1、第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第2課時空間中直線與平面的垂直學習目標素養要求1理解線面的位置關系與向量的關系直觀想象2利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間中的垂直關系直觀想象3能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直關系直觀想象、數學運算| 自 學 導 引 | 空間垂直關系的向量表示設直線l，m的方向向量分別為a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，平面，的法向量分別為u(u1，u2，u3)，v(v1，v2，v3)，則：位置關系向量關系向量運算關系坐標關系lmab_a1b1a2b2a3b30l_a1u1，a2

2、u2，a3u3uvuv0_ab0auau，Ru1v1u2v2u3v301思維辨析(對的畫“”，錯的畫“”)(1)兩直線垂直的充要條件是兩直線的方向向量垂直()(2)直線與平面垂直的充要條件是直線的方向向量與平面的法向量平行()(3)兩平面垂直的充要條件是兩平面的法向量垂直()【答案】(1)(2)(3)【預習自測】【解析】(1)根據直線的方向向量和線線垂直的定義，該判斷正確(2)根據直線的方向向量與平面的法向量的定義和線面垂直的定義，該判斷正確(3)根據平面的法向量的定義和面面垂直的定義，該判斷正確2若直線l的方向向量為a(2，0，1)，平面的法向量為n(4，0，2)，則直線l與平面的位置關系為

3、()Al與斜交BlClDl【答案】D【解析】因為a(2，0，1)，n(4，0，2)，所以n2a，故na，即直線l的方向向量與平面的法向量平行，故l3已知平面和平面的法向量分別為a(1，1，2)，b(x，2，3)，且，則x_【答案】4【解析】因為，且向量a，b分別是平面，的法向量，所以ab，abx260，所以x4用向量法證明空間的線、面垂直關系的關鍵是什么？【答案】提示：需要確定直線的方向向量和平面的法向量，然后把證明線、面的垂直關系轉化為向量間的關系微思考| 課 堂 互 動 | 題型1線線垂直問題如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點，F是AD上一點，當BFPE時，AF

4、FD的值為()【答案】B應用線線垂直求點的坐標的方法步驟(1)設出點的坐標(2)利用點滿足的條件建立與坐標有關的方程(3)通過解方程的方法求出點的坐標1如圖，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCBB1求證：BC1AB1題型2線面垂直問題如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C的中點求證：MN平面A1BD用坐標法證明線面垂直的方法及步驟(1)建立空間直角坐標系(2)將直線的方向向量用坐標表示(3)找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量(4)分別計算兩組向量的數量積，得到數量積為0提醒：用坐標證明垂直問題，關鍵是根據題目中的垂直關系建立適當的

5、坐標系方向2探究性問題如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中點，試在棱CC1上求一點P，使得平面A1B1P平面C1DE用坐標法證明線面垂直的方法及步驟(1)建立空間直角坐標系(2)將一平面內兩相交直線的方向向量用坐標表示(3)由兩條相交直線的方向向量，計算兩組向量的數量積，得到數量積為0(4)同理求出另一個平面的法向量3在三棱錐PABC中，三條側棱兩兩互相垂直且相等，G是PAB的重心，E，F分別為BC，PB上的點，且BEECPFFB12求證：平面EFG平面PBC證明：方法一，如圖，以三棱錐的頂點P為原點，PA，PB，PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系令PAP

6、BPC3，則A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)，規范解答利用空間向量解答平行、垂直問題如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DPBQ(02)(1)當1時，求證：直線BC1平面EFPQ(2)是否存在，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由審題指導：(1)要證明BC1平面EFPQ，只要證明BC1與平面EFPQ內的一條直線平行，依據題意可證BC1FP

7、(2)由平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角知，兩個平面互相垂直，故它們的法向量互相垂直，由此可根據數量積為0，求的值【題后悟道】1關注解決空間平行、垂直關系的依據平行、垂直關系的向量表示是解題依據，是解題的前提和根本，也是避免無謂丟分的關鍵，如本例利用向量平行證明線線平行；通過證明兩個平面的法向量互相垂直，得兩個平面互相垂直2準確計算，避免失誤利用向量法解決空間平行垂直問題的最大特點是通過計算證明位置關系，這也是向量法與幾何法的主要區別因此，準確計算是此類問題的關鍵，如本例中兩個平面的法向量坐標必須計算準確| 素 養 達 成 | 空間垂直關系的解決策略方法幾何法向量法線線垂直(1

8、)證明兩直線所成的角為90(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內所有直線垂直兩直線的方向向量互相垂直方法幾何法向量法線面垂直對于直線l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m與n相交，則l(2)若lm，m，則l(1)證明直線的方向向量分別與平面內兩條相交直線的方向向量垂直(2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量面面垂直對于直線l，m和平面，(1)若l，l，則(2)若l，m，lm，則(3)若平面與相交所成的二面角為直角，則證明兩個平面的法向量互相垂直1(題型1)若直線l1，l2的方向向量分別為a(1，2，2)，b(2，3，2)，則()Al1l2Bl1l2Cl1，l2相交不垂直D不能確定【答案】B【解析】因為a(1，2，2)，b(2，3，2)，所以1(2)23(2)20，即ab0，所以ab所以l1l22(題型3)兩平面，的法向量分別為u(3，1，z)，v(2，y，1)，若，則yz的值是()A3B6C6D12【答案】B【解析】uv06yz0，即yz6【答案】44(題型2)向量a(1，2，4)，b(2，2，3)是平面內的兩個不共線的向量，直線l的一個方向向量m(2，3，1)，則l與是否垂直