1、第七章考試要求1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡 單物體的結構.2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單 的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖.落實主干知識課時精練探究核心題型LUOSHIZHUGANZHISHI 落實主干知識名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相 且_多邊形互相 且_側棱_相交于 但不一定相等延長線交于_側面形狀_1.空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征平行全等平行 相似平行且相等一點一點平行四邊形三角形梯形名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等， 于底面相交于_延長線交于_

2、軸截面_側面展開圖_(2)旋轉體的結構特征垂直一點一點矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環2.直觀圖(1)畫法：常用 .(2)規則：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為 ，z軸與x軸和y軸所在平面 .原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍 ，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度 ，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的 .斜二測畫法垂直分別平行于坐標軸不變一半45或135圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側_S圓錐側_S圓臺側_3.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式2rlrl(r1r2)l 名稱幾何體表面積體積柱體S表S側2S底VSh錐體S表S側S底

3、V_臺體S表S側S上S下球S表_V_4.柱、錐、臺、球的表面積和體積4R21.與體積有關的幾個結論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.2.直觀圖與原平面圖形面積間的關系：常用結論判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()(2)用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.()(3)菱形的直觀圖仍是菱形.()(4)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方.()1.如圖，長方體ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD，剩下的幾何體是A.棱臺 B.四棱柱C.五棱

4、柱 D.六棱柱2.已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.設圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，因為側面展開圖是一個半圓，所以l2r，即l2r，所以r2rlr2r2r3r212，解得r2.3.如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_.設長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，147TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1下列命題正確的是A.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的 母線B.直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉一周所形成

5、的幾何體都是圓錐C.棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等D.直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的 面所圍成的旋轉體是圓臺題型一基本立體圖形命題點1結構特征A不一定，只有當這兩點的連線垂直于底面時才是母線；B不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐.如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；C錯誤，棱臺的上、下底面相似且對應邊互相平行.棱臺的各側棱延長線交于一點，但是這些側棱的長不一定相等.(多選)下列說法錯誤的是A.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的多面體 是棱錐B.有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面

6、體是棱臺C.如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六 棱錐D.如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體教師備選選項A，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，即其余各面的三角形必須有公共的頂點，故A錯誤；選項B，棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，而有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺，因為它的側棱延長后不一定交于一點，故B錯誤；選項C，當棱錐的各個側面的共頂點的角之和是360時，各側面構成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故C錯誤；選項D，若每個側面都是長方形，則說明側棱與底面垂直，

7、又底面也是長方形，符合長方體的定義，故D正確.思維升華空間幾何體結構特征的判斷技巧(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定.(2)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.例2有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，則這塊菜地的面積為_.命題點2直觀圖(2022益陽調研)如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45的等腰梯形，已知直觀圖OABC的面積為4，則該平面圖形的面積為 教師備選思維升華(1)在斜二測畫法中，要

8、確定關鍵點及關鍵線段.平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：S直觀圖命題點3展開圖設圓錐底面圓的半徑為r，則2r4，解得r2，(2020浙江)已知圓錐的側面積(單位：cm2)為2，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑(單位：cm)是_.教師備選1如圖，設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則圓錐的側面積S側rl2，rl2.又圓錐側面展開圖為半圓，l2，r1.思維升華多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面

9、的形狀.跟蹤訓練1(1)(多選)給出下列命題，其中真命題是A.棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形B.若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直C.在四棱柱中，若過相對側棱的兩個截面都垂直于底面，則該四棱柱為 直四棱柱D.存在每個面都是直角三角形的四面體A不正確，根據棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不一定全等；B正確，若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則三個側面構成的三個二面角都是直二面角；C正確，因為過相對側棱的兩個截面的交線平行于側棱，又兩個截面都垂直于底面，故該四棱柱為直四棱柱；D正確，如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個面都是直角三角形.(

10、2)(2022泰安模擬)已知水平放置的ABC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中BOCO1，AO ，那么ABC是一個A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.鈍角三角形根據斜二測畫法還原ABC在直角坐標系中的圖形，如圖，所以ABC是一個等邊三角形.(3)(2022蚌埠模擬)如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發，繞圓錐側面爬行一周后回到點P處，則小蟲爬行的最短路程為如圖，設圓錐側面展開扇形的圓心角為，則由題意可得2412，在POP中，OPOP12，則小蟲爬行的最短路程為例4(1)(2022濟南調研)如圖，四面體的各個面

11、都是邊長為1的正三角形，其三個頂點在一個圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面的圓心，則圓柱的表面積是題型二表面積與體積命題點1表面積如圖所示，過點P作PE平面ABC，E為垂足，點E為等邊三角形ABC的中心，連接AE并延長，交BC于點D. 由題意可得，四邊形ABCD繞AD旋轉一周所成幾何體為圓臺上面挖去一個圓錐的組合體.如圖，過C作CEAD交AD的延長線于E，過C作AB的垂線，垂足為F.則EDC180ADC45，ECCDsin 452，EDCDcos 452，故圓臺的上底面半徑r2，下底面半徑R5，高h4，母線長l25.所以圓臺側面積S1(Rr)l2(52)535，圓錐側面積圓臺下底面面積S3

12、R225.故該幾何體的表面積已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為教師備選設圓柱的軸截面的邊長為x，思維升華(1)多面體的表面積是各個面的面積之和.(2)旋轉體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.(3)組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理.命題點2體積例5(1)(2021新高考全國)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4，側棱長為2，則其體積為作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上、下底面的邊長分別為2,4，側棱長為2，下底面面積S116，上底面面積S24，(2)(202

13、0新高考全國)棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點，則三棱錐A1D1MN的體積為_.1如圖，由正方體棱長為2，又易知D1A1為三棱錐D1A1MN的高，且D1A12，(3)(2022大同模擬)九章算術是我國古代的數學巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈.問積幾何？”意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬AD3丈，長AB4丈，上棱EF2丈，EF與平面ABCD平行，EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是A.4立方丈 B.5立方丈C.6立方丈 D.8立方丈如圖，過E作EG平面ABCD，

14、垂足為G，過F作FH平面ABCD，垂足為H，過G作PQAD，交AB于Q，交CD于P，過H作MNBC，交AB于N，交CD于M，由圖形的對稱性可知，AQBN1，QN2，且四邊形AQPD與四邊形NBCM都是矩形.則它的體積VVEAQPDVEPQFMNVFNBCM(2022佛山模擬)如圖所示，在直徑AB4的半圓O內作一個內接直角三角形ABC，使BAC30，將圖中陰影部分，以AB為旋轉軸旋轉180形成一個幾何體，則該幾何體的體積為_.教師備選如圖，過點C作CDAB于點D.ADACcos 303，BDABAD1，將圖中陰影部分，以AB為旋轉軸旋轉180形成一個幾何體，該幾何體是以AB為直徑的半個球中間挖去

15、兩個同底的半圓錐，故所求幾何體的體積為思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓練2(1)(多選)(2022武漢質檢)等腰直角三角形的直角邊長為1，現將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積可以為如果是繞直角邊旋轉，則形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，長為如果繞斜邊旋轉，則形成的是上、下兩個圓錐.(2)(2022天津和平區模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2

16、，則三棱錐AB1CD1的體積為如圖，三棱錐AB1CD1是由正方體ABCDA1B1C1D1截去四個小三棱錐AA1B1D1，CB1C1D1，B1ABC，D1ACD，又 238，KESHIJINGLIAN 課時精練基礎保分練123456789101112131415162.(2022惠州調研)在我國古代數學名著數學九章中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺.葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個問題中，葛藤長的最小值為A.2丈4尺 B.

17、2丈5尺C.2丈6尺 D.2丈8尺1234567891011121314151612345678910111213141516如圖，由題意，圓柱的側面展開圖是矩形，一條直角邊(即圓木的高)長24尺，另一條直角邊長5210(尺)，1234567891011121314151612345678910111213141516如圖所示，梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為AB1，高為BC2的圓柱挖去一個底面半徑為AB1，高為BCAD211的圓錐，4.(2022武漢模擬)玉琮是一種內圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被稱為“六器”，是古人用于祭祀

18、神祇的一種禮器.周禮中載有“以玉作六器，以禮天地四方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地”等文.如圖為齊家文化玉琮，該玉琮中方內空，形狀對稱，圓筒內徑2.0 cm，外徑2.4 cm，筒高6.0 cm，方高4.0 cm，則其體積約為(單位：cm3)A.23.043.92 B.34.563.92C.34.563.12 D.23.043.121234567891011121314151612345678910111213141516由題圖可知，組合體由圓柱、長方體構成，5.(2022常德模擬)正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是

19、一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積之比為1234567891011121314151612345678910111213141516取BC的中點G，連接EG，BD，取BD的中點O，連接EO，6.(多選)(2022煙臺調研)在一個密閉透明的圓柱筒內裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內的水平面可以呈現出的幾何形狀可能是A.圓面B.矩形面C.梯形面D.橢圓面或部分橢圓面12345678910111213141516將圓柱桶豎放，水平面為圓面；將圓柱桶斜放，水平面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水平面為矩形面，但圓柱桶內的水平面不可以呈現出梯形面.

20、7.(多選)下列說法正確的是A.圓柱的每個軸截面都是全等的矩形B.棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱臺的側面是等腰梯形D.用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面12345678910111213141516A正確；B不正確，例如六棱柱的相對側面也互相平行；C不正確，棱臺的側棱長可能不相等；D正確，用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面.8.(多選)(2022邯鄲模擬)攢尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一

21、個正四棱錐.已知此正四棱錐的側面與底面所成的銳二面角為，這個角接近30，若取30，側棱長為 米，則A.正四棱錐的底面邊長為6米B.正四棱錐的底面邊長為3米C.正四棱錐的側面積為 平方米D.正四棱錐的側面積為 平方米12345678910111213141516如圖，在正四棱錐SABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點，則SHAB，設底面邊長為2a.因為SHO30，123456789101112131415169.如圖是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐標系Oxy中，點B的坐標為(2,2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B到x軸的距離為_.12345678910111

22、21314151612345678910111213141516利用斜二測畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖，在坐標系Oxy中，BC1，xCB45.過點B作x軸的垂線，垂足為點D.在RtBDC中，10.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40 cm，母線長最短50 cm，最長80 cm，則斜截圓柱的側面面積S_cm2. 將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側面展開圖為矩形.2 6001234567891011121314151611.(2020江蘇)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內孔半徑為0.5 c

23、m，則此六角螺帽毛坯的體積是_cm3. 1234567891011121314151612345678910111213141516螺帽的底面正六邊形的面積所以此六角螺帽毛坯的體積1234567891011121314151612345678910111213141516解得l4；又設圓錐底面半徑為r，高為h，則由軸截面的面積為8，得rh8；又r2h216，13.魯班鎖(也稱孔明鎖、難人木、六子聯方)起源于古代中國建筑的榫卯結構.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為技能提升練12345678910111213141516圖1 圖2

24、12345678910111213141516圖1 圖214.(2022南京模擬)小張周末準備去探望奶奶，到商店買了一盒點心，為了美觀起見，售貨員用彩繩對點心盒做了一個捆扎(如圖所示)，并在角上配了一個花結.彩繩與長方體點心盒均相交于棱的四等分點處.設這種捆扎方法所用繩長為l1，一般的十字捆扎(如圖所示)所用繩長為l2.若點心盒的長、寬、高之比為221，則 的值為_.12345678910111213141516圖 圖點心盒的長、寬、高之比是221，設點心盒的長、寬、高分別為4a,4a,2a，12345678910111213141516l244a42a24a，圖 圖15.(多選)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，