1、第九講行列式單元測試題點評一、填空題（每小題2分，滿分20分）1 全體3階排列一共有 6個，它們是123,132,213,231,312,321 ；奇排列經過奇數次對換變為二排列，奇排列經過偶數次對換變為奇排列；行列式D和它的轉置行列式d有關系式D = D ；交換一個行列式的兩行（或兩列），行列式的值改變符號；如果一個行列式有兩行（或兩列）的對應元素成比例，則這個行列式等于零；一個行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到_ 行列式符號的外邊；把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數后加到另一行（列）的對應元素上，行列式的值不變；行列式的某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的 代數余子式

2、的乘積之和等于；aaLaii12in0aLa=a a K a222 n9.MMMM11 2200Lann2 土. E 10.當 k=2kk時,4 2k二、判斷題（每小題3分，滿分242 土. E 10.當 k=2kk時,4 2k二、判斷題（每小題3分，滿分24分）1 若兀（i i A i ） = k，則兀（i i i A i ） = k 土 1(V)2.設。=aaAa11121naaAa21222 nMMMMaaAann1n 2nn,則D的一般項1 a A a的符號如1械2injn是(T)兀(j j2Aj).（x）3.若n（n2）階行列式D=0,則D有兩行（列）元素相同.（x）4 若n階行列式

3、D恰有n個元素非0，則D，0.(x)使用克萊姆法則求解。(x)(x)aaaaaa111213132333a(x)(x)aaaaaa111213132333aaa=aaa212223122223aaaaaa3132331121317.(x)(x)8.n階行列式主對角線上元素乘積項帶正號，副對角線上元素乘(x)積項帶負號。三、單項選擇題（每小題4分，滿分20分）1位于n級排列 L i 1 i L i中的數i與其余數形成的反乂 J n 排 F 1 2k1k+1n形序個數為（A）(A) k-1(B) n-k-1(C) 弋 (D) Ck2設i i L i是奇排列，則L i i是(C) 1 2 nn n-

4、1 2 1(A)奇排列；(B)偶排列；(C)奇偶性不能僅由n的奇偶性確定的排列；(D)奇偶性僅由n的奇偶性確定的排列。3 個不等于0的n階行列式中非零元素個數至少為(D)；(A(A) n( n -1)(B) n 2(C)(n -1)2(D) n4以下數集作成數環的是(1) S= 4以下數集作成數環的是(1) S= k/5 |b c Z ；(3) S= L + ;，3|a,b c Z ；(A)(1)、(3)q：(4) S=也 + ;，3i I a，b G Q .(2)s= a。0 a c(B)(2)、(4)(C)(3)、(C)(3)、(4)(D)(1)、(4)5行列式a005行列式a00h0fc

5、0e00d中元素f的代數余子式是(C ) TOC o 1-5 h z dedeaeae(A)gf-gf一ghdhd四、計算下列各題(每小題5分，滿分20分)1 .計算兀(2k)1(2k-1)2 L (k+1)k)；解 兀(2 k )1(2 k - 1)2 L (k + 1) k = (1 + 2 + L + k ) k (k + 1)k (k - 1)7+ (1 + 2 + L + (k 1) = + = k 2.222.設D12.設D1-1201-1,求A + A + A + A 的值.11121314110 一5-13 13234562232425262233343536324344454

6、643 計算行列式D=的值。+ 412 + A + + 412 + A + A1314234562232425262233343536324344454641111234522324252233343532434445416626364=(3 - 2(4 - 2(5 - 2(6 - 2(4 - 3(5 - 3(6 - 3)(5 - 4(6 - 4(6 - 5)5=288 頊5二(-1)n-二(-1)n-1 業+ 1) n21)!=(1)(n +21)!1 21 -1D = 0 230-2M0LLLLn 1n00Mn-00M1 1 n的值。M M0 0123Ln-1n1-10L0002-2L00

7、MMMMM000Ln-11-23Ln - 1n-10L000-2L00MMMM00L1-nn4計算行列式(n + 1) n2100M0將第 2 至n列 都加 到第 一列五、證明下列各題（滿分16分） TOC o 1-5 h z 1.設F,F均為數域，證明F I F也是數域。（5分） 1212證明因為0,1 g F, F n 0,1 g F c F , a, b g F c F n a, b g F, 1212121aa , 八、a, b g F n a 土 b, ab, （b。0） g F, a 土 b, ab, （b。0）2b1b一 一 a 一g F n a 土 b, ab, （b。0） g

8、 F c F n F c F 是數域。2b1212ay + bx = c2 已知a,b,c均不為0，證明cx + az = b有唯一解。（5分） bz + cy = a證明因為方程組的系數行列式b a 0D = c 0 a = -2abc。0（Q a, b,。均不為0）0 c b所以有克萊姆法則知，方程組有唯一解。a b0ca b0cc0bacba -（6 分）0a3 設a,b,c是一個三角形的三邊，證明bc證明-111=(a+b+c)(a-(b+c) c -c a-b =b a-c -b-100(a+b+c)(a-(b+c)c0 a+c-bb a+b-c 00 a b c1 a b c100

9、0a0 a b c1 a b c1000a 0 c b1 0 c b1-ac - b b - c=(a+b+c)=(a+b+c)b c 0 a1 c 0 a1 c aba cc b a 01 b a 01 b a a bcc-b-a c-bb-c-a(a+b+c)c-a -ba-c =( a+b+c) cb-a a-b-cb-ca-cb-ca-b-b= (a+b+c)(a-(b+c)(a+b-c)(a+c-b)0.（因為a,b,c是三角形的三邊）本講作業：（一）解答下列各題123Ln1x +13LnD =12x +1Ln1.計算行列式MMMOM123Lx +1解 當1 = 1 時，D =0,所

10、以（X-1）1。同理（X-2）,L ,nX- （n -1）均為D的因式。又X-i與X- j（i，j）各不相 nnD = D = A2 n-1 + B3n-1，令n = 1,2可得J A + B = 5 2A + 3B = 19D = （x-1）（X - 2） LX - （n -1）510L00651L000 D =65L00MMMOMM2.計算n階行列式000L51000L65同，所以 （X-1）（X-2）L X-（n- 1）l D但D的展開式中最高次項Xn-1的系數為1,所以n解由于按第一列展開有D = 5D 1 -6D 2，作特 征方程X2 -5x + 6 = 0,解此方程得二根2,3，令

11、解得人=-4, B = 9 n D = 3n+1-2n+1.aaaLa012n-1aaaLan-101n 一 23.證明D = aaaLa= f （1）y（8）L f（8 n-1）,n 一 2n-10n-3MMMLMaaaLa1230其中y（ x ）=艾-1a Xi, 8=cos2兀, . 2兀 +1 sin.inni=0證明作矩陣乘積r aaaLa 、A11Lr aaaLa 、A11L1 0i2nlaaaLai882LS n-lnl0in-2aaaLai8284L8 2(-1)n-2nl0n-3MMMLMMMMLMi aaaLa ；1S n-l8 2(1)L8 (-!)(-!),230、1j 川) 川)M”gW)W()Mg)W(2)W(M)M2(zi-l)y(2)q11L1i2L8 n-li24L20-1)MMMLM18 n-l2(zi-l)L8(Z2-1)(Z2-1)LLLLLAf 備i) n- f(1)E 2(-l)y( n-1)M 0-1)0-1頂( -1) j仃f(S)of