1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試北京理科數(shù)學本試卷共5頁,150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第一部分(選擇題共40分)一、選擇題(共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.)1.(2015北京,理1)復數(shù)i(2-i)=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案:A解析:i(2-i)=2i-i2=2i-(-1)=1+2i.2.(2015北京,理2)若x,y滿足x-y0,x+y1,xA.0B.1C.32D.答案:D解析:根據(jù)題意,由約束條件畫出可行域如圖陰

2、影部分所示.目標函數(shù)z=x+2y,即y=-12x+z2.由圖可知當直線y=-12x+z2過點B(0,1)時,z取最大值,且zmax=0+23.(2015北京,理3)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8)答案:B解析:x=1,y=1,k=0,進入循環(huán):s=1-1=0,t=1+1=2,x=0,y=2,k=0+1=13;s=0-2=-2,t=0+2=2,x=-2,y=2,k=1+1=20,則a2+a30B.若a1+a30,則a1+a20C.若0a1aD.若a10答案:C解析:設(shè)等差數(shù)列公差為d.對于A選項,a1+a2=2a1+d0,

3、而a2+a3=2a1+3d不一定大于0;對于B選項,a1+a3=2a1+2d0,a1+a2=2a1+d不一定小于0;對于C選項,0a10.所以a2=a1對于D選項,(a2-a1)(a2-a3)=-d20.故只有C正確.7.(2015北京,理7)如圖,函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB,則不等式f(x)log2(x+1)的解集是()A.x|-1x0B.x|-1x1C.x|-1x1D.x|-1x2答案:C解析:如圖,作出函數(shù)f(x)與y=log2(x+1)的圖象.易知直線BC的方程為y=-x+2,由y=-x+2,y=log2(x由圖可知,當-1x1時,f(x)log2(x+1),所以所求解集為x|-1

4、0)的一條漸近線為3x+y=0,則a=答案:3解析:雙曲線x2a2-y2y=xa,即yxa=又a0,1a=3,11.(2015北京,理11)在極坐標系中,點2,3到直線(cos +3sin )=6的距離為答案:1解析:x=cos ,y=sin ,點2,3的直角坐標為2cos 3,2sin 3,(cos +3sin )=6,cos +3sin =6,x+3y-6=0.點(1,3)到直線x+3y-6=0的距離d=|1+3312.(2015北京,理12)在ABC中,a=4,b=5,c=6,則sin2AsinC=答案:1解析:在ABC中,由正弦定理知,sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2

5、cos Aa再根據(jù)余弦定理,得cos A=36+25-162所以sin2AsinC13.(2015北京,理13)在ABC中,點M,N滿足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,則x=,答案:12-解析:如圖,MN=1=13=12x=12,y=-114.(2015北京,理14)設(shè)函數(shù)f(x)=2若a=1,則f(x)的最小值為;若f(x)恰有2個零點,則實數(shù)a的取值范圍是.答案:-112,12,+解析:當a=1時,f(x)=2當x1時,2x-1(-1,1);當x1時,4(x-1)(x-2)-1,+).故f(x)的最小值為-1.若函數(shù)f(x)=2x-a的圖象在x0,并且當x=1時,f(1)

6、=2-a0,所以0a2.同時函數(shù)f(x)=4(x-a)(x-2a)的圖象在x1時與x軸有一個交點,所以a1,2a1若函數(shù)f(x)=2x-a的圖象在x1時與x軸沒有交點,則函數(shù)f(x)=4(x-a)(x-2a)的圖象在x1時與x軸有兩個不同的交點,當a0時,函數(shù)f(x)=2x-a的圖象與x軸無交點,函數(shù)f(x)=4(x-a)(x-2a)的圖象在x1上與x軸也無交點,不滿足題意.當21-a0,即a2時,函數(shù)f(x)=4(x-a)(x-2a)的圖象與x軸的兩個交點x1=a,x2=2a都滿足題意.綜上,a的取值范圍為12,12,+三、解答題(共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程)

7、15.(本小題13分)(2015北京,理15)已知函數(shù)f(x)=2sin x2cos x2-2(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間-,0上的最小值.解:(1)因為f(x)=22sin x-22(1-cos =sin x+所以f(x)的最小正周期為2.(2)因為-x0,所以-34x+當x+4=-2,即x=-34時,f(所以f(x)在區(qū)間-,0上的最小值為f-34=-116.(本小題13分)(2015北京,理16)A,B兩組各有7位病人,他們服用某種藥物后的康復時間(單位:天)記錄如下:A組:10,11,12,13,14,15,16B組:12,13,15,16,17,14,a假設(shè)所

8、有病人的康復時間相互獨立,從A,B兩組隨機各選1人,A組選出的人記為甲,B組選出的人記為乙.(1)求甲的康復時間不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率;(3)當a為何值時,A,B兩組病人康復時間的方差相等?(結(jié)論不要求證明)解:設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個人”,事件Bi為“乙是B組的第i個人”,i=1,2,7.由題意可知P(Ai)=P(Bi)=17,i=1,2,7(1)由題意知,事件“甲的康復時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康復時間不少于14天的概率是P(A5A6A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=3

9、7(2)設(shè)事件C為“甲的康復時間比乙的康復時間長”,由題意知,C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1049(3)a=11或a=18.17.(本小題14分)(2015北京,理17)如圖,在四棱錐A-EFCB中,AEF為等邊三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O為EF的中點.(1)求

10、證:AOBE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值.解:(1)因為AEF是等邊三角形,O為EF的中點,所以AOEF.又因為平面AEF平面EFCB,AO平面AEF,所以AO平面EFCB,所以AOBE.(2)取BC中點G,連接OG.由題設(shè)知EFCB是等腰梯形,所以O(shè)GEF.由(1)知AO平面EFCB,又OG平面EFCB,所以O(shè)AOG.如圖建立空間直角坐標系O -xyz,則E(a,0,0),A(0,0,3a),B(2,3(2-a),0),EA=(-a,0,3a),BE=(a-2,3(a-2),0).設(shè)平面AEB的法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,則x=3,y=

11、-1.于是n=(3,-1,1).平面AEF的法向量為p=(0,1,0).所以cos =np|由題知二面角F-AE-B為鈍角,所以它的余弦值為-55(3)因為BE平面AOC,所以BEOC,即BEOC=因為BE=(a-2,3(a-2),0),OC=(-2,3(2-a),0),所以BEOC=-2(a-2)-3(a-2)由BEOC=0及0a2x+(3)設(shè)實數(shù)k使得f(x)kx+x33對x(0,1)恒成立,解:(1)因為f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f(x)=11+x+11-x,f又因為f(0)=0,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程為y=2x.(2)令g(x)=f(x)

12、-2x+則g(x)=f(x)-2(1+x2)=2x因為g(x)0(0 xg(0)=0,x(0,1),即當x(0,1)時,f(x)2x+(3)由(2)知,當k2時,f(x)kx+x33對x(0,當k2時,令h(x)=f(x)-kx+則h(x)=f(x)-k(1+x2)=kx所以當0 x4k-2k時,h(x)因此h(x)在區(qū)間0,4k當0 x4k-2k時,h(x)h(0)即f(x)2時,f(x)kx+x33并非對x(0,綜上可知,k的最大值為2.19.(本小題14分)(2015北京,理19)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為22,點P(0,1)和點A(m,n)(m0)都在橢圓C

13、(1)求橢圓C的方程,并求點M的坐標(用m,n表示);(2)設(shè)O為原點,點B與點A關(guān)于x軸對稱,直線PB交x軸于點N.問:y軸上是否存在點Q,使得OQM=ONQ?若存在,求點Q的坐標;若不存在,說明理由.解:(1)由題意得b=1,ca=22故橢圓C的方程為x22+y2=設(shè)M(xM,0).因為m0,所以-1n18(n=1,2,(1)若a1=6,寫出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一個元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);(3)求集合M的元素個數(shù)的最大值.解:(1)6,12,24.(2)因為集合M存在一個元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù).由an+1=2an,an18,2an-36,a如果k=1,則M的所有元素都是3的倍數(shù).如果k1,因為ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍數(shù),于是ak-1是3的倍數(shù).類似可得,ak-2,a1都是3的倍數(shù),從而對任意n1,an是3的倍數(shù),因此M的所有元素都是3的倍數(shù).綜上,若集合M存在一個元素是3的倍數(shù),則M的所有元素都是3的倍數(shù).(3)由a136,an=2an-1,an-118,2an-1-36,a因為a1是正整數(shù),