1、 一次函數&直角三角形第三講 一次函數概念&直角三角形 Part I ：Function一次函數的圖像與性質【新課學習】引例：一根蠟燭現長為16cm, 4小時后還剩6cm, 設x小時后，蠟燭剩余長y (cm).求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍。 答：（）【一次函數的概念】 形如 （，為常數）的函數叫做一次函數，定義域是一切實數。 特別地，當b=0時，形如（）的函數叫做正比例函數.故正比例函數是一次函數，一次函數不一定是正比例函數.形如 （是常數）的函數叫做常值函數. 表示：不論自變量怎樣變化，函數值總是常數.【一次函數的圖像】請用“列表、描點、連線”的方法作出下列函數的圖像，并總

2、結如何既快又準的作出一次函數的圖像。（1） （2） （圖略）【結論】 一次函數（）的圖像是 一條直線 ； 該直線與y軸交點為（0，b），b稱為該直線在y軸上的 截距 。練習： 直線與x軸的交點坐標為_（-2,0）_，與y軸的交點坐標為_（0,4）_，與兩坐標軸圍成的三角形面積為_4_. 已知直線和，求：它們與x軸所圍成的三角形的面積； 它們與y軸所圍成的三角形的面積.解：（1）3；（2）6 若某直線在y軸上的截距是6，且經過點（4 ，2），求該直線的函數解析式.解： 若某直線經過點A（2 ，5）、B（1 ，7），求該直線的函數解析式解：代入，則 所求函數： 直線l與直線的交點的橫坐標為2，與直

3、線的交點的縱坐標為7，求直線l的解析式。解：【探究】在同一坐標系下畫出 , , 的圖像，觀察圖像特點，總結規律。【結論】 一次函數 （）的圖像可由正比例函數 的圖像平移得到：當時，向上平移個單位； 當時，向下平移個單位； 兩條直線與平行的條件是；練習： 直線沿y軸向 上 平移 2 個單位得到直線. 把直線沿y軸向下平移5個單位，則所得直線的函數解析式是_. 已知直線與直線沒有交點，則k_5_. 一次函數的圖像與直線平行，且經過點（1，2），求此函數的解析式.解：設所求函數： 把（1，）代入，則， ，【一次函數的性質】一次函數（）的圖像在直角坐標平面內的位置情況如下：（1）當k 0, b 0時，

4、圖像經過第一、二、三象限； y隨x的增大而增大；（2）當k 0, b 0時，圖像經過第一、三、四象限； y隨x的增大而增大；（3）當k 0時，圖像經過第一、二、四象限； y隨x的增大而減小；（4）當k 0, b 0時，圖像總經過一、三象限， y隨x的增大而增大；當k 0時，圖像總經過二、四象限， y隨x的增大而減小.練習：已知一次函數的圖像不經過第四象限，求k的取值范圍。解：一次函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍.解：直線經過第一、三、四象限，那么直線不經過第_一_象限.已知一次函數，若y隨x的增大而減小，則該函數圖像經過第_一、二、四_象限.【鞏固與提

5、高】 若函數的圖像與坐標軸圍成的三角形面積為6，求k的值.解：設直線與軸交點為，（0，3） 與軸交點為（，0） （4，0）或（，0） 當為（4，0）時. 令， 令軸交點為 ， 若函數的圖像與坐標軸圍成的三角形面積為4，求b的值.解：令 令 與坐標軸交于（0，）、 已知直線l1過點A（0 ，2）、B（2 ，2），直線l2過點A，且l1、l2與x軸圍成的三角形面積為4，求l1和l2的函數解析式.解： l1：l2：或直線過、且平行于直線，O為坐標原點，求AOB的面積。 解： 令 5. 某機動車出發前油箱內有油42升，行駛若干小時后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）與行駛時間t（時）之間的

6、函數關系如圖5所示，根據下圖回答問題：（1）機動車行駛 5 小時后加油；（2）中途加油 24 升；（3）寫出直線CD的關系式 y= -6x+66 Q（升Q（升）t（時）CA42363024181261 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11OBD 圖5 圖66.圖中表示一次函數與正比例函數（、是常數，）圖象的是（ C ）yyxyyyxxxooooABCDDCPBA7.如圖，在矩形中，AB=2，動點P從點B出發，沿路線作勻速運動，那么的面積S與點P運動的路程之間的函數圖象大致是（ B ）DCPBAOO3113SxAO113SxO3Sx3O113SxBCD28.如圖，三個大小相同的正方形拼成六

7、邊形，一動點從點出發沿著 方向勻速運動，最后到達點.運動過程中的面積（）隨時間（t）變化的圖象大致是（ B ）Part II ：The Geometric直角三角形直角三角形性質：直角三角形中，兩個銳角互余。在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。特殊的直角三角形：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；反過來，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30。在直角三角形中，如果一個銳角等于45，那么這個三角形是等腰直角三角形。勾股定理及逆定理直角三角形兩直角邊的平方和，等于斜邊的平方；反之，若三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和，則這個三角形是

8、直角三角形?！竞?0的直角三角形】如圖，在ABC中，C=90，A=30，AB的垂直平分線交AC與D，交AB與E。求證：AD=2DC。證明：連接BD, 由于ED是AB的垂直平分線，所以EDAB,AD=BD，即ABD=A=30在RtABC中，A=30則B=60所以DBC=30，故BD是B的角平分線,DE=DC.在RtABC中，A=30，所以AD=2DE=2DC如圖，OC平分，P為OC上任意一點，PDOA交OB于D，PEOA于E。若OD=4cm，求PE的長。如圖，在中，是高，是的中點，的延長線交于點，且，若，求的長。證明， 是的中點，又在中，易知,.【直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半】如圖，已知

9、在鈍角ABC中，AC、BC邊上的高分別是BE、AD，BE、AD的延長線交于點H，點F、G分別是BH、AC的中點.BEFHDABEFHDAGC圖 （2）連結FG，試問FDG能否為等腰直角三角形？若能，試確定ABC的度數，并寫出你的推理過程；若不能，請簡要說明理由.證明：（1）AC、BC邊上的高分別是BE、AD，ADBD，AEBHACD和BDH和AEH是Rt 點F、G分別是BH、AC的中點. AGCGDG，BFHFDF GADGDA，FDHFHDAEH90，GADFHD90GDAFDH90，GDF90（2）FDG能為等腰直角三角形。若FDG為等腰三角形，則DGDF，即ABDHBD，此時E點與B點重

10、合。即ABBH，ABC45。如圖：在內，D是AC上任意一點，DE于E,M、N分別是BD、CE的中點.求證：證明：連接EM,MCDE垂直AB于E,DEB為Rt，M是BD的中點，EM=DB,同理在RtDCB中，M為DB的中點CM=DB,CM=EM=DB,又N為EC中點MN為CE的垂直平分線即MNCE在ABC中，ACB=90，D是AB邊的中點，點F在AC邊上，DE與CF平行且相等。求證：AE=DF 證明：連接EFDECF，EDFCFDDEFC，DFFD，DEFFCD（SAS）DEFFCD，CDEFDECF，DEFEFA，FCDEFA，ACB90，D是AB中點，CDAD，DAFDCFEFA，EFAD又

11、AFFA，DAFEFA（SAS），AEDF【等腰直角三角形】如圖，在ABC中，ACB=90，D、E為AB上的點，且AE=AC，BD=BC，EFCD于F。求證：CF=EF。證明：由于，故而EFCD于F，所以CEF是等腰直角三角形。即CF=EF。如圖，ABC是等邊三角形，DBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，AECD與E。求證：AE=ED。證明：連接AD。易證ABDACD（SAS）,即BAD=CAD=30 又ACD =ABD =ABCDBC =6045=15 在RtAEC中，EAC =9015=75 所以EAD =7530=45 在RtAED中，EAD =45 所以AED等腰直角三角形，即AE=E

12、D。如圖，C為線段AB上的點，過A，B，C分別作AB的垂線AD，BE，CF，使AD=BC，BE=AC，CF=AB。求證：AFD=BFE。證明：連接AE,BD。由于AD=BC，BE=AC，CF=AB易證ABDBCF，ABEACF可得BD=BF, ABD=CFB，即DBF=ABD+CBF=CFB+CBF=90同理可得AE=AF,且EAF=90所以AEF，BDF都是等腰直角三角形.AFD=AFEDFE=45DFEBFE=DFBDFE=45DFE 所以AFD=BFE【綜合運用】如圖：在中，D為垂足，E是AB的中點，EFBC,交AC于點F, 求證：證明：連結DEEF平行于BC（已知）AFE=C（兩直線平

13、行，同位角相等）A=2C（已知）A=2AFE（等量代換）BDAC（已知）ABD為直角三角形E是AB的中點（已知）DE是ABD的中線（中線定義）AB=2DE（直角三角形斜邊的中線是斜邊的一 半）ADE為等腰三角形A=ADEADE=DEF+DFE（三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內角之和）A=DEF+DFE2DFE=DEF+DFE即DFE=DEFDE=DF（等角對等邊）所以DF=AB如圖，P為邊BC上一點，且PC=2PB，已知，求的度數。四邊形ABCD中，。求AD的長?！菊n后作業】1.已知一次函數的圖象如圖1所示，那么的取值范圍是（ A ）ABCD圖2圖22將直線y2x向右平移2個單位所得的直

14、線的解析式是（ C ）。A、y2x2 B、y2x2 C、y2(x2) D、y2(x2)3.如圖2，一次函數的圖象經過A、B兩點，則關于x的不等式的解集是 x2 OxyAB2OxyAB2圖3交于點，則該一次函數的表達式為（ B ）ABCD5.一農民帶了若干自產的土豆進城出售，為了方便，他帶了一些零錢備用，按市場價售出一些后，又降價出售，售出土豆千克數與他手中持有的錢數（含備用零錢）的關系如圖所示，結合圖象回答農民自帶的零錢是5元；降價前他每千克土豆的出售的價格是 2 元；降價后他按每千克0.4元將剩余土豆售完，這時他手中的錢（含備用零錢）是26元，那么他一共帶了45千克土豆。已知不論取何值，一次函數的圖像都過一定點，求該定點的坐標。 答：一次函數與在同一坐標系中的圖像可能是（ C ）如圖，直線l1：與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線l2：與x軸、y軸分別交于C、D兩點，且l1、l2交于點P. 求四邊形PCOB的面積. 解：中，令令 ，0），（0，2） 中，令，令 （0，）， 聯立， 如圖，在中，AB=AC，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于F，求證：BF=2CF。在中，試說明是直角三角形。證明：過作平分交于，再過點作于，則垂直平分，又，所以，則，所以如圖，正方形ABCD中，點M為AB的中點，點N是EC的中點，求證：。如圖