1、（定價策略期權定價理論期權定價理論期權定價是所有金融應用領域數學上最復雜的問題之一。第一個完整的期權定價模型由FisherBlack 和 MyronScholes 創立并于 1973 年公之于世（有關期權定價的發展歷史大家可以參考書上第 358SScholes 在 1997 年一起榮獲了諾貝爾經濟學獎 在 1995 年去世，否則他也會一起獲得這份殊榮。首先，我們來回顧一下套利的含義套利套利（ arbitrage）通常是指在金融市場上利用金融產品在不同的時間和空間上所存在的定價差異、或不同金融產品之間在風險程度和定價上的差異，同時進行一系列組合交易， 獲取無風險利潤的行為。注意，這種利潤是無風險

2、的。現代金融交易的目的主要可以分為套利、投機和保值，這也是我們在以前的課程中接觸過的。那么，我們怎樣來理解套利理論的含義呢？我們說，市場一般是均衡的，商品的價格與它的價值是相一致的。如果有時候因為某種 原因使得價格與價值不相符，出現了無風險套利的機會，我們說這種套利的機會就會馬上被 聰明的人所發現和利用，低買高賣，賺取利潤，那么通過投機者不斷的買賣交易，原來價值 被低估的商品，它的價格會上漲（投機者低價買入下跌（投機者高價賣出，交易的結果最終會使得市場價格重新回到均衡狀態。（舉的兩家書店賣書的例子一樣）同樣的道理我們不難理解，現代期權定價技術就是以無風險套利原理為基礎而建立起來的。我們可以設計

3、一個證券資產組合，使得它的價值（收益）與另外一個證券資產組合的價可以幫助我們確定，在價格均衡狀態下，期權的公平定價方式。具體來說，對期權跌漲平價原理的推導就采用了無風險套利的原理。跌漲平價原理（putcallparity）看漲期權的價格與看跌期權的價格（也就是期權費只要知道看漲期權的價格，我們就可以推出看跌期權的價格（通過平價原理。這樣，就省 去我們再費心研究看跌期權的定價公式了。只要我們通過BS 模型計算出看漲歐式期權的定價之后，我們就可以相應地推出歐式看跌期權的定價（S漲期權。第一節證券價格變化過程為了很好地理解 BS 模型，我們首先來學習一下金融價格行為1. 金融價格行為BS 模型的一個

4、重要的假設是資產價格遵循對數正態分布。這是什么意思？相信大家都已經學習過統計學，你們對于正態分布應該很熟悉了。什么是正態分布？我們可以看下面的正態分布圖：1000 人， 1.72 米，標準差為 0.09 米。這表示抽樣模型中有 1.54 米和 1.90 米之間，并可以推斷被抽樣的群體身高也符合這個分布。格卻不會這樣（現實生活中，價格不可能為負值。事實上，價格本身不服從正態分布，大多數收益率卻服從正態分布。一個投資者以100 元的價格買入股票，他可能有正的 10%的收益或者是負的 10%的損失。0 上升到 ，而再次 票價值從0下跌到（。投資者沒有回到原來的價格起點 元）100 到 110 100

5、11099 是在110 ，但是變化的基數卻不同0 和，因此最后的結果就不能夠回到原起點100例子，上升（0元，但事實卻是 99比實際少 1在上例中，兩個價格比是 110/100=1.1 和 99/110=0.9。價格比相乘為 1.1*0.9=0.99。這才是正確答案，即最后的價格是最初價格的 0.99 倍。兩個數值取對數（在金融中最有用的是自然對數，以 e 為底，然后相加得到兩數乘積的對數。把這種方法應用于上例：ln（110/100）=0.0953 ln（99/110）=-0.1054ln（110/100）*（99/100）=-0.0101我們發現，從 110 下降到 99 比初始的 100

6、上升到 110 的對數大，這就是為什么最后的結果為負數的原因，它表示整體價格下降。為了找出最后價格下e 為底的對數，我們就用得到 0.99 或99，也就是正確答案。從上面的推導過程我們可以總結出，用價格比的對數計算收益率比單用價格比更準確。所以，我們定義收益率為：收益率=ln（St+1/St） 比傳統的定義方式傳統定義收益=（St+1/St1）更準確。這里，St 代表 t 時間的市場價格，St+1 代表一段時間后的價格。100 開始，價格逐步增長：122.14，134.99，149.18，164。87，182.21，201.38從絕對值看，價格在七年中翻了一倍，每次增長都比前一次增長幅度大。現

7、在考慮七年中收益 率 每 年 下 降 10% 對 價 格 的 影 響 ， 同 樣 從 100 開 始 ： 100，90.48，81.87， 74.08，67.03，60.65，54.88，49.6611價格服從扭曲的正態分布，如圖 12 比較后更清楚，圖210%，標準差的絕對值為20%，圖 3 顯示的是價格的分布。圖 3 所顯示的就是價格分布，我們把它叫做對數正態分布，因為變量即價格的對數呈正態分布。好，了解了這一點，我們就可以進一步學習BS 模型了。第二節 BlackScholes 模型B - S 定價公式我們知道，任何金融資產的適當價格都是它的預期價值，也就是說，我們現在對它的是建立在對它

8、未來價格預期的基礎上的。例如，如果一只49 的價位，同時有 500. 3*40+0.7*50=47（它未來的價格乘以它達到這個價格的概率系數）同樣，這個原理也適用于期權。期權到期日的適當價值等于它可能取得的任何價值乘以 E(CT)=Emax(STX,0)等式 1這里:E(CT)代表看漲期權到期日的預期價值ST 代表對應資產到期日的價格X 代表期權的執行價格在到期日有兩種可能情況發生. 如果 STX,看漲期權到期時為價內, 則 max(STX,0)=STX. 如果 P 定義為STX1E(CT)=等式 2這里:P 代表 STX代表在 STX 下 ST 的預期價值.等式 2 給出了看漲期權到期日的預

9、期價為了獲得合同的適當價因為期權費是預先支的), 該等式應該加以折現得到其現值如下:等式 3這里;C 代表期權開始時的適當價格r 代表連續的復合零風險利率 ;t代表直到到期日的時間長度 那么, 為期權定價的問題現在縮小為兩個簡單的問題:決定 pSTX,120 的分布( 橫軸是價格, 縱軸表示概率密度). 如果我們想要為交割價格為 120 的期權定,這個陰影部分將很有.我們只要找出市場價格超過執行價格 120 的概率( 陰影部分產生的概率 ), 以及發生這種情況時的資產的預期價值就可以了.通過計算,我們得出,陰影部分占整個分布的 34%,因此最后價格超過 120 的概率為 034.陰影部分的預期

10、價值(如果在陰影部分中間設一個小木板讓它平穩,這個支點剛好在 137.894 137.89412%, 交割價格為 120 的期權的適當價格是 :這就是 B-S 模型給出的期權的價格.,0.34 和137.894P 和期望值ESTSTX E復雜的計算過程, 所以在這里我就把它省略了. 大家只要知道 B-SWORD軟件, 而不用了解它是如何被編制出來的一B-S通過復雜的推導, 我們得出:P=N(d2), ESTSTX=其中,N 表示累積正態分布,d1= d2=把它們帶入等式3,得到看漲期權完整的定價公式:所以 C=這里;S0 為現行股價;X 為期權的協定價格;t 期權至到期日的時間 ;r 為無風險

11、利率; 為股票收益的標準偏差 , 波動率;N 累積正態分布;ln 為自然對數.這就是著名的BS 期權定價模型.B-S 模型的產生,為金融界計算期權的價格提供了可靠而簡明的計算方法.在實踐中,大多數期權分析師都采用某種 BS 模型的基本形式或變異形式來進行期權的定價.而且,也有許多軟件提供相應的期權價格分析.對于你們來講,不要求 你們將 BS 模型記住,你只要會使用就可以了 .考試的時候,公式會列給你們的。導出看跌期權的價格了。例題: ,該股票 3 ,無風險利率為 有關 BS 的假設條件目前,BS 模型已經成為期權交易專業人士為期權定價的重要工具之.但是我們在應用這中就越會得心應手 .不支付股息

12、和紅利.B-S 模型假設作為基礎資產的股票在期權定價期間不支付紅利和股息.而實際上,由于大多數股票都要支付股息或紅利 ,因此,在實際操作中,如果在期權的有效期內遇到股票支付紅利的情況時,我們應當對 B-S利的事實.因為股息率或紅利率越高 ,看漲期權費越低,所以股票價格應當減去未來支付股息例題.假如按照上面的例子,該股票的現金紅利為0.50 元,82 天后支付,那么,該股票的期權費將如何計算 ?期權為歐式期權 .B-S的靈活性(提前執行的可能性較大 ),所以不能使用 B S 模型.對于美式看漲期權 ,我們會采用其他方法來定價。市場是有效率的 , 不存在無風險套利的機會 .(366)無交易成本,如

13、不支付傭金,稅收等.事實上,這個假設也不太符合實際 ,因為在現實生活中,即使是交易商也要支付費用,對于散戶投資者來講,交易成本會更大.如果考慮到交易成本素。利率為常數或已知 . 無風險利率 ,30 天的美國短期國庫券利率。收益呈對數正態分布 . 這一假設適用于絕大多數金融資產的價格分布特征 .易變性或變動率的計算量卻不是那么清楚 ,它就是對應資產價格的變動率 ,或簡稱變動率 (Volatility).金融資產的變動率越大,說明基礎資產偏離協定價格的可能性也越大 ,那么,該種期權的價格就越高.這是期權定價模型中我們為什么如此關注變動率的原因 .變動率在期權定價被定義為收益率的年標準差 .注意此定

14、義沒有把變動率直接與價格變動聯系 ,而是與產生價格的收益率變動聯系 .ab 相對價格的自然對數c 對數相對價格的標準偏差 ( 離差)d 標準偏差(離差)的平方,經開方后得到 具體的計算公式如下:計算這些數據時要考慮應該選擇多少個觀察值才能得到相對準確的數值.觀察值越多,可靠性越大.但是太久遠的數字用來計算今天的波動率可能不相關,一般來講,20 到50 個觀察值可以得到合理的結果 .,1987 股票指數的2012%狂升到 150%合理的.那么, 我們如何來得到一個較為合理的變動率呢?這就要使用方法二:(backwards)如果期權價格可以由變動率決定,那么變動率也可以由期權價格決定.這種方法是運

15、用期權價格往回推導.也就是說,我們已知期權價格(該期權的報價)和其他四個變量,可以反向 推導出期權價格中所隱含的變動率. 通過這種方法計算出來的變動率叫做隱含變動率(ImpliedVolatility)為了解釋這一方法的基本思路,我們假設 S=21,X=20,R=0.1,Tt=0.25 時一種不付紅利股票的看漲期權的價值為 1.875.隱含變動率是把以上數據代入 B-S 方程,求使得 C=1.875 的 的取值.但是,我們不能直接解出方程 ,使得 表示為其他四個變量的函數形式.這時候,我們可以用插值法得到隱含波動率.也就是我們不斷假定 的數值,帶入 B-S 公式,從得到的C 值進行不斷調整,最

16、后得到變動率的準確值 .例如,我們假定 =0.2,這個值使得 C 的值等于1.76,比 1.875 小.由于期權的價格與變動率的大小成正比,因此,如果計算出的C 比實際小的話,說明我們的 值估計小了,我們就要選大一些的 值.這樣不斷實驗,最后找到準確的變動率.( 這種方法比較麻煩 ).例:DJB 公司的一股股票現價為$2.5,它的變動率被估計為 0.6.一個歐式看漲期權的協定$2.00,期限為 3$0.45.無風險利率為 5%第三節期權定價的二叉樹模型（二項式）Black-Scholes 期權定價模型雖然有許多優點,但是它的推導過程難以為人們所接受.在1979 年,羅斯等人使用一種比較淺顯的方

17、法設計出一種期權的定價模型,稱為二項式模型(Binomial odel) 或二叉樹法 (Binomialtree). 我們首先來看 :一期間二項式模型二項式模型的特點是將看漲期權合約的到期期限分成若干個時間段 (每一個時間段稱為一個為直觀簡便起見 , 我們首先考慮一期間的情形 :假設:在任何一個給定的時間,金融資產的價格以事先規定的比例上升或下降 .如果資產價格在時間 t 的價格為 S,它可能在時間段 t+內上升到 Su 或下降到 Sd.假定對應的期權價格也上升到 Cu,或下降到 Cd.下圖表示了這些平行移動.當金融資產只可能達到兩種價格時,這一順序被稱為二項程序 .為了解釋方便,我們假定 S

18、=100,u=1.2,d=0.9,看漲期權的協定價格為 100,只有一期.在這些條件下,我們知道如果對應資產價格上升到 120,期權在到期時值 20;如果對應資產價格下降至 90,期權到期時沒有價值 . 下圖顯示了這個特殊的例子 .在圖中我們可以看唯一不知道的是 也就是看漲期權在到期日前的一段時期的價.我將證明 C 的適當價值可以通過建立期權和對應資產的無風險套利組合來決定.考慮這樣一個資產組合 :a 以價格 C 賣出三份看漲期權b 以價格 100 買入兩份對應資產c 在這短時間以 10%的利率借入 163.64期權和對應資產組合的結果上升下降賣出資產過程 2120=240290=180支付空

19、頭看漲期權 3(-20)=-6030=0 歸還借款-180-180凈現金流 00還是下降結果都一樣.這就是無風險套利交易.如果這個特殊組合的最后結果總是零,那么 開始獲得此組合的適當價格也為零 . 這表示 3C36.36=0, 即 C=12.12.考慮以下資產組合 :a 賣出一份看漲期權b 買入 h 份對應資產c 借入款項 B.h 和BSuhCuBR=0 SdhCdBR=0R 為,i單的計算可以得出 h 和 B:h=(Cu Cd)/S(u d)B=(dCu uCd)/R(ud)因為初始的現金流為0,所以:ChS+B=0把 h和B 的值帶入上面的等式, 得到: C=(R d)Cu+(u R)Cd

20、/R(u d)最后得到價格上漲的概率為 :p=(R d)/(u d)把一期期權價值的表達式寫得規矩一點:C=pCu+(1p)Cd/R發生的概率進行加權 .例題. 股票價格的現值為$20,而且已知在 3 個月末股票的價格會達到$22 或$18.投資者買入 3 月期的該股票的歐式看漲期權, 協定價格為$21.無風險利率為12%每年, 用二項式法計算該股票歐式看漲期權的價格.兩期間二項式模型$20,10%,或下降10%.我們3$21.20*1.1*1.1=24.2. 如果價格在兩個時期下降,最后為 16.2. 最后,如果資產價格先升后降 ,或先降后生,價格將為 19.8. 與此想對應地,我們可以求出

21、期權的內在價值 .分別用下面的圖來表示 (每個結點用字母來標明 ):在結點 D,股票價格是 24.2,看漲期權價值為 24.221=3.2;在結點 E 和 F,看漲期權為價外, 期權價值為 0.在結點 C 的看漲期權價格為 0,因為結點 E 和 F 的價值都是 0.我 們 主 要 關 注 結 點 B 的 看 漲 期 權 價 格 . 用 我 們 前 面 的 二 項 式 計 算 方法,u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25, 那么 p=0.6523. 因此, 結點 B 的期權價格為 :AB 的期權價格和結點A從上面的數字例子我們可以總結出兩期間二項式模型的定價方法 .股票價格的現值是

22、S0. 在每個時間段內,股票價格會上升 u 倍,或下降d 倍.股票價格的變化可以從圖中看出來(例如,在兩個期間段后,價格上升到,期權價格為 fuu).我們假設無風險利率為 r, 每個期間段的長度為 .重復一期間二項式模型的定價方法 , 我們可以得到 :把等式 1, 等式 2 帶入等式 3, 可以得到 :這樣,我們就可以把大問題化解為幾個小問題,即”分割法”.從后往前推 ,從最后的兩個在此例中,運用十步二項式方法求出期權的適當價格為 5.40,和 B-S 模型求出的一樣.看起來二項模型和 B-S 模型是一致的.實際上,我們通常要使用十步以上,否則二項式方法得出的結果就不可信了 .B-S期權, 用

23、 B-SB-S下面給大家介紹一下與二項式方法和 B-S 模型都相關的期權定價的重要思想:風險中性假設 (RiskNeutrality)如果一個問題的分析過程與投資者的收益 /風險偏好無關,那么可以把這個問題放在一個假想的風險中性的世界里進行分析,而所得結果在真實世界里也應當成立,即風險中性假設.我們用二項式方法對期權進行定價時,把 P 和 1P 定義為風險中性概率,而且期權的價值也相當于其末期權的預期值用無風險利率折現后的現值.由于期權是有風險的金融工具,要計算現值的話 , 折現率也不應該是無風險利率 . 這些都涉及到風險中性假設 .世界里,所有市場參與者都是風險中性的.他們對于資產的風險性大小或是否有風險都不要求 求的收益率就是無風險利率.而且,所有資產現在的市場均衡價格都應當等于其未來收益的預 期值,加上考慮到貨幣的時間價值,資產的現行價格就都是未來預期值用無風險利率折現后的 現值.這就是我們為什么把 P 和 叫做風險中性概率,而采用無風險利率作為折現率的原因.利用風險中性假設可以大大簡化問題的分析.因為在風險中性的世界里,對所有的資產 界中, 就取得了有實際意義的結果 .風險中性假設也同樣適用于 B-S 定價模.如果 B-S 微分方程中包含股票的預期收益 , 那么它將受投資者風險偏好的影. 因