1、用字母表示數教學實踐不確定（未知）情況可用字母表示.表征對象從確定到不確定任務一.我示南下同中幣的枚flt內有，枚硬幣 內育 （ ，枚希( 收硬幣（如上圖）出示問題情境，學生嘗試表達，然后依次呈現出一些典型表征方式。師：（提出關鍵問題）老師看了同學們的作業后，發現前兩幅圖大家表示一致: 3和5,而第三幅存錢罐的表示卻不同，這是為什么？生：前面的硬幣個數確定，是3和5；存錢罐里的是未知、不確定的。師：看來同學們都認為前兩幅圖的硬幣個數是確定的，可用數表示；而存錢罐的 硬幣個數無法確定，是未知的，所以大家的表示方法就各不相同。.聚焦未知表征的比照師：（提出關鍵問題）存錢罐里用“8” “未知”“x”

2、這三種方法，你欣賞哪一種，為 什么？生：我喜歡第二種，“8”只表示了一種，而用文字寫的意思很明白。生：我選第三種，“8”表示一種，但還有很多可能，用文字寫較麻煩，字母較為 簡單。生：我也選第三種，“8”是確定的，而存錢罐里的錢是未知的、不確定的，字 母可以表示多種情況，又簡潔。師：通過討論可知，確定的情況用數表示，不確定的情況可用字母表示。反思:用字母表示未知量,人教版教材沒這個環節，之所以安排，是因為歷史發生原 理指出，學生應經歷“記數f未知f一類”這三個步驟。更為重要的是，從記數 到未知的過渡，其關鍵是表示的對象發生變化，即從“確定”到“不確定”，隨之表 示的意義也發生變化。確定情況用數來

3、表示，學生已積累較為豐富的經驗，但 對“不確定情況怎么表示？為什么用字母表示比擬好？ ”等問題知之甚少。實踐中 用兩個比照，讓學生思辨其內在原理。比照一：通過圈內確定的硬幣數與存錢罐內不確定的硬幣數比照。不確定情況下,再用“具體的數”表示，就有其缺乏之 處，即具體數只能表示出一種具體情況，所以要選用其他的方 法；比照二：“未 知表征”形式的比照。通過比擬發現，具體數、文字、字母三種典型的表征方式， 每一種都有其優缺點，其中字母因為簡潔、又具有不確定性，用來表示未知、不確定情況為合理。不確定情況為合理。字母表示一個集合中的任意情況.具體與抽象的比照師：剛才大家認為，存錢罐里的1元硬幣數是未知的、

4、多種情況的，所以用字母 來表示，x可以是0個，也能是1個、2個.，最多是200個。（指這個 存錢罐最多放的1元硬幣數）那用1與x表示存錢罐里的硬幣數有什么不同 呢？生：1只能表示一種情況，X能表示存錢罐里所有可能硬幣數中的任意一種情 況，如0200中的任意一個數。.特殊與一般的比照小紅的每依/歲爸爸的穹3/多a+32 a+ 32= 1+32 a*32= 2*32 a+32= 3*32 32= 4+32a+32（如上圖）師：4與a都可表示小紅的年齡，4與a有什么不同？生：4只表示一年的年齡，a表示任何一年的年齡，也就是從出生到死亡的任 何一個年齡。師：4+32與a+32都可表示爸 爸的年齡，這兩

5、個又有什么區別？生：4+32只表示爸爸36歲一年的年齡，a+32那么可以表示32歲以上的任 何一年年齡。反思：從字母表示數意義的“未知量”階段過渡到“一類量”階段，其主要的問題是表示“對象”的意義發生“質變”“對象”的意義發生“質變”“對象”的意義發生“質變”,即從特定量（特殊）到變:般）。數只能表示一個特定的情況，字母不僅能表示特定一種情況,還能表示一個集合中任意一 個值的量。這是兩者的本質區別，也是字母表示數的優勢所在，即能一般化的“對象”的意義發生“質變”,即從特定量（特殊）到變:般）。數只能表示表示一類量。它是從算術思維過渡到代數思維“質”的飛躍的重要標志。在教學 中，讓學生經歷兩次具

6、體數”與“字母”的比照思辨，從而理解字母是表示一個 集合中的任意一個數。實踐中，學生對字母表示未知量“X”意義的理解處在不同 的水平層次。經過比照、思辨、交流等數學活動，促使學生對字母表示數的意 義理解從低水平層次向高水平層次轉變，較為深刻的理解字母表示變量的意義， 也進一步體會到字母表示數的優越性。也為用字母式表示具體情境中的數量關 系（變量），及辯論“4+ 32”與“a+ 32”的不同，鋪墊了理解的基礎。字母式既表示關系又表示數.重構“二”意義，感悟“式”表示數爸爸比小紅大32歲小紅的年齡/歲爸爸的年齡/歲 TOC o 1-5 h z 11+32=3322+32=3433+32=35（如上

7、圖）師：這些算式中表示的是什么意思？生：小紅年齡+32等于爸爸的年齡。師：左邊的1+32與右邊爸爸的年齡33是相等的。那“1+32”算式可以表示爸 爸的歲數嗎？生：可以表示，因為左右相等。師：那你喜歡用1+32還是喜歡用33來表示爸爸的年齡呢？生：我喜歡33,因為它很清晰。生：1+32,能看出爸爸的年 齡，還知道比小紅大32。.遷移比擬，感悟“字母式”表示數小紅的年齡賈老師的年齡aa+28a+28 比 a大 28。a比 a 128 小 28。（如上圖）師：看數學信息，知道了什么？生：賈老師比小紅大28歲。師：你是怎么知道的？生：a+28,是用小紅年齡a加28得到的。師：這么說，a+28不僅表示

8、賈老師的年齡，還表示賈老師與小紅年齡間的大 小關系。那剛才的a+32又表示了什么呢？生：a+32不僅表示了爸爸的年齡，還可看出爸爸比小紅大32歲這個關系。師：根據剛才的經驗，想一想“（a+32） +30”會是誰的年齡？生：爺爺歲數，a+32是爸爸年齡，爺爺比爸爸還要大30歲。生：只要比爸爸（a+32）大30歲的人都有可能。師：（a+32） +30表示了什么意思？生：表示比爸爸大30歲的歲數，又表示比爸爸大30歲的關系。反思:能理解字母式既能表示關系（過程），又能表示對象（結果）是理解字母表示一類量意義的重要的標志。在代數中，如字母 式a+32 ,既表示a與32相加這 一個過程操作，又表示為對象

9、、結構，即a+32的結果就是a+32o然而正是這 種既表示過程又表示對象的“二重性”特征，給學生造成了主要的理解障礙。它之 所以難，不僅僅是因為它本身具有的抽象性，還在于對它的建構，要抵抗已有 知識經驗的強烈負遷移。因為“式”（如2+32 ）算術中，具有操作性的、表示 過程的，目的是求結果，學生潛意識中要把2+ 32計算為34 ;而在代數運算中 是結構性的，是形式變換，關注結構，注重關系，此時的“式”除了表達過程外， 更多是關系結構的形式化。為突破，先重構“二”意義，鋪墊理解基礎。Booth 提出“如果學生不能理解兩個集合（假定分別含有5個和8個）物件的總數可 以寫成5+8 ,那么要他們理解a+ b表示了兩個集合（分別含有a個和b個）物 件的總數就更不可能了。”然要改造學生已有的經 驗，要結合“二”意義重構一起 進行，因為“越”在算術中，代表運算得到結果，是具有方向性、程序性的。而在代數中，“二”代表一種等價關系，因此“二”左右兩邊需有同樣的大小，沒有 方向性，具有結構性。先認識到33與1垣32是等價的，都能表示爸爸的年齡， 且1+32還能看出與小紅的關系，有了這樣的理解基礎，遷移到a+ 32表示爸 爸的年齡就簡單多了。為突破，再類比推理，思辨說理中加深理解。從a+