)＋5))＝eq\f(4000π,27)，故選B.10．已知在三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且長度相等．若點P，A，B，C都在半徑為1的球面上，則球心到平面ABC的距離為()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),2)【答案】C【解析】∵在三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且長度相等，∴此三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，∵球O的半徑為1，∴正方體的邊長為eq\f(2\r(3),3)，即PA＝PB＝PC＝eq\f(2\r(3),3)，球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離，設P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC×h＝eq\f(1,3)S△PAB×PC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))3，∵△ABC為邊長為eq\f(2\r(6),3)的正三角形，S△ABC＝eq\f(2\r(3),3)，∴h＝eq\f(2,3)，∴球心(即正方體中心)O到截面ABC的距離為eq\f(1,3).二、多項選擇題11．(2020·棗莊模擬)如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD－A1B1C1D1內灌進一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面幾個結論，其中正確的是()A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．隨著容器傾斜度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D．當容器傾斜如圖③所示時，AE·AH為定值【答案】AD【解析】由于AB固定，所以在傾斜的過程中，始終有CD∥HG∥EF∥AB，且平面AEHD∥平面BFGC，故水的部分始終呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB為棱柱的一條側棱，沒有水的部分也始終呈棱柱形，故A正確；因為水面EFGH所在四邊形，從圖②，圖③可以看出，EF，GH長度不變，而EH，FG的長度隨傾斜度變化而變化，所以水面EFGH所在四邊形的面積是變化的，故B錯；假設A1C1與水面所在的平面始終平行，又A1B1與水面所在的平面始終平行，則長方體上底面A1B1C1D1與水面所在的平面始終平行，這就與傾斜時兩個平面不平行矛盾，故C錯；水量不變時，棱柱AEH－BFG的體積是定值，又該棱柱的高AB不變，且VAEH－BFG＝eq\f(1,2)·AE·AH·AB，所以AE·AH＝eq\f(2VAEH－BFG,AB)，即AE·AH是定值，故D正確．12.(2020·青島檢測)已知四棱臺ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2，則下列敘述正確的是()A．該四棱臺的高為eq\r(3)B．AA1⊥CC1C．該四棱臺的表面積為26D．該四棱臺外接球的表面積為16π【答案】AD【解析】將四棱臺補為如圖所示的四棱錐P－ABCD，并取E，E1分別為BC，B1C1的中點，記四棱臺上、下底面中心分別為O1，O，連接AC，BD，A1C1，B1D1，A1O，OE，OP，PE.由條件知A1，B1，C1，D1分別為四棱錐的側棱PA，PB，PC，PD的中點，則PA＝2AA1＝4，OA＝2，所以OO1＝eq\f(1,2)PO＝eq\f(1,2)eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(3)，故該四棱臺的高為eq\r(3)，故A正確；由PA＝PC＝4，AC＝4，得△PAC為正三角形，則AA1與CC1所成角為60°，故B不正確；四棱臺的斜高h′＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(1,2)eq\r(PO2＋OE2)＝eq\f(1,2)×eq\r(2\r(3)2＋\r(2)2)＝eq\f(\r(14),2)，所以該四棱臺的表面積為(2eq\r(2))2＋(eq\r(2))2＋4×eq\f(\r(2)＋2\r(2),2)×eq\f(\r(14),2)＝10＋6eq\r(7)，故C不正確；易知OA1＝OB1＝OC1＝OD1＝eq\r(O1A\o\al(2,1)＋O1O2)＝2＝OA＝OB＝OC＝OD，所以O為四棱臺外接球的球心，所以外接球的半徑為2，外接球表面積為4π×22＝16π，故D正確．三、填空題13．(2020·浙江)已知圓錐的側面積(單位：cm2)為2π，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑(單位：cm)是________．【答案】1【解析】如圖，設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則圓錐的側面積S側＝πrl＝