1、材料物理性能 晶體結構第1頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四晶體內部結構概括為是由一些相同點子在空間有規(guī)則作周期性無限分布，這些點子的總體稱為點陣。（該學說正確地反映了晶體內部結構長程有序特征，后來被空間群理論充實發(fā)展為空間點陣學說，形成近代關于晶體幾何結構的完備理論。）1.1.1 空 間 點 陣一、布喇菲的空間點陣學說第2頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四關于結點的說明： 當晶體是由完全相同的一種原子組成，結點可以是原子本身位置。 當晶體中含有數(shù)種原子，這數(shù)種原子構成基本結構單元（基元），結點可以代表基元重心，原因是所有基元的重心都是結構中

2、相同位置，也可以代表基元中任意點子 結點示例圖1 . 點子空間點陣學說中所稱的點子，代表著結構中相同的位置，也為結點，也可以代表原子周圍相應點的位置。第3頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四晶體由基元沿空間三個不同方向，各按一定的距離周期性地平移而構成，基元每一平移距離稱為周期。在一定方向有著一定周期，不同方向上周期一 般不相同?；揭平Y果：點陣中每個結點周圍情況都一樣。2 . 點陣學說概括了晶體結構的周期性第4頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四3 . 晶格的形成通過點陣中的結點，可以作許多平行的直線族和平行的晶面族，點陣成為一些網(wǎng)格-晶格。

3、第5頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 平行六面體原胞概念的引出： 由于晶格周期性，可取一個以結點為頂點，邊長等于該方向上的周期的平行六面體作為重復單元，來概括晶格的特征。即每個方向不能是一個結點（或原子）本身，而是一個結點（或原子）加上周期長度為a的區(qū)域，其中a叫做基矢 。這樣的重復單元稱為原胞。第6頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 原胞（重復單元）的選取規(guī)則 反映周期性特征：只需概括空間三個方向上的周期大小，原胞可以取最小重復單元（物理學原胞），結點只在頂角上。反映對稱性特征：晶體都具有自己特殊對稱性。結晶學上所取原胞體積不一定最小，結

4、點不一定只在頂角上，可以在體心或面心上（晶體學原胞）；原胞邊長總是一個周期，并各沿三個晶軸方向；原胞體積為物理學原胞體積的整數(shù)倍數(shù)。 第7頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四引出物理學原胞的意義：三維格子的周期性可用數(shù)學的形式表示如下： T(r)=T(r+l1a1+l2a2+l2a3)r為重復單元中任意處的矢量；T為晶格中任意物理量；l1、l2、l3是整數(shù)，a1、a2、a3是重復單元的邊長矢量。為進行固體物理學中的計算帶來很大的方便。位矢RrR+r第8頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四不喇菲點陣的特點： 每點周圍情況都一樣。是由一個結點沿三維空

5、間周期性平移形成，為了直觀，可以取一些特殊的重復單元（結晶學原胞）。 完全由相同的一種原子組成，則這種原子組成的網(wǎng)格為不喇菲格子，和結點所組成的網(wǎng)格相同。 晶體的基元中包含兩種或兩種以上原子，每個基元中，相應的同種原子各構成和結點相同網(wǎng)格-子晶格（或亞晶格）。 復式格子（或晶體格子）是由所有相同結構子晶格相互位移套構形成。4 .結點的總體-不喇菲點陣或不喇菲格子第9頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四晶體格子（簡稱晶格）：晶體中原子排列的具體形式。原子規(guī)則堆積的意義：把晶格設想成為原子規(guī)則堆積，有助于理解晶格組成，晶體結構及與其有關的性能等。二 、 晶 格 的 實 例1

6、. 簡單立方晶格2. 體心立方晶格3. 原子球最緊密排列的兩種方式第10頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四特點：層內為正方排列，是原子球規(guī)則排列的最簡單形式；原子層疊起來，各層球完全對應，形成簡單立方晶格；這種晶格在實際晶體中不存在，但是一些更復雜的晶格可以在簡單立方晶格基礎上加以分析。 原子球的正方排列簡單立方晶格典型單元1. 簡單立方晶格第11頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四簡單立方晶格的原子球心形成一個三維立方格子結構，整個晶格可以看作是這樣一個典型單元沿著三個方向重復排列構成的結果。 簡單立方晶格單元沿著三個方向重復排列構成的圖形第

7、12頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四2. 體心立方晶格 體心立方晶格的典型單元排列規(guī)則：層與層堆積方式是上面一層原子球心對準下面一層球隙，下層球心的排列位置用A標記，上面一層球心的排列位置用B標記，體心立方晶格中正方排列原子層之間的堆積方式可以表示為 ： AB AB AB AB體心立方晶格的堆積方式第13頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四體心立方晶格的特點：為了保證同一層中原子球間的距離等于A-A層之間的距離，正方排列的原子球并不是緊密靠在一起；由幾何關系證明，間隙=0.31r0，r0為原子球的半徑。具有體心立方晶格結構的金屬：Li、Na

8、、K、 Rb、 Cs、 Fe等，第14頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四密排面：原子球在該平面內以最緊密方式排列。堆積方式：在堆積時把一層的球心對準另一層球隙，獲得最緊密堆積，可以形成兩種不同最緊密晶格排列。AB AB AB排列（六角密排晶格）ABC ABC ABC排列（立方密堆）3.原子球最緊密排列的兩種方式第15頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四前一種為六角密排晶格，（如Be、Mg、Zn、Cd），后一種晶格為立方密排晶格，或面心立方晶格（如Cu、Ag、Au、Al） 面心立方晶格 （立方密排晶格） 面心（111）以立方密堆方式排列第16頁，

9、共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 面心立方晶體（立方密排晶格）第17頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四六方密堆晶格的原胞第18頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四、不喇菲格子與復式格子把基元只有一個原子的晶格，叫做不喇菲格子；把基元包含兩個或兩個以上原子的，叫做復式格子。注：如果晶體由一種原子構成，但在晶體中原子周圍的情況并不相同（例如用X射線方法，鑒別出原子周圍電子云的分布不一樣），則這樣的晶格雖由一種原子組成，但不是不喇菲格子，而是復式格子。原胞中包含兩個原子。第19頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19

10、分，星期四1 . 氯化鈉結構 表示鈉 表示氯鈉離子與氯離子分別構成面心立方格子，氯化鈉結構是由這兩種格子相互平移一定距離套購而成。第20頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四2 . 氯化銫結構 表示Cs 。 表示Cl第21頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四3 . 鈣鈦礦型 結構 表示Ba 表示O 表示Ti結晶學原胞 氧八面體第22頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四基元中任意點子或結點作周期性重復的晶體結構復式原胞重復的晶體結構第23頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四第24頁，共187頁，2022

11、年，5月20日，22點19分，星期四 五個子晶胞第25頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四注：結點的概念以及結點所組成的不喇菲格子的概念，對于反映晶體中的周期性是很有用的?；胁煌铀鶚嫵傻募w運動常可概括為復式格子中各個子晶格之間的相對運動。固體物理在討論晶體內部粒子的集體運動時，對于基元中包含兩個或兩個以上原子的晶體，復式格子的概念顯得重要，第26頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四四、結晶學原胞與固體物理學原胞間的相互轉化 簡立方 體立方 面心立方 立方晶系不喇菲原胞原胞的基矢為： a1=ia, a2=ja, a3=ka結晶學中，屬于立

12、方晶系的不喇菲原胞有簡立方、體心立方和面心立方。1. 簡立方第27頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四2. 體心立方第28頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四固體物理學的原胞基矢與結晶學原胞基矢的關系： a1=(-i+j+k)a2 a2=(k+i-j)a2 a3=(i+j-k)a2體積關系：結晶學原胞的體積是物理學原胞的2倍。原因是結晶學原胞中含有兩個原子，而物理學原胞中含有一個原子。第29頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四R=l1a1+l2a2+l2a3R=2a1+a2+a3R物理=a2+a3R結晶=(1/2)a+ (

13、1/2) a+a= (1/2)(a+a+2a)3. 面心立方a1a2a3第30頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四4. 六角密堆固體物理學的原胞基矢與結晶學原胞基矢的關系： a1=(j+k)a2 a2=(k+i)a2 a3=(i+j)a2體積關系：結晶學原胞的體積是物理學原胞的4倍。原因是結晶學原胞中含有4個原子，而物理學原胞中含有一個原子。第31頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四1.1.2 密 勒 指 數(shù)一、晶列 1. 晶列通過任意兩個格點連一直線，則這一直線包含無限個相同格點，這樣的直線稱為晶列，也是晶體外表上所見的晶棱。其上的格點分布具有

14、一定的周期-任意兩相鄰格點的間距。 第32頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四1. 晶列的特點 （1）一族平行晶列把所有點 包括無遺。 （2）在一平面中，同族的相鄰晶列之間的距離相等。 （3）通過一格點可以有無限 多個晶列，其中每一晶列都有一族平行的晶列與之對應。 （4 ）有無限多族平行晶列。第33頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 - 。 。 。 。 。 。 。 。 。 晶面的特點：（1）通過任一格點，可以作全同的晶面與一晶面平行，構成一族平行晶面.（2）所有的格點都在一族平行的晶面上而無遺漏；（3）一族晶面平行且等距，各晶面上格點分布情況相

15、同；（4）晶格中有無限多族的平行晶面。二、晶面第34頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四三、晶向 一族晶列的特點是晶列的取向，該取向為晶向； 同樣一族晶面的特點也由取向決定，因此無論對于晶列或晶面，只需標志其取向。 注：為明確起見，下面仍只討論物理學的不喇菲格子。第35頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四任一格點 A的位矢Rl為 Rl =l1a1+l2a2+l3a3式中l(wèi)1、l2、l3是整數(shù)。若互質，直接用他們來表征晶列OA的方向（晶向），這三個互質整數(shù)為晶列的指數(shù)，記以 l1，l2，l3同樣，在結晶學上，原胞不是最小的重復單元，而原胞的體積是最

16、小重復簡單整數(shù)倍，以任一格點o為原點，a、b、c為基矢，任何其他格點A的位矢為 k ma+knb+kpc其中m、n、p為三個互質整數(shù)，于是用m、n、p來表示晶列OA的方向，記以nmp。1 . 晶列指數(shù) （晶列方向的表示方法）ORlAa1a2a3第36頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四表示晶面的方法，即方位： 在一個坐標系中用該平面的法線方向的余弦；或表示出這平面在座標軸上的截距。a1a2a3設這一族晶面的面間距為d，它的法線方向的單位矢量為n，則這族晶面中，離開原點的距離等于d的晶面的方程式為： R n=d為整數(shù)；R是晶面上的任意點的位矢。R2. 密勒指數(shù)（ 晶面方向

17、的表示方法）第37頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四設此晶面與三個座標軸的交點的位矢分別為ra1 、sa2、ta3,代入上式，則有 ra1cos(a1,n)=d sa2cos(a2,n)=d ta3cos(a3,n)=da1 、 a2、a3取單位長度，則得cos(a1,n)： cos(a2,n) ：cos(a3,n)=1r：1s：1t結論：晶面的法線方向n與三個坐標軸（基矢）的夾角的余弦之比等于晶面在三個軸上的截距的倒數(shù)之比。第38頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 已知一族晶面必包含所有的格點 ，因此在三個基矢末端的格點必分別落在該族的不同

18、的晶面上。設a1 、 a2、a3的末端上的格點分別在離原點的距離為h1d、h2d、h3d的晶面上，其中h1、h2、h3都是整數(shù)，三個晶面分別有 a1n=h1d , a2n=h2d , a3n=h3dn是這一族晶面公共法線的單位矢量，于是 a1cos(a1,n)=h1d a2cos(a2,n)=h2d a3cos(a3,n)=h3d證明截距的倒數(shù)之比為整數(shù)之比第39頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四cos(a1,n)： cos(a2,n) ：cos(a3,n)=h1：h2：h3結論： 晶面族的法線與三個基矢的夾角的余弦之比等于三個整數(shù)之比。可以證明 ：h1、h2、h3三

19、個數(shù)互質，稱它們?yōu)樵摼孀宓拿嬷笖?shù)，記以（ h1h2h3）。即把晶面在座標軸上的截距的倒數(shù)的比簡約為互質的整數(shù)比，所得的互質整數(shù)就是面指數(shù)。幾何意義：在基矢的兩端各有一個晶面通過，且這兩個晶面為同族晶面，在二者之間存在hn個晶面，所以最靠近原點的晶面（=1）在坐標軸上的截距為a1/h1、a2/h2、a3/h3,同族的其他晶面的截距為這組截距的整數(shù)倍。第40頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四實際工作中，常以結晶學原胞的基矢a、b、c為坐標軸來表示面指數(shù)。在這樣的坐標系中，標征晶面取向的互質整數(shù)稱為晶面族的密勒指數(shù)，用(hkl)表示。例如：有一ABC面，截距為4a、b、c

20、, 截距的倒數(shù)為1/4、1、1，它的密勒指數(shù)為（1，4，4）。另有一晶面，截距為2a、4b、c, 截距的倒數(shù)為1/2、1/4、0，它的密勒指數(shù)為（2、1、0）。第41頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四簡單晶面指數(shù)的特點： 晶軸本身的晶列指數(shù)特別簡單，為100、010、001； 晶體中重要的帶軸的指數(shù)都是簡單的； 晶面指數(shù)簡單的晶面如（110）、（111）是重要的晶面； 晶面指數(shù)越簡單的晶面，面間距d就越大，格點的面密度大，易于解理； 格點的面密度大，表面能小，在晶體生長過程中易于顯露在外表；對X射線的散射強，在X射線衍射中，往往為照片中的濃黑斑點所對應。第42頁，共1

21、87頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四1.1.3 倒 格 子條件：X射線源、觀測點與晶體的距離都比晶體的線度大的多，入射線和衍射線可看成平行光線；散射前后的波長不變,且為單色。 一、從X射線衍射方程 反射公式引出倒 格矢概念第43頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四第44頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四第45頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四第46頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四第47頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四CO= -Rl S0 OD= R

22、l S衍射加強條件： Rl （ SS0 ）=有：ko=(2/ ) S0 k=(2/ ) S得：Rl （ kk0 ）= 2 設： kk0 =n Khkk0 =n Kh的物理意義：當入射波矢和衍射波矢相差一個或幾個Kh（倒格矢）時，滿足衍射加強條件， n為衍射級數(shù)。1. 衍射方程CRlD衍射線單位基矢S OA入射線單位基矢S0晶面第48頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四2. 反射公式 |kk0 |= 2 |S/ - S0 / | =( 4/ ) sin |kk0 | = | n Kh |= 2n/dh1h2h3 | Kh |= 2/dh1h2h3PATAPQQSd入射線與

23、反射線之間的光程差： =SA+A T=2d sin 滿足衍射方程：2dh1h2h3 sin =n kk0kk0第49頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四設一晶格的基矢為 a1 、 a2、a3，有如下的關系： b1= 2(a2a3) 說明b1垂直于a2和a3所確定的面； b2= 2(a3a1) 說明b2垂直于a3和a1所確定的面 b3= 2(a1a2 說明b3垂直于a1和a2所確定的面 式中： = a1 ( a2a3)為晶格原胞的體積。二、倒格子的概念1. 倒格子的數(shù)學定義第50頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四倒格子：以b1、b2、b3為基矢的

24、格子是以a1、a2、a3為基矢的格子的倒格子。（1） 正格子基矢和倒格子基矢的關系2. 正格子與倒格子的幾何關系 =2 (i=j) aibj=2i j =0 (ij)證明如下： a1b1=2 a1 ( a2a3) / a1 ( a2a3) = 2 因為倒格子基矢與不同下腳標的正格子基矢垂直，有： a2b1=0 a3b1=0第51頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 （2）除（2）3因子外，正格子原胞體積和倒格子原胞體積*互為倒數(shù)。 *=b1 ( b2b3) = (2）3/ 表示正格點 表示倒格點ABC為一族晶面（h1h2h3）中的最靠近原點的晶面，與 k h垂直a1a2

25、a3BCAk ha1/h1a3/h3a2/h2（3）正格子中一族晶面（h1h2h3）和倒格矢 k h=h1b1+h2b2+h3b3 正交，即晶面的彌勒指數(shù)是垂直于該晶面的最短倒格矢坐標.第52頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四由（3）、（4）可知，一個倒格矢代表正格子中的一族平行晶面 。 晶面族（h1h2h3）中離原點的距離為 d h1h2h3的晶面的方程式可寫成： R l kh/|kh|= d h1h2h3 (=0,1,2,)得出正格矢和倒格矢的關系： R l kh= 2 結論：如果兩矢量的關系：R l kh= 2，則其中一個為正格子，另一個必為倒格子；即正格矢和倒

26、格矢恒滿足正格矢和倒格矢的關系。（4）倒格矢的長度正比于晶面族（h1h2h3）的面間距的倒數(shù)。dh1h2h3=a1/h1kh/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2/|kh|第53頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四結論： 倒格矢Kh垂直某一晶面（ h1h2h3 ），也即該晶面的法線方向與此倒格矢方向一致。 倒格矢Kh的大小與和其垂直的晶面間距成正比。 一個倒格矢對應一族晶面，但一族晶面可以對應無數(shù)個倒格矢，這些倒格矢的方向一致，大小為最小倒格矢的整數(shù)倍。 滿足X射線衍射的一族晶面產生一個斑點，該斑點代表一個倒格點，即該倒格點對應一族晶面指數(shù)。

27、第54頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四kk0 =n Kh的物理意義：當入射波矢和衍射波矢相差一個或幾個倒格矢Kh時，則該族晶面（h1h2h3） 滿足衍射加強條件， n為衍射級數(shù)。從2dh1h2h3 sin =n 中可知：對于某一個確定的晶面族，要滿足衍射加強條件，可以改變入射波矢的方向，即改變，或改變入射波矢的大小，即改變。第55頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 b1 a1 =2 b2 a2=2a2a1b1b2Kl|Kl|=(3b1)2+4b2)21/2 =(32/ a1)2+4 2/a2)21/2面間距：d= 2/ |Kl|=(6/ a

28、1)2+ (8/a2)21/2RlOAB Rl=l1a1+l2a2+l3a3 Kl=l1b1+l2b2+l3b3 Rl=5a1+2a2 Kl=3b1+4b2證明：3b1+4b2 (3 4) 有：AB=OA-OB=a1/3 - a2/4AB (3b1+4b2 )=(a1/3 - a2/4) (3b1+4b2 )= a1 b1 - a2 b2 a1 b1 =0例如第56頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四利用倒易點陣（倒格子）與正格子間的關系導出晶面間距和晶面夾角。 晶面間距dh1h2h3 ：dh1h2h3=2/ |kh1h2h3| 兩邊開平方， 將kh1h2h3 =h1b

29、1+h2b2+h3b3及正倒格子的基矢關系代入，經過數(shù)學運算，得到面間距公式。晶面夾角 ： k1 k2 = k1 k2 COS 第57頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四100200300001002003101201301103202203(100)(001)(102)O倒格子與正格子間的相互轉化102第58頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四0b1b2 一維格子倒格子原胞：作由原點出發(fā)的諸倒格矢的垂直平分面，這些平面完全封閉形成的最小的多面體（體積最?。?第一布里淵區(qū)。b1b20二維格子3 . 倒格子原胞和布里淵區(qū)ab第59頁，共187頁，2

30、022年，5月20日，22點19分，星期四構成第一布里淵區(qū)（簡約布里淵區(qū)）的垂直平分線的方程式如下： x=/a 及 y=/a 第二布里淵區(qū)的各個部分分別平移一個倒格矢，可以同第一區(qū)重合。第三布里淵區(qū)的各個部分分別平移適當?shù)牡垢袷敢材芡谝粎^(qū)重合。 (2/a) i-(2/a) i(2/a) j-(2/a) j第60頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四4 . X射線衍射與倒格子、布里淵區(qū)的關系（1） X射線衍射與倒格子的關系根據(jù)公式： kk0 =n Kh , 建立反射球或衍射球入射線的波矢k0 反射線的波矢k倒格矢KhOCA晶面反射球R l kh/|kh|= d h1h2h

31、3Rl .( kk0 ）= 2 dh1h2h3=2/ |kh1h2h3|（h1h2h3）（h1 h2 h3 ）第61頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四建立反射球的意義 通過所建立的反射球，把晶格的衍射條件和衍射照片上的斑點直接聯(lián)系起來。 利用反射球求出某一晶面族發(fā)生衍射的方向 （若反射球上的A點是一個倒格點，則CA就是以OA為倒格矢的一族晶面h1h2h3的衍射方向S）。第62頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四OC倒格矢球面與反射球相交于一圓同一晶面由于晶體的旋轉引起該晶面倒格矢的旋轉從而形成倒格矢球面。第63頁，共187頁，2022年，5月2

32、0日，22點19分，星期四結論：所有落在此球上的倒格點都滿足關系式: kk0 =n Kh即滿足衍射加強條件。衍射線束的方向是C點至A點的聯(lián)線方向。第64頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 第一布里淵區(qū) 第一布里淵區(qū) 第一布里淵區(qū) 二維正方格子的布里淵區(qū) (2/a) i-(2/a) i(2/a) j-(2/a) j（2） X射線衍射與布里淵區(qū)的關系結論： 入射波矢從倒格子原點出發(fā)終止在布里淵區(qū)邊界，該對應的入射波滿足衍射條件kk0 =n Kh。第65頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四第66頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星

33、期四復式格子（幾個子晶格）子晶格復式原胞基矢子原胞固體物理學原胞 平行六面體 最小重復單元 基矢 多原子 周期性晶格 結點 基元 空間點陣 晶列晶面 單原子 晶向 對稱性晶格 面指數(shù)晶列指數(shù) 最小重復單元的 布喇菲格子（正格子） 倒格子 倒格矢 結晶學原胞 布喇菲原胞 子原胞 復式原胞 基矢 幾倍晶體結構中的概念體系第67頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 晶體的基本特征是結構具有周期性。用空間點陣概括周期性，空間點陣是由R =l1a1+l2a2+l3a3的點的集合組成的點陣。 布喇菲格子的最主要特征是每個格點周圍的情況都一樣。對于多個原子組成的“分子”，將其看作基元

34、。真實的晶體結構是由點陣+基元構成。 晶體結構的周期性重復單元稱為原胞。最小的重復單元是固體物理學原胞（包含一個原子或一個“分子”），最小單元的整數(shù)倍是結晶學原胞（包含多個原子或多個“分子”）。由周圍情況相同的原子組成的格子為子晶胞，子晶胞相互沿空間移動（套購）形成的晶胞為復式格子。 晶體中的晶面用密勒指數(shù)表示。 重要的簡單結構有體心立方、面心立方、六角密堆、氯化鈉、氯化銫、金剛石結構。小 結第68頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 每個晶體結構有兩個點陣同它聯(lián)系：晶體點陣和倒格子點陣，正格子點陣是真實空間的點陣，倒格子點陣是在波矢空間的點陣。結晶學家喜歡用正格子，而

35、物理學家喜歡用倒格子，因為它在數(shù)學處理上具有優(yōu)越性。 兩個點陣的基矢具有一定的幾何關系（包括方向、大?。?。 倒格子原胞的選?。鹤饔稍c出發(fā)的諸倒格矢的垂直平分面，為這些平面所完全封閉的最小體積-第一布里淵區(qū)。其體積與正格子體積成正比。 倒格子中的一個格點與正格子中的一族晶面相對應。 衍射條件：入射波矢和反射波矢之差為該平面族所對應的倒格矢的整數(shù)倍。 晶體衍射的過程就是把正格子中一族晶面轉化為倒格子中的一點的過程。第69頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四1.2.1 晶體結合的類型1.2.2 結合力 1.2 晶體的結合結合力的不同可以將其分成五個典型的結合類型: 離子晶體

36、 原子晶體 金屬晶體 分子晶體 氫鍵晶體1.2.1 晶體的結合類型第70頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四I-VII族組成的晶體是典型的離子晶體，如： NaCI、 CsCI；II-VI族化合物可以看作離子晶體，如：CdS、ZnS。一、離子晶體1 . 類型剛球模型：組成離子晶體的原子在得失電子后，電子組態(tài)與惰性原子的電子組態(tài)一樣，這種電子殼層結構是穩(wěn)定的，具有球形對稱性，由此可以把正負離子作為鋼球來處理。 2. 基本概念第71頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四結合力：正負離子間的靜電庫侖力 。 配位體：離子的最鄰近的異種離子。配位數(shù)：異種離子的

37、總數(shù)。晶體的結合能Eb：晶體由N個原子組成，這些原子的在自由時的總能量EN與晶體處于穩(wěn)定狀態(tài)時的能量（動能和勢能）E0之差。晶體結合能的意義：結合能對了解組成晶體的粒子間相互作用的本質，為探索新材料的合成提供了理論指導。第72頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 (1） 氯化鈉型是由兩種面心立方結構的離子沿晶軸平移1/2間距而成，配位數(shù)為6。NaCI、KCI、AgBr、PbS、MgO等皆屬此類； ( 2）氯花銫型是由兩種簡立方結構的離子沿空間對角線位移1/2長度套購而成，配位數(shù)為8。TiBr、TiI等皆屬此類。3 . 晶格復式格子。4 . 典型的離子晶體結構（3）離子結

38、合成分較大的半導體材料ZnS等，是由兩種各為面心立方結構的離子沿空間對角線位移1/4程度套購而成的閃鋅礦結構，配位數(shù)為4。第73頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四結合能的數(shù)量級約在800kJ/mol，結構穩(wěn)定導致4 . 特性導電性能差、熔點高、硬度高、熱膨脹系數(shù)小。在紅外區(qū)有一特征峰，但對可見光是透明的 。第74頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四晶格：復式格子類型： IV族元素C（晶剛石）、Si、Ge、Sn(灰錫）的晶體。結合力：共價鍵力。特點：飽和性-形成鍵的數(shù)目（配位數(shù)）有一 最大值；方向性-各個共價鍵之間有確定的取向。 例如：金剛石結構

39、的4個鍵的方向是沿著正四面體的4個頂角方向，鍵間的夾角恒為109028。 二、原子晶體（共價晶體）第75頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四特性：特性差別較大。典型的原子晶體，具有熔點高、導電性能差、硬度高等特點。例如：從熔點來看，金剛石約為3280k、而Si為1693k，Ge為1209k。從導電性來看，金剛石是一種良好的絕緣體，而Si和Ge在極低溫度下才是絕緣體，同時它們的電阻率隨溫度升高而急速的下降，是典型的半導體材料。第76頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四類型：I、 II族元素及過渡元素都是典型的金屬晶體。結合力：主要是由原子實和 電子

40、云之間的靜電庫侖力，所以要求排列最緊密。晶格：不喇菲格子。 原胞：大多數(shù)金屬為立方密積和六角密積，配位數(shù)均為12。前者如Cu、Ag、Au、AI，后者如Be、Mg、Zn、Cd。少數(shù)金屬具有體心立方結構，如Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W等。特性：具有良好的導電性，結合力小，但過渡金屬的結合能則比較大。三、金屬晶體第77頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四晶體中粒子的互作用可分為兩大類： 1 . 吸引作用：是由于異性電荷之間的庫侖力，引起的作用在遠距離是主要的。 2. 排斥作用：一是同性電荷之間的庫侖力，二是泡利原理所引起，在近距離是主要的。 在一適當?shù)木嚯x 吸引作用

41、= 排斥作用 晶格處于穩(wěn)定狀態(tài)1.2.2 結合力一 、 結合力第78頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四原子間的相互作用由勢能u(r)可以按下式計算互作用力： f(r) = -du(r)/dr 當兩原子很靠近時，斥力大于引力， 總的作用力f(r) 0。 當兩原子相離比較遠時，總的作用力為引力，f(r)0 二 互作用力、互作用勢能和原子間距的關系u(r)rrf(r)rorm斥力吸引力1. 計算ro 、rm第79頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四在某一適當距離ro，引力和斥力相抵消，f(r)=0即： du(r)/dr| ro=0得 ro 由：df(

42、r)/dr| rm=- d2u(r)/dr2|rm= 0 得 rm第80頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四兩原子間的互作用勢能可用密函數(shù)來表達： u(r)=A/rm+B/rn A、B、m、n為大于零的常數(shù) ，第一項表示吸引能，第二項表示斥力能。晶體中總互作用勢能為原子或離子對間的互作用勢能之和用經典的處理方法： 先計算兩個原子之間的互作用勢能，再把晶體的結構因素考慮進去，綜合起來就可以求得晶體的總勢能。 設晶體中兩原子的互作用勢能為u(rij),則由N個原子組成的晶體其總的互作用勢能為： u(r) =1/2 u(rij) 2 . 求結合能第81頁，共187頁，2022

43、年，5月20日，22點19分，星期四已知原子間的結合力、結合能的數(shù)學表達式，可以計算晶格常數(shù)、體積彈性模量、抗張強度等許多物理量。例如： 晶胞常數(shù)的計算：原子處于平衡位置時，結合能最小，由 du(r)/dr| ro=0 求晶格常數(shù)。 三、結合力、勢能的意義第82頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 小 結1 . 固體的結合全部歸因于電子的負電荷和原子核的正電荷之間的靜電吸引作用。但不同類型，表現(xiàn)形式不同。 離子鍵是由異性離子的靜電吸引而形成； 共價鍵是反平行自旋的交疊電子，通過靜電吸引束縛與它們關聯(lián)的離子而形成； 金屬鍵是靠負電子云同正離子實間的庫侖力形成； 分子鍵靠感

44、生偶極矩間的互作用形成 氫鍵是氫原子核通過庫侖作用與負電性較大的離子結合形成。2. 原子間的排斥作用來源于交疊電荷的靜電排斥和泡利原理造成的排斥。3. 晶體采用何種結合類型決定于原子束縛電子的能力，這個能力由原子的電負性衡量。4 . 晶體結合力是研究其理化性能的基礎。第83頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四1.2.1 晶體結合的類型1.2.2 結合力 1.2 晶體的結合結合力的不同可以將其分成五個典型的結合類型: 離子晶體 原子晶體 金屬晶體 分子晶體 氫鍵晶體1.2.1 晶體的結合類型第84頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四I-VII族組成

45、的晶體是典型的離子晶體，如： NaCI、 CsCI；II-VI族化合物可以看作離子晶體，如：CdS、ZnS。一、離子晶體1 . 類型剛球模型：組成離子晶體的原子在得失電子后，電子組態(tài)與惰性原子的電子組態(tài)一樣，這種電子殼層結構是穩(wěn)定的，具有球形對稱性，由此可以把正負離子作為鋼球來處理。 2. 基本概念第85頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四結合力：正負離子間的靜電庫侖力 。 配位體：離子的最鄰近的異種離子。配位數(shù)：異種離子的總數(shù)。晶體的結合能Eb：晶體由N個原子組成，這些原子的在自由時的總能量EN與晶體處于穩(wěn)定狀態(tài)時的能量（動能和勢能）E0之差。晶體結合能的意義：結合能

46、對了解組成晶體的粒子間相互作用的本質，為探索新材料的合成提供了理論指導。第86頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 (1） 氯化鈉型是由兩種面心立方結構的離子沿晶軸平移1/2間距而成，配位數(shù)為6。NaCI、KCI、AgBr、PbS、MgO等皆屬此類； ( 2）氯花銫型是由兩種簡立方結構的離子沿空間對角線位移1/2長度套購而成，配位數(shù)為8。TiBr、TiI等皆屬此類。3 . 晶格復式格子。4 . 典型的離子晶體結構（3）離子結合成分較大的半導體材料ZnS等，是由兩種各為面心立方結構的離子沿空間對角線位移1/4程度套購而成的閃鋅礦結構，配位數(shù)為4。第87頁，共187頁，20

47、22年，5月20日，22點19分，星期四結合能的數(shù)量級約在800kJ/mol，結構穩(wěn)定導致4 . 特性導電性能差、熔點高、硬度高、熱膨脹系數(shù)小。在紅外區(qū)有一特征峰，但對可見光是透明的 。第88頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四晶格：復式格子類型： IV族元素C（晶剛石）、Si、Ge、Sn(灰錫）的晶體。結合力：共價鍵力。特點：飽和性-形成鍵的數(shù)目（配位數(shù)）有一 最大值；方向性-各個共價鍵之間有確定的取向。 例如：金剛石結構的4個鍵的方向是沿著正四面體的4個頂角方向，鍵間的夾角恒為109028。 二、原子晶體（共價晶體）第89頁，共187頁，2022年，5月20日，22

48、點19分，星期四特性：特性差別較大。典型的原子晶體，具有熔點高、導電性能差、硬度高等特點。例如：從熔點來看，金剛石約為3280k、而Si為1693k，Ge為1209k。從導電性來看，金剛石是一種良好的絕緣體，而Si和Ge在極低溫度下才是絕緣體，同時它們的電阻率隨溫度升高而急速的下降，是典型的半導體材料。第90頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四類型：I、 II族元素及過渡元素都是典型的金屬晶體。結合力：主要是由原子實和 電子云之間的靜電庫侖力，所以要求排列最緊密。晶格：不喇菲格子。 原胞：大多數(shù)金屬為立方密積和六角密積，配位數(shù)均為12。前者如Cu、Ag、Au、AI，后者

49、如Be、Mg、Zn、Cd。少數(shù)金屬具有體心立方結構，如Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W等。特性：具有良好的導電性，結合力小，但過渡金屬的結合能則比較大。三、金屬晶體第91頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四晶體中粒子的互作用可分為兩大類： 1 . 吸引作用：是由于異性電荷之間的庫侖力，引起的作用在遠距離是主要的。 2. 排斥作用：一是同性電荷之間的庫侖力，二是泡利原理所引起，在近距離是主要的。 在一適當?shù)木嚯x 吸引作用 = 排斥作用 晶格處于穩(wěn)定狀態(tài)1.2.2 結合力一 、 結合力第92頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四原子間的相互作用由勢

50、能u(r)可以按下式計算互作用力： f(r) = -du(r)/dr 當兩原子很靠近時，斥力大于引力， 總的作用力f(r) 0。 當兩原子相離比較遠時，總的作用力為引力，f(r)0 二 互作用力、互作用勢能和原子間距的關系u(r)rrf(r)rorm斥力吸引力1. 計算ro 、rm第93頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四在某一適當距離ro，引力和斥力相抵消，f(r)=0即： du(r)/dr| ro=0得 ro 由：df(r)/dr| rm=- d2u(r)/dr2|rm= 0 得 rm第94頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四兩原子間的互作用

51、勢能可用密函數(shù)來表達： u(r)=A/rm+B/rn A、B、m、n為大于零的常數(shù) ，第一項表示吸引能，第二項表示斥力能。晶體中總互作用勢能為原子或離子對間的互作用勢能之和用經典的處理方法： 先計算兩個原子之間的互作用勢能，再把晶體的結構因素考慮進去，綜合起來就可以求得晶體的總勢能。 設晶體中兩原子的互作用勢能為u(rij),則由N個原子組成的晶體其總的互作用勢能為： u(r) =1/2 u(rij) 2 . 求結合能第95頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四已知原子間的結合力、結合能的數(shù)學表達式，可以計算晶格常數(shù)、體積彈性模量、抗張強度等許多物理量。例如： 晶胞常數(shù)的

52、計算：原子處于平衡位置時，結合能最小，由 du(r)/dr| ro=0 求晶格常數(shù)。 三、結合力、勢能的意義第96頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 小 結1 . 固體的結合全部歸因于電子的負電荷和原子核的正電荷之間的靜電吸引作用。但不同類型，表現(xiàn)形式不同。 離子鍵是由異性離子的靜電吸引而形成； 共價鍵是反平行自旋的交疊電子，通過靜電吸引束縛與它們關聯(lián)的離子而形成； 金屬鍵是靠負電子云同正離子實間的庫侖力形成； 分子鍵靠感生偶極矩間的互作用形成 氫鍵是氫原子核通過庫侖作用與負電性較大的離子結合形成。2. 原子間的排斥作用來源于交疊電荷的靜電排斥和泡利原理造成的排斥。3

53、. 晶體采用何種結合類型決定于原子束縛電子的能力，這個能力由原子的電負性衡量。4 . 晶體結合力是研究其理化性能的基礎。第97頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 晶格振動對晶體的許多性質有影響，例如，固體的比熱、熱膨脹、熱導等直接與晶格的振動有關。 設：原胞中只含有一個原子， 整個原子平面作同位相運動。 可以有三種振動波，一個縱向振動波，兩個橫向振動波. 1.3 晶格振動1.3.1 一維原子鏈的的振動1.3.2 晶體振動的量子化1.3.3 確定晶格振動譜的實驗 第98頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 s-1 s s+1 s+2 s+3 s+

54、4aK或q第99頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四K或q第100頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四一、一維單原子晶格的線性振動 1.3.1 一維原子鏈的振動條件：每個原子都具有相同的質量m；晶格常數(shù)（平衡時原子間距）為a；熱運動使原子離開平衡位置x。 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3第101頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四設：原子間的作用力是和位移成正比，但方向相反的彈性力；兩個最近鄰原子間才有作用力-短程彈性力。xn表示第n個原子離開平衡位置的位移

55、，第n個原子相對第n+1個原子間的位移是： a+ xn xn+1- a= xn xn+1同理：第n個原子相對第n-1個原子間的位移是： xn xn-1第102頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四第n個原子受第n+1個原子的作用力 ： Fn，n+1= -ks(xn- xn+1)第n個原子受第n-1個原子的作用力： Fn，,n-1= -ks(xn- xn-1) 則第n個原子所受原子的總力為： F= Fn，n+1 +Fn，,n-1 得：F=ks(xn+1+xn-1-2xn) 1. 原子間的作用力服從虎克定律第103頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四第

56、n個原子運動方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn) 2. 原子間的作用力服從牛頓定律第104頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四晶格中所有原子作簡諧振動（或具有前進波的形式）： xn=Aexpi(t-naq)、xn=Ae i(t-naq) 、xn=Acos(t-naq) A：振幅； ：角頻率； n：1，2，3，4N； aq：相鄰原子的位相差； naq：第n個原子振動的位相差。此式說明所有原子以相同的頻率和相同的振幅振動。 0 1 2 3 43. 原子振動方程第105頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四如果第n個和n第個原子

57、的位相之差： (qna-qna)=2s(s整數(shù))，即 qn-qn=2s/a時，原子因振動而產生的位移相等，因此晶格中各個原子間的振動相互間存在著固定的位相關系 。結果：在晶格中存在著角頻率為的平面波-格波。第106頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四格波格波：晶格中的所有原子以相同頻率振動而形成的波，或某一個原子在平衡位置附近的振動是以波的形式在晶體中傳播形成的波。 格波的特點： 晶格中原子的振動； 相鄰原子間存在固定的位相。nn+2n-1n+1n-22/q= 第107頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四4. 色散關系（晶格的振動譜）色散關系：頻

58、率和波矢的關系。（1）色散關系的數(shù)學表達式將間諧振動方程：xn=Ae i(t-naq)代入牛頓方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)得 ： 2=1-cos(qa)2ks/m 或 =2(ks/m)1/2|sin(qa/2)|上式為一維簡單晶格中格波的色散關系（ -q的關系)，也為頻譜關系。 -q的關系為周期函數(shù)。第108頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四根據(jù)函數(shù)的周期性，|qa/2|/2即 |q| /a 在此范圍以外的一切q值，只是重復此范圍的q值所得頻率。該范圍的長度正好是倒格矢的長度(|-/a |+|/a|= 2/a) 。q的正負號說明： 正

59、的q對應在某方向前進的波，負的q對應于相反方向進行的波。 第109頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四色散關系為周期函數(shù)； 當q=0時，=0 當sin(qa/2)=1時，有最大值， 且max=2(ks/m)1/2-2/a -/a 0 /a 2/a max max一維不喇菲格子振動的頻譜（2）頻譜圖第110頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四 有： (q)= (q+2 /a)說明波矢空間具有平移對稱性,其周期為第一布里淵區(qū)邊長.由布里淵區(qū)邊界 q= /a=2 / 得： / 2 = a 滿足形成駐波的條件q= /a正好是布里淵區(qū)邊界，滿足布拉格反射條

60、件，反射波與入射波疊加形成駐波。入射波反射波第111頁，共187頁，2022年，5月20日，22點19分，星期四一維單原子簡諧振動的波函數(shù)：xn=Aeit-qna將波矢 ： q=2s/a+q（為任意整數(shù)）代入得 xn=Aeit- (2s/a+q )na = Aei 2sn ei(t- q na) ei 2sn=1 xn=Aeit-qna= xn(3) 分析討論 結論 如果q -q =2s/a （為任意整數(shù)）這兩種波矢對同一種原子所引起的振動完全相同。 對應某一確定振動狀態(tài)，可以有無限多個波矢q，它們之間都相差2/a的整數(shù)倍。 為了保證xn的單值性，把q值限制在(-/a, /a), 其中a是該格