1、山西省長治市第十九中學高三數學文期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 函數，若 ,則的值為（ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2參考答案：B2. 已知函數，則直線的斜率為（ ）A1 B C D1參考答案：A略3. 已知，且，若，則（ ）A BC D參考答案：B試題分析：由題意得，因為，則或，當時，所以；當時，所以，故選B.考點：對數的性質；不等式的性質.4. 如圖是某光纖電纜的截面圖，其構成為七個大小相同的小圓外切，且外側六個小圓與大圓內切，現從大圓內任取一點，恰好在小圓內的概率為A. B. C. D.參

2、考答案：A5. 已知函數（為自然對數的底數）在(0,+)上有兩個零點，則m的范圍是（ ）A. B. C. D. 參考答案：D【分析】利用參數分離法進行轉化，設（且），構造函數，求函數的導數，研究函數的單調性和極值，利用數形結合進行求解即可【詳解】解：由得，當時，方程不成立，即，則，設（且），則，且，由得，當時，函數為增函數，當且時，函數為減函數，則當時函數取得極小值，極小值為，當時，且單調遞減，作出函數的圖象如圖：要使有兩個不同的根，則即可，即實數的取值范圍是.方法2：由得，設，當時，則為增函數，設與，相切時的切點為，切線斜率，則切線方程為，當切線過時，即，即，得或（舍），則切線斜率，要使與在

3、上有兩個不同的交點，則，即實數的取值范圍是.故選：D【點睛】本題主要考查函數極值的應用，利用數形結合以及參數分離法進行轉化，求函數的導數研究函數的單調性極值，利用數形結合是解決本題的關鍵6. 已知實數滿足不等式組，則的最大值為（ ）A.3 B.4 C.6 D.9參考答案：C【知識點】簡單的線性規劃問題作出不等式組所對應的可行域（如圖陰影），變形目標函數z=2x+y可得y=-2x+z，平移直線y=-2x可知，當直線經過點A（3，0）時，z取最大值，代值計算可得z=2x+y的最大值為6 【思路點撥】作出可行域，平行直線可得直線過點A（3，0）時，z取最大值，代值計算可得7. 已知函數f（x）=x（

4、1+a|x|）（aR），則在同一個坐標系下函數f（x+a）與f（x）的圖象不可能的是（）ABCD參考答案：D【考點】函數的圖象【分析】去絕對值化簡f（x）解析式，對a進行討論，根據二次函數的性質判斷f（x）的單調性，再根據函數平移規律得出兩函數圖象【解答】解：f（x）=x（1+a|x|）=x+ax|x|=，（1）若a0，則當x0時，對稱軸為x=0，開口向上，x0時，對稱軸為x=0，開口向下，f（x）在（0，+）上單調遞增，在（，0）上單調遞增，且f（0）=0，f（x+a）是由f（x）向左平移a的單位得到的，此時函數圖象為B，（2）若a0，則當x0時，對稱軸為x=0，開口向下，x0時，對稱軸為x

5、=0，開口向上，f（x）在（0，+）上先減后增，在（，0）先減后增，且f（0）=0，f（x+a）是由f（x）向右平移|a|的單位得到的，此時函數圖象為A或C，故選D8. 已知拋物線，過點的直線與相交于兩點，為坐標原點，若，則的取值范圍是 （ ）A(,0) B(0,1) C. (1,+ ) D 1參考答案：B9. 已知是函數的圖象與軸的兩個不同交點，其圖象的頂點為，則面積的最小值是（）A B C D參考答案：A略10. 若，則A B. C. D. 參考答案：D二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知且，則的值等于_.參考答案：9【分析】由已知展開倍角公式求得，再由兩角和與差

6、的正切求解【詳解】解：由，且，得，解得（舍，故答案為：【點睛】本題考查兩角和與差的三角函數，是基礎的計算題12. 若，則_.參考答案：略13. 設雙曲線 的右焦點為，直線:x= 與兩條漸近線交于兩點，如果是等邊三角形，則雙曲線的離心率的值為-.參考答案：略14. 函數處取得極值，則的值為 參考答案：答案：015. 將4個半徑都是的球體完全裝入底面半徑是的圓柱形桶中，則桶的最小高度是 .參考答案：16. 下圖展示了一個由區間（0,1）到實數集R的映射過程：區間中的實數m對應數軸上的點M，如圖1；將線段圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點

7、A的坐標為，如圖3圖3中直線與x軸交于點，則m的象就是n，記作 下列說法:；是奇函數; 在定義域上單調函數; 的圖象關于點對稱 其中正確命題的序號是 （寫出所有正確命題的序號）參考答案：17. 我國南宋著名數學家秦九韶發現了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設ABC三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，面積為S，則“三斜求積”公式為若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為參考答案：【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2b2=4，代入“三斜求積”公式即可計算得解【解答】解：根據正弦定理：由a2sinC=4sinA，可

8、得：ac=4，由于（a+c）2=12+b2，可得：a2+c2b2=4，可得：=故答案為：【點評】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 在斜三角形ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b，c，且=（）求角A的大小；（）若，求角C的取值范圍參考答案：考點：正弦定理；余弦定理 專題：解三角形分析：（I）由已知可得2cosB=，求得sin2A=1，可得A的值（II）由B+C=，且 =+tanC，求得tanC1，從而得到C的范圍解答：解：（I）由已知 =，可得2cosB=而ABC為斜三角

9、形，cosB0，sin2A=1A（0，），2A=，A=（II）B+C=，且 =+tanC，即tanC1，C點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，兩角和差的正弦公式、誘導公式，屬于基礎題19. （本小題滿分12分）學生的數學學習水平按成績可分成8個等級，等級系數X依次為1，2，8，其中為標準A，為標準B.已知甲學校執行標準A考評學生，學生平均用于數學的學習時間為3.5小時/天；乙學校執行標準B考評學生，學生平均用于數學的學習時間為2.5小時/天.假定甲、乙兩學校都符合相應的執行標準.（）已知甲學校學生的數學學習水平的等級系數X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數

10、學期望EX1=6，求a、b的值；（）為分析乙學校學生的數學學習水平的等級系數X2，從該校隨機選取了30名學生，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X2的數學期望；（）在（）、（）的條件下，哪個學校的數學學習效率更高？說明理由.(注：) 參考答案：=20. .定義函數，為型函數，共中（1）若是型函數，求函數的值域；（2）若是型函數，求函極值點個數；（3）若是型函數，在上有三點A、B、C橫坐標分別為、，其中，試判斷直線AB

11、的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由參考答案：（1）；（2）1個；（3）見解析.【分析】（1）先對函數求導求出其單調性，結合端點值求出值域；（2）先求導令導數等于0，求極值點個數只需判斷導數零點的個數，化簡整理后得，將導數零點轉化為兩個函數的交點問題，利用圖像觀察求出交點個數；（3）先求導再進行二階求導，利用二階導數研究一階導數的單調性與范圍，再得出原函數的單調性，因為二階導數小于0，所以函數是三凸的單調遞減函數，結合函數圖像很容易得出兩直線斜率的關系.【詳解】解：（1）因為，所以當時，單調遞增當時，單調遞減又因為，所以函數的值域為（2）因為，所以，當時，結合函數圖像易知與在上有且只有一個交

12、點當，時，當時，當時，且當時，當 時，函數單調遞增當 時，函數單調遞減所以函數只有一個極大值點，極值點個數為1個（3）因為，所以所以所以在上單調遞減，且，所以構造函數則記,則當時，單調遞增當時，單調遞減又因為，所以，所以所以在和上單調遞減因為所以所以所以直線AB的斜率大于直線BC的斜率【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性、最值、極值，遇到一階導數等于0不好解時，常繼續進行二階求導，在解題的過程中多結合函數簡圖可以更加形象直觀.21. 某學校高二年級舉行了由全體學生參加的一分鐘跳繩比賽，計分規則如下表：每分鐘跳繩個數145,155)155,165)165,175)175,185)185,+

13、)得分1617181920年級組為了解學生的體質，隨機抽取了100名學生的跳繩個數作為一個樣本，繪制了如下樣本頻率分布直方圖.（1）現從樣本的100名學生跳繩個數中，任意抽取2人的跳繩個數，求兩人得分之和小于35分的概率；（用最簡分數表示）（2）若該校高二年級共有2000名學生，所有學生的一分鐘跳繩個數X近似服從正態分布，其中，為樣本平均數的估計值（同一組中數據以這組數據所在區間中點值作代表）.利用所得的正態分布模型，解決以下問題：（i）估計每分鐘跳繩164個以上的人數（結果四舍五入到整數）；（ii）若在全年級所有學生中隨機抽取3人，每分鐘跳繩在179個以上的人數為，求隨機變量的分布列和數學期

14、望與方差.附：若隨機變量X服從正態分布，則，.參考答案：（1）；（2）（i）1683；（ii）.【分析】（1）根據頻率分布直方圖得到16分，17分，18分的人數，再根據古典概率的計算公式求解。（2）根據離散型隨機變量的分布列和數學期望與方差的公式進行求解。【詳解】（1）設“兩人得分之和小于35分”為事件，則事件包括以下四種情況：兩人得分均為16分；兩人中一人16分，一人17分；兩人中一人16分，一人18分；兩人均17分.由頻率分布直方圖可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，則由古典概型的概率計算公式可得.所以兩人得分之和小于35的概率為.（2）由頻率分布直方圖可得樣本數據的平均數的估計值為：（個）.又由，得標準差，所以高二年級全體學生的跳繩個數近似服從正態分布.（i）因為，所以，故高二年級一分鐘跳繩個數超過164個的人數估計為（人）.（ii）由正態分布可得，全年級任取一人，其每分鐘跳繩個數在179以上的概率為，所以，所有可能的取值為0，1，2，3.所以，故的分布列為：0123所以，.22.