1、第十八章18.1.3 平行四邊形的判定人教版數學八年級下冊第十八章18.1.3 平行四邊形的判定人教版數學八年級下冊學習目標1.兩組對邊平行或相等的四邊形是平行四邊形.2.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.3.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.4.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.學習目標1.兩組對邊平行或相等的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的性質1.平行四邊形對邊平行.2.平行四邊形對邊相等.3.平行四邊形對角相等.4.平行四邊形對角線互相平分.復習導入平行四邊形的性質復習導入1知識點兩組對邊平行或相等的四邊形是平行四邊形 一裝潢店要招聘店員，老板出了這樣一道考題：“一顧客要一張

2、平行四邊形的玻璃，你利用工具度量哪些數據可說明這張玻璃符合顧客要求.”合作探究1知識點兩組對邊平行或相等的四邊形是平行四邊形 從邊看： 方法一：兩組對邊分別平行的四邊形是 平行四邊形；(定義法) 數學表達式：如圖，ABCD，ADBC， 四邊形ABCD是平行四邊形； 方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 數學表達式：如圖，ABCD，ADBC， 四邊形ABCD是平行四邊形；從邊看：要證四邊形BFDE是平行四邊形，根據平行四邊形的定義可證得DFBE，因此可采用判定方法一即定義法證明DEFB即可例1 如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE 平分ADC，交CB的延長線于點E，BF平分

3、ABC，交AD的延長線于點F. 求證：四邊形BFDE是平行四 邊形導引：要證四邊形BFDE是平行四邊形，例1 如圖所示，已知四邊 四邊形ABCD是平行四邊形， ADCABC，ADCB. DFBE. DE平分ADC，BF平分ABC， 1234. ADBC，1E. E3. DEFB. 四邊形BFDE是平行四邊形(兩組對邊分別 平行的四邊形是平行四邊形)證明： 四邊形ABCD是平行四邊形，證明： 平行四邊形的定義是判定平行四邊形的根本方法，也是其他判定方法的基礎當題目中出現平行的線段時，往往借助判定方法一來幫助我們對四邊形加以判斷新知小結 平行四邊形的定義是判定平行四邊形的根本方新知小結例2 如圖，

4、分別以ABC的三邊為一邊，在BC的同側 作等邊三角形ABD，等邊三角形BCE，等邊三角 形ACF，連接DE，EF. 求證：四邊形ADEF是平行四邊形由等邊三角形的性質可以得到線段相等，角相等，進而可以通過全等三角形證明四邊形ADEF的兩組對邊分別相等，最后根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行判定導引：例2 如圖，分別以ABC的三邊為一邊，在BC的同側由等ABD、BCE、ACF都為等邊三角形，DBABAD，BEBC，ACAF， DBA60，EBC60.DBE60EBA，ABC60EBA，DBEABC，DBEABC，DEAC.又ACAF，AFDE.同理可證：ABCFEC，ABFE，FEAD

5、，四邊形ADEF是平行四邊形證明：ABD、BCE、ACF都為等邊三角形，證明： 根據等邊三角形的性質可以得到線段相等，角相等，進而通過證明三角形全等得到四邊形ADEF的兩組對邊分別相等，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形得證新知小結 根據等邊三角形的性質可以得到線段相等，角相新且OA=OC，OB=OD.所以BOEDOF，所以BEDF.DFBCCDF，BEDABEA，四邊形ABCD是平行四邊形，所以OE OA OCOF.所以ABECDF，所以AECF.數學表達式：如圖，OAOC，OBOD，四邊形BFDE是平行四邊形例4 如圖， ABCD的對角線AC，BD 相交于點O，一組對邊平行且相等的四

6、邊形是平行四邊形；C對角線相等的四邊形邊形DBABAD，BEBC，ACAF，數學表達式：如圖，AB CD，平行四邊形形ACF，連接DE，EF.E，F是AC上的兩點，并且AE=CF.求證：四邊形AFGE是平行四邊形.四邊形EBFD是平行四邊形.兩組對邊平行或相等的四邊形是平行四邊形. AB=CD，EB/FD.如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F分別是OA，OC的中 點.四邊形BFDE是平行四邊形(兩組對邊分別從對角線方面判斷四邊形的形狀要注意是對角線DABCD，ADBC四邊形的是()如圖，ABDCEF，ADBC，DECF. 圖中有哪些互相平行的線段？1ABCD，ADBC，CDEF，

7、DECF，ABEF.解：鞏固新知且OA=OC，OB=OD.如圖，ABDCEF，ADBC2 四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，b為 一組對邊長，c，d為另一組對邊長且a2b2c2d2 2ab2cd，則這個四邊形是() A任意四邊形 B平行四邊形 C對角線相等的四邊形 D對角線垂直的四邊形B2 四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，b為2知識點兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形幾何語言： ABC=ADC，BAD=BCD，四邊形ABCD是平行四邊形(如圖所示)合作探究2知識點兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形幾何語言：合作探BC=DA.我們知道，如果一個四邊形是平行四邊形，那

8、么它例4 如圖， ABCD的對角線AC，BD 相交于點O，點E，DF平分ADC，交BC于點F，那么四邊例4 如圖， ABCD的對角線AC，BD 相交于點O，所以BOEDOF，所以BEDF.從對角線方面判斷四邊形的形狀要注意是對角線義和三角形外角的性質證出四邊形BFDE的兩組且OA=OC，OB=OD.ABECBE ABC，對角分別相等，于是可得出結論形ACF，連接DE，EF.【 中考衡陽】如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，可添加的條件不正確的是()1 下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD是平行根據等邊三角形的性質可以得到線段相等，角相例3 如圖，在ABCD中，

9、BE平分ABC，交AD于 點E，DF平分ADC，交BC于點F，那么四邊 形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？利用平行四邊形對角相等的性質可得ABCADC，AC，然后再依據角平分線的定義和三角形外角的性質證出四邊形BFDE的兩組對角分別相等，于是可得出結論導引：BC=DA.例3 如圖，在ABCD中，BE平分A四邊形BFDE是平行四邊形理由：在ABCD中，ABCADC，AC.BE平分ABC，DF平分ADC，ABECBE ABC，CDFADF ADC，CDFADFABECBE.DFBCCDF，BEDABEA，DFBBED，四邊形BFDE是平行四邊形解：四邊形BFDE是平行四邊形解： 當已知條件出現所要

10、說明的四邊形的角時，可選擇“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來判定新知小結 當已知條件出現所要說明的四邊形的角時，新知小結1 下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD是平行 四邊形的是() AABCD，ADBC BABAD，CBCD CABCD，ADBC DBC，ADC鞏固新知1 下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD是平行C鞏固3知識點對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 過前面的學習，我們知道，平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.反過來，對邊相等，或對角相等，或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？也就是說，平行四邊形的性質定理的逆命題成立嗎？ 下面我們以“對角線互相平分的四

11、邊形是平行四邊形”為例，通過三角形 全等進行證明.思考合作探究3知識點對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 過 如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，且OA=OC，OB=OD. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形. OA=OC，OD=OB, AOD=COB， AODCOB. OAD=OCB. AD/BC. 同理 AB/DC. 四邊形ABCD是平行四邊形. 證明： 如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點從對角線看：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形數學表達式：如圖，OAOC，OBOD，四邊形ABCD是平行四邊形從對角線看： 四邊形ABCD是平行四邊形， AO=CO，BO=DO. AE

12、=CF，AO-AE=CO-CF，即EO=FO.又 BO=DO，四邊形BFDE是平行四邊形.例4 如圖， ABCD的對角線AC，BD 相交于點O， E，F是AC上的兩點，并且AE=CF. 求證：四邊形BFDE是平行四邊形.證明： 四邊形ABCD是平行四邊形，例4 如圖， ABC 從對角線方面判斷四邊形的形狀要注意是對角線互相平分，即交點既是第一條對角線的中點，又是第二條對角線的中點.新知小結 從對角線方面判斷四邊形的形狀要注意是對角線新如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F分別是OA，OC的中 點. 求證BEDF.1因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以BODO，OAOC.因為E，F分

13、別是OA，OC的中點，所以OE OA OCOF.又因為BOEDOF，所以BOEDOF，所以BEDF.解：鞏固新知如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F分別是O如圖，線段AB，CD相交于點O，且圖上各點把線段AB，CD四等分，這些點可以構成_個平行四邊形24如圖，線段AB，CD相交于點O，且圖上各點把線段AB，CD四4知識點一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形我們知道，如果一個四邊形是平行四邊形，那么它的任意一組對邊平行且相等.反過來，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形嗎？ 我們猜想這個結論正確，下面進行證明.思考合作探究4知識點一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形我們知道，

14、如果 如圖，在四邊形ABCD中， AB/CD，且AB=CD. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形. 連接AC， AB/CD, 1=2. 又AB=CD，AC=CA. ABCCDA. BC=DA. 四邊形ABCD兩組對邊分別相等，它是平行四 邊形. 證明： 如圖，在四邊形ABCD中， AB/CD，且 于是我們又得到平行四邊形的一個判斷定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.新知小結 于是我們又得到平行四邊形的一個判斷定理：新知一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；數學表達式：如圖，AB CD，四邊形ABCD是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；四邊形ABCD是平行四邊形， AB

15、=CD，EB/FD.又EB= AB，FD= CD， EB=FD.四邊形EBFD是平行四邊形.例5 如圖，在ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點. 求證：四邊形EBFD是平行四邊形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，例5 如圖，在ABCD 要證四邊形是平行四邊形，已知有一組對邊平行，聯想的思路有兩種：一是證明另一組對邊平行；二是證明平行的這組對邊相等而證明邊相等要三角形全等這條思路較常見新知小結 要證四邊形是平行四邊形，已知有一組對邊平行，為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵軌之間的 枕木長相等就可以了. 你能說出其中的道理嗎？1因為一組對邊平行且相等的四邊形是平行四

16、邊形，所以鐵軌和夾在鐵軌之間的枕木構成了平行四邊形，因此可知兩條直鋪的鐵軌是互相平行的解：鞏固新知為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵如圖，在 ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點分別作AE丄BD， CF丄BD，E，F為垂足. 求證：四邊形AFGE是平行四邊形.2如圖，在 ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點分因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD，ABCD，所以CDBABD.又因為AEBD，CFBD，所以AEBCFD90，所以AECF.在ABE和CDF中，ABCD，ABECDF，AEBCFD，所以ABECDF，所以AECF.又因為AECF，所

17、以四邊形AFCE是平行四邊形解：因為四邊形ABCD是平行四邊形，解：3 (中考湘西州)下列說法錯誤的是() A對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 C一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 D一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是 平行四邊形D3 (中考湘西州)下列說法錯誤的是()D4【 中考衡陽】如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，可添加的條件不正確的是()AABCD BBCADCAC DBCADB4【 中考衡陽】如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，要使5如圖，在ABCD中，點E，F分別在AD，BC上，若要使四邊形AFCE

18、是平行四邊形，可以添加的條件是()AFCF；AECE；BFDE；AFCE.A或 B或C或 D或C5如圖，在ABCD中，點E，F分別在AD，BC上，若要使四6下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是()AABCD，ADBC BAC，BDCABCD，ADBC DABCD，ADBCD6下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是()D 平行四邊形的判定方法:(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形(5)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形歸納新知 平行四邊形的判定方法:歸納新知課后練習課后練習DDB