1、第三章 復變函數積分教學目的與要求了解：復變函數積分的性質，會求復變函數的積分；理解： 復變函數積分的定義； 柯西積分定理。掌握：柯西積分公式、高階導數公式；教學重點與難點教學重點：柯西積分定理、柯西積分公式和高階導數公式。 教學難點：柯西積分定理、柯西積分公式和高階導數公式。課外思考題2,3,5(2),6(1),7(3)(5),9,10內容提要有向曲線復積分積分存在的條件及計算積分的性質柯西積分定理原函數的定義復合閉路 定 理柯西積分公 式高階導數公式調和函數和共軛調和函數一、有向曲線(1)若曲線C是開口弧段，若規定它的端點A為起點，B為終點，則沿曲線C從A到B的方向為曲線C的正方向(簡稱正

2、向)，把正向曲線記為C或C+。而由B到A的方向稱為的負方向(簡稱負向)，負向曲線記為C- 。在討論復變函數積分時，將要用到有向曲線的概念，若一條光滑或逐段光滑曲線規定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規定的：第一節 復變函數積分的概念(2)若C是簡單閉曲線，通常總規定逆時針方向為正方向，順時針方向為負方向。(3)若C是復平面上某一個復連通域的邊界曲線，則C的正方向這樣規定：當人沿曲線C行走時，區域總保持在人的左側，因此外部邊界部分取逆時針方向，而內部邊界曲線取順時針為正方向。設函數w=f(z)定義在區域D內，C為區域D內起點為A終點為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成

3、n個弧段，設分點為二、復變函數積分的定義在每個弧段上任意取一點(1)若C是封閉曲線，則沿此閉曲線的積分，記為關于定義的說明:(2)若C是x軸上的區間axb，而f(z)=u(x)，這個積分定義就是一元實變函數定積分的定義。三、積分存在條件及其計算定理一（積分存在定理）若在光滑曲線C上連續，則 存在，且 若C不光滑，C1,C2光滑，C1,C2相接為C，即C=C1+C2分段光滑，規定定理表明, 當f(z)即u(x,y),v(x,y)在光滑曲線C上連續,不但存在，還可通過兩個實二元函數的曲線積分來計算。 為便于記憶公式，可把 f(z)dz 理解為 (u+iv)(dx+idy) , 則 復積分 的計算化

4、為兩個二元實變函數的曲線積分.上式說明了兩個問題：(1)當f(z) 是連續函數，且C是光滑曲線時，積分 一定存在；(2) 可通過兩個二元實變函數的線積分來計算。若光滑曲線C的方程為t=對應曲線 C 的起點，t=對應曲線 C 的終點。記則因此可用來計算復變函數。一個復積分的實質是兩個實二型線積分 把復積分的計算轉化為兩個二元實函數的曲線積分。當曲線積分的積分路徑C由參數方程給出時，復積分又可以轉化為單變量的定積分。 注意：在今后的積分中，總假定被積函數是連續的， 曲線 C 是按段光滑的。若C是由等光滑曲線依次相互連接所組成的按段光滑曲線，則 由高等數學理論，其復積分的實部、虛部滿足實積分與路徑無

5、關的條件，所以 的值不論C是怎樣的曲線都等于 ，這說明有些函數的積分值與積分路徑無關。例1 計算 ，其中C為從原點到點3+4i的直線段。解：直線的方程可寫成在C上，于是又因為例2 計算 解：(1)積分路徑的參數方程為y=x于是(1)從原點到點1+i的直線段(2)拋物線y=x2上從原點到點1+i的弧段；，其中C為(3)從原點沿x軸到點1再到1+i的折線。(2)積分路徑的參數方程為y=x于是y=x(3)積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數方程為1到1+i直線段的參數方程為于是于是例3 求 解：積分路徑的參數方程為C為以z0為中心，r為半徑的正向圓周，n為整數。重要結論：積分值與路徑圓周的中心

6、和半徑無關。故四、復積分的基本性質(1)常數因子k 可以提到積分號外，即 (2)函數代數和的積分等于各函數積分的代數和，即 (3)若f(z)沿C可積，且C由C1 和 C2連接而成，則 (4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即(5)若在C上， ，且C的長度為L，則這里ds 表示弧長的微分。其中C-為C的負向曲線。估值不等式例4 證明：證明： 小 結主要學習了積分的定義、存在條件以及計算和性質。應注意復變函數的積分有跟微積分學中的線積分完全相似的性質。重點掌握復積分的一般方法。積分存在的條件及計算(1)化成線積分(2)用參數方程將積分化成定積分則設簡單光滑曲線C的參數方程是設沿逐段光滑的曲

7、線C連續，則積分存在，且思考題復函數f(z)的積分定義式與一元函數定積分是否一致？思考題答案即為一元實函數的定積分。若f(x)是實值的，若C是實軸上區間，則一般不能把起點為，終點為的函數f(z)的積分記作，因為這是一個線積分，要受積分路線的限制，必須記作。第二節 柯西積分定理通過前面的例題發現，例1中的被積函數f(z)=z在復平面內是處處解析的，它沿連接起點及終點的任何的積分值都相同，換句話說，積分與路徑無關。例2中的被積函數f(z)=Rez是不解析的，積分與路徑有關。由以上討論可知, 積分是否與路線有關, 可能決定于被積函數的解析性及區域的連通性。函數f(z)在什么條件下，積分僅與起點和終點

8、有關，而與路徑無關呢？ 若函數f(z)在單連通域B內處處解析，那么函數f(z)沿B的任何一條封閉曲線C的積分為零，即一、基本定理柯西古薩基本定理定理中的 C 可以不是簡單曲線。如下圖所示。此定理也稱為柯西積分定理。柯西介紹古薩介紹BBCCz1z0C1C2C1C2z0z1柯西資料 柯西（Cauchy，1789-1857），出生于巴黎。他在純數學和應用數學的功力是相當深厚的，在數學寫作上，他是被認為在數量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經典之作，不過并不是他所有的創作質量都很高，因此他還曾被人批評高產而輕率，這點倒是與數學王子相反，據說，法國科學院“會刊”創刊的

9、時候，由于柯西的作品實在太多，以致于科學院要負擔很大的印刷費用，超出科學院的預算，因此，科學院后來規定論文最長的只能有四頁，所以，柯西較長的論文只得投稿到其它地方。 柯西在幼年時，他的父親常帶領他到法國參議院內的辦公室，并且在那里指導他進行學習，因此他有機會遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數學家。他們對他的才能十分賞識；拉格朗日認為他將來必定會成為大數學家，但建議他的父親在他學好文科前不要學數學。 GoursatBorn: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, FranceDied: 25 Nov 1936 in Paris, France古薩資料關于定理的說明：(1)若曲

10、線 C 是區域 B 的邊界，函數f(z)在B內與C(2)若曲線 C 是區域 B 的邊界, 函數f(z)在B內解析，上解析，即在閉區域在閉區域上連續，那么定理仍成立。上解析，則例1 計算積分解：根據柯西古薩定理，有函數在內解析，思考題應用柯西古薩定理應注意什么?思考題答案(1)注意定理的條件“單連通域”。(2)注意定理的不能反過來用。反例：圓環域內解析，單位圓是該區域內一條閉曲線，但即不能由,而說f(z)在C內處處解析。反例：在單位圓內處處不解析，但定理一 若函數f(z)在單連通域B內處處解析，那么由定理知：解析函數在單連通域內的積分只與起點和終點有關, (如下頁圖)1.兩個主要定理：二、原函數

11、與不定積分積分與連結起點及終點的路線C無關。若起點為z0，終點為z1，若固定z0，讓z1在B內變動，并令z1=z，便可確定B內的一個單值函數定理二 若函數f(z)在單連通域B內處處解析此定理與微積分學中的可變上限積分的求導定理完全類似。那么函數必為B內的一個解析函數，并且2.原函數的定義：原函數之間的關系：f(z)的任何兩個原函數相差一個常數。顯然是f(z)的一個原函數。根據以上討論可知：證明：設G(z)和H(z)是f(z)的任何兩個原函數，那么于是(C為任意常數) 若f(z)在區域B內有一個原函數F(z)，那么它就有無窮多個原函數，一般表達式為F(z)+C(C為任意常數) 若函數f(z)在單

12、連通域B內處處解析，G(z)為f(z)的一個原函數，那么 稱f(z)的原函數一般表達式F(z)+C（C為任意常數）為f(z)的不定積分，記作3.不定積分的定義定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)說明：有了以上定理，復變函數的積分就可用跟微積分學中類似的方法去計算。這里z0,z1為單連通域B內的兩點。證明：根據柯西-古薩基本定理,證畢例2 求解：由牛頓-萊布尼茲公式知，因為z是解析函數，它的原函數是的值。例3 求解：(使用了微積分學中的“湊微分”法)的值。例4 求解：方法一由牛頓-萊布尼茲公式知，因為zcosz是解析函數，它的一個原函數是 zsinz+cosz，的值。方法二此方法使用了微積分中“分

13、部積分法”課堂練習答案小 結介紹了原函數、不定積分的定義以及牛頓萊布尼茲公式。在學習中應注意與高等數學中相關內容相結合, 更好的理解本課內容。思考題解析函數在單連通域內積分的牛頓萊布尼茲公式與實函數定積分的牛頓萊布尼茲公式有何異同?思考題答案兩者的提法和結果是類似的。兩者對函數的要求差異很大。但在復積分中要求f(z)為單連域中的解析函數，且積分路線是曲線C，因而z0,z都是復數；在實積分中要求f(x)為區域a,b上的連續實函數，a,x都是實數。1、問題的提出根據第一節例3可知, 由此希望將基本定理推廣到多連域中。三、基本定理的推廣實例，計算因為|z|=2是包含z=1在內的閉曲線， 解析函數沿閉

14、曲線的積分，不因閉曲線在區域內作連續變形而改變它的值。閉路變形原理說明：在變形過程中曲線不經過函數f(z)的不解析的點。2、復合閉路定理1)閉路變形原理2)復合閉路定理例5 計算積分解：依題意知,C包含這兩個奇點。所以f(z)在C所圍區域內有奇點z=0及z=1。因為，C為包含圓周在內的任何正向簡單閉曲線。在C內作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1和C2，C1只包含奇點z=0，C2只包含奇點z=1,根據復合閉路定理,例6 計算積分解：圓環域的邊界構成一條復合閉路。根據閉路復合定理，得C1和C2圍成一個圓環域，函數在此圓環域和其邊界上處處解析，C為正向圓周|z|=2和負向圓周|z|=1所組成。小

15、 結講述的復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理，掌握并能靈活應用它是本章的難點。常用結論:思考題復合閉路定理在積分計算中有什么用? 要注意什么問題?思考題答案利用復合閉路定理是計算沿閉曲線積分的最主要方法。使用復合閉路定理時, 要注意曲線的方向。一、問題的提出根據閉路變形原理知，該積分值不隨閉曲線 C 的變化而改變, 求這個值。第三節 柯西積分公式 C為B內圍繞z0的閉曲線。所以一般不為零，若f(z)在B內解析，那么在z0不解析。設B為一單連通域，z0為B中一點。積分曲線C取作以z0為中心，半徑為很小的的正向圓周由f(z)的連續性，在C上函數f(z)的值將隨著的縮小而逐漸接近于它的圓

16、心z0處的值，二、柯西積分公式定理 設函數f(z)在以簡單正向閉曲線C所圍成的區域B內解析，在C上連續，則對B內任意一點z0，有柯西積分公式關于柯西積分公式的說明:(1)把函數在C內部任一點的值用它在邊界上的值表示。(這是解析函數的又一特征)(2)公式不但提供了計算某些復變函數沿閉路積分的一種方法，而且給出了解析函數的一個積分表達式。(這是研究解析函數的有力工具)(3)一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。例1 求下列積分：解：由柯西積分公式(1)因為f(z)=cosz在復平面內解析，z=-i 位于內,由柯西積分公式令在|z|2內解析，z=i位于|z|2內，例2 計算積分解：由柯西積

17、分公式因為 f(z)=ez 在復平面內解析，z=1位于|z|2內，例3解：由閉路復合定理, 得例4解:根據柯西積分公式知，比較兩式得因為課堂練習答案：小 結 柯西積分公式是復積分計算中的重要公式，它的證明基于柯西古薩基本定理，其重要性在于：一個解析函數在區域內部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示， 故它是研究解析函數的重要工具。柯西積分公式:思考題柯西積分公式是對有界區域而言的, 能否推廣到無界區域中?思考題答案可以。其中積分方向應是順時針方向。一、問題的提出問題:(1)解析函數是否有高階導數? (2)若有高階導數, 其定義和求法是否與實變函數相同?回答:(1)解析函數有各高階導數。(2)高

18、階導數的值可以用函數在邊界上的值通過積分來表示， 這與實變函數完全不同。解析函數高階導數的定義是什么?第四節 高階導數二、主要定理定理六 若f(z)在正向閉曲線C所圍區域B內解析，在C上連續，則對B內任意一點z0，有 不在于通過積分來求導，而在于通過求導來求積分。高階導數公式的作用：例1 計算下列積分，其中C為正向圓周：解：根據公式(1)函數在C內z=1處不解析，但在C內處處解析，在C內以i為中心作一個正向圓周C1，以-i為中心作一個正向圓周C2，則函數在由C,C1,C2圍成的區域內解析,(2)函數在C內的z=i處不解析，根據復合閉路定理推導1推導2例2解：例3解:由柯西古薩基本定理得由柯西積分公式得課堂練習參考答案1、由柯西古薩基本定理得2、根據公式設C是不通過