1、金融時間序列分析第一章緒論第一節(jié)時間序列分析的一般問題人們在日常生活和工作中會遇到大量的金融數(shù)據(jù)，如存款的利率、股票的價格、債券的收益等等，例某支股票的價格。如何從這些數(shù)據(jù)中總結、發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，如何從這些數(shù)據(jù)中總結、發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，從而預測或控制現(xiàn)象的未來行 從這些數(shù)據(jù)中總結 為，這就是時間序列分析這門課程 所要研究的問題。研究方式數(shù)據(jù)建立模型預測數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的類型。橫剖面數(shù)據(jù)：由若干現(xiàn)象在某一時點上所處的狀態(tài)所形成的數(shù)據(jù)，稱為橫剖面數(shù)據(jù)，剖面數(shù)據(jù)，又稱為靜態(tài)數(shù)據(jù)。它反映一定時間、地點等客觀條件下諸現(xiàn)象之間存在的內在數(shù)值聯(lián)系。例如，上海證券交易所所有股票在某一時刻的價格；某一時刻全國各省會城 市

2、的溫度，都是橫剖面數(shù)據(jù)；研究方法：多元統(tǒng)計分析。縱剖面數(shù)據(jù)：由某一現(xiàn)象或若干現(xiàn)象在不同時點上的狀態(tài)所形成的數(shù)據(jù)，稱為縱剖面數(shù)據(jù)，縱剖面數(shù)據(jù)，又稱為動態(tài)數(shù)據(jù)。它反映的是現(xiàn)象與現(xiàn)象之間關系的發(fā)展變化規(guī)律。例如，南京市1980年至2005年每年末的人口數(shù)；上海證券交易所所有股票在一年中每個周末收盤價，都是縱剖面數(shù)據(jù)研究方法：時間序列分析時間序列概念時間序列概念。時間序列：簡單地說，時間序列就是按照時間順序排成的一個數(shù)列，其中每一項的取值是隨機的。嚴格的時間序列的定義需要隨機過程的概念。設（，3 , P）1一個概率空間，其中是樣本空間，3 是 上的（T代數(shù),P 是 Copyright: Rongbao

3、 Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融時間序列分析上的概率測度。 又設T是一個有序指隨機過程。標集。概率空間（,3 , P上的隨機變量 X t : t T的全體稱為隨機過程。隨機過程。注：指標集T可以是連續(xù)的也可以是離散的，相應地，隨機過程也有連續(xù)和離散之分。定義：定義：若t i是R中的一個離散子集，則稱隨機過程 X t : t t i = X ti 是 一個 時間序列。簡言之，一個離散隨機過程被稱為一個時間序列。注：1、從統(tǒng)計意義上說，時間序列是一個統(tǒng)計指標在不同時刻上的數(shù)值，按照

4、時間順序排成的數(shù)列，由于統(tǒng)計指標數(shù)值受到各種偶然因素影響，因此這數(shù)列表現(xiàn)出隨機性。2、從系統(tǒng)論上說，時間序列是某一系統(tǒng)在不同時刻的響應，是系統(tǒng)運行的歷史行為的客觀記錄。時間序列的特點：（1）序列中的數(shù)據(jù)依賴于時間順序；（2）序列中每個數(shù)據(jù)的取值具有一定的隨機性；（3）序列中前后的數(shù)值有一定的相關性-系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)律 （4）序列整體上呈現(xiàn)某種趨 勢性或周期性。研究時間序列的意義通過對時間序列的分析和研究，認識系統(tǒng)的結構特征（如趨勢的類型，周期 波動的周期、振幅，等等） ；揭示系統(tǒng)的運行規(guī)律；進而預 測或控制系統(tǒng)的未來 行為，或修正和重新設計系統(tǒng)（如改變參數(shù)、周期等）按照新的結 構運行。時間序列分析

5、根據(jù)時間序列所包含的歷史行為的信息，尋找相應系統(tǒng)的內在統(tǒng)計特征和發(fā)時間序列分析。展變化規(guī)律性的整個方法，稱為時間序列分析注：時間序列分析是一種根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動態(tài)結構和規(guī)律的統(tǒng)計方法，是統(tǒng)計學的一個分支。時間序列分析的類型（詳見P7）。確定性時序分析：設法消除隨機型波動，擬合確 定型趨勢，形成長期趨勢 分析、季節(jié)變動分析和循環(huán)波動測定的時間序列分析方法，稱為確定性時序分析。隨機時序分析：對許多偶然因素共同作用的隨機型波動，運用隨機理論來 研究分析，找出其中的規(guī)律性， 稱為隨機時序分析 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing Uni

6、versity of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析 第二節(jié) 歹U的 預測技術第二節(jié)時間序列的預測技術本課程主要研究諸如資產(chǎn)收益率等金融時間序列， 這些時間序列具有一些典型特征。 時間序列的預測技術就是通過對預測目標自身時間序列的分析處理來研究其變化趨勢。時間序列的基本變動。長期趨勢變動：指序列朝一定方向持續(xù)上升或持續(xù)下降，或停留在某一水 平上的傾向。 例如，1950年至2000年我國人口數(shù)一直保持增長的趨勢；2000年至2005年人口數(shù)量穩(wěn)定在13億。季節(jié)變動：指在一年或更短的時間內，由某種固定周期性因素（如自然、生產(chǎn)、消費等季節(jié)性因素）的影響而呈現(xiàn)

7、出有規(guī)律的周期性波動。例如，雅戈爾西服的銷售量在春秋兩季較高，而在冬夏兩季較低。循環(huán)變動：指周期為一年以上，由非季節(jié)因素引起的漲落起伏波型相似的 波動。 例如，經(jīng)濟的過熱或經(jīng)濟的蕭條；股票市場大約每四年一次的牛 市等。不規(guī)則變動：由許多不可控的偶然因素(如戰(zhàn)爭、自然災害或其它社會因素等)和隨機變動(即由大量隨機因素產(chǎn)生的宏觀影響)所共同作用的結果例如，黎巴嫩今年的經(jīng)濟因以色列突然入侵而蒙受重大損失；我國7月份福建、浙江因臺風遭受重大損失等。 幾種常見的預測模型幾種常見的預測模型如果在預測時間范圍以內，無突然變動且隨機變動的方差b2較小，并且有 理由認為過去到現(xiàn)在的歷史演變趨勢將繼續(xù)發(fā)展到未來，

8、 可以用如下一些經(jīng)驗方法來進行預測。簡單預測模型：用現(xiàn)象的現(xiàn)在值作為其下一時刻的預測值，即xt +1 = xt。移動平均模型(滑動平均，Moving Average Model ):當預測目標出現(xiàn)某些不規(guī)則的變化，如特大值或特小值，用簡單預測法將會產(chǎn)生較大偏差，可以用前一段時間的觀察值的平均數(shù)來削弱不規(guī)則變化對預測的影響。設觀察值序列 x1 , x 2 , x n , 一次移動平均模型為 x (1) t = 1 ( xt + xt 1 + xt ( n 1) ) nCopyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of F

9、inance and Economics, 2006 金融時間序列分析我們用此值作為下一時刻的預測值，即令xt +1 = xt。注：1、移動平均的特點是修勻”原序列中的某些不規(guī)則變化而使之平滑化，并使趨勢傾向更加明顯。2、當預測目標的基本趨勢是在某一水平上下波動時，可以用移動平均模型來作預測。3、當預測目標的基本趨勢與某一線性模型相吻合時，常采用二次移動平均模型，即 1 (1) x ( 2) t +1 = x ( 2) t = ( xt + x (1) t 1 + x (1) t ( n1) ) 。 n 4、當預測目標同時存在線性趨勢和周期波動時，可用趨勢移動平均模型xt + j = at +

10、 bt j , j = 1,2, 其中：at = 2 x (1)t x ( 2 )t , bt = 2( xt x ( 2) t ) , n為周期長度。該模型在數(shù)n 1據(jù)處理中常用來作為預處理，消除周期波動和減弱隨機干擾的影響往往是有效的。指數(shù)平滑型(Exponential Smoothing Model ):觀察移動平均模型可知，我們實際上是作 了以下兩個假定：(1)下一期的預測值只與前n期的歷史數(shù)據(jù)有關，而與前 n期以前的歷史 記錄無關；(2)前n期的歷史數(shù)據(jù)對預測值的影響是相同的，即都加權數(shù)1 n。然而，這兩條假定是存在一定缺陷的：假定(1)限制我們不能充分利用數(shù)據(jù)帶來的信息；假定(2)

11、與實際情況不相符合，因為一般說來距離預測期越遠的數(shù)據(jù)對預測的影響應當越小。為了克服移動平均模型的缺點，更好地符合實際情況，我們應當對各期的觀察值依時間的順序進行加權平均來作為預測值。設觀察值序列為x1 值依時間的順序進行加權平均來作為預測值。設觀察值序列為x1 , x 2 , , x n ,移動平均模型有1 ( xt + xt 1 + xt ( n 1) ) n 1 1 1 = xt + ( xt 1 + xt ( n 1) + xt n )xt n n n n 1 1 = xt + x (1) t 1 xt n n n 1 如用 x (1) t 1 代替 xt n ,并記 a =,則上式可

12、以寫成n x (1) t = x (1) t =+ (1 a xt ) xt1 一般地，一次指數(shù)平滑模型為S (1 ) t =ax t+ (1 a ) S (1 ) t 1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance andEconomics, 2006金融時間序列分析其中a ( 0 a 1為加權系數(shù)。利用上述遞推公式，我們可以進一步得到St (1) =o+xt1a ) ax+ 11a) S (1) t 2 = t + a o(1 a) xt1 + (1 a) 2 2 xt (1 a) S (1

13、) t 3 = = a 匯(1) j xt j j =0 法：1、上式中加權系數(shù)呈指數(shù)函數(shù)衰減，加權平均能消除或減弱隨機干擾的影響。2、指數(shù)平滑模型是以當前時刻t為起點，綜合歷史數(shù)據(jù)的信息，來對未來進行預測的。其中加權系數(shù)a的選擇是提高預測精度的關鍵。根據(jù)經(jīng)驗，a的取值范圍一般為 一。3、類似地，我們也有如下的二次、三次平滑公式，等等 St St ( 2) = aS (1) + (1a) S ( 2) t 1 , = aS ( 2)+ (1 a)S (3) t 1 ( 3)加權系數(shù) a的作用：由一次指數(shù)平滑公式有(1) xt +1 = S (1) t = S (1) t 1+ a(xt S (

14、1) t 1 ) = x (1) t + a ( xt x (1) t )其中最后一個括號表示對上期預測誤差的修正，因此，a的大小反映了對上期預測誤差修正的幅度的大小反映了對上期預測誤差對上期預測誤差修正的幅度a值越大，加權系數(shù)的序列衰減速度就越快，采用的歷史數(shù)據(jù)就越少。由此可以 得到a取值的一般原則： (1)如果序列的基本趨勢比較穩(wěn)，預測偏差由隨機因素造成，則 a值應取小些，以減少修正幅度，使預測模型包含更多歷史數(shù)據(jù)的信息；(2)如果預測目標的基本趨勢發(fā)生系統(tǒng)變化，則a值應取大些，可以偏重新數(shù)據(jù)的信息隊原來模型進行大幅度修正，以使預測模型適應預測目標的新變化。金融時間序列及其特征 第三節(jié) 金

15、融時間序列及其特征金融時間序列分析 研究的是資產(chǎn)價值隨時間演變的理論和實踐。它是一個帶有高度經(jīng)驗性的學科，但也像其它科學一樣，理論是形成分析推斷的基礎。然而，金融時間序列分析有一個區(qū)別于其它時間序列分析的主要特點：金融理論及其經(jīng)驗的時間序列都包含不確定因素。例如，資產(chǎn)波動率有各種不同的定義，對 一個股票收益率序列，波動率是不能直接觀察到的。正因為帶有不確定性，統(tǒng)計理論和方法在金融時間序列分析 中起重要作用。Copyright: Rongbao Gu, School ofFinance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融時間序

16、列分析資產(chǎn)收益率多數(shù)的金融研究是針對資產(chǎn)收益率而不是資產(chǎn)價格。Campbll, Lo 多數(shù)的金融研究是針對資產(chǎn)收益率而不是資產(chǎn)價格。Campbll, Lo 和 MacKinlay (1997)給出了兩個使用收益率的主要理由：第一，對普通的投資者來說，資產(chǎn)收益率的高低完全反映了投資機會的大小；第二，收益率序列比價格序列有更好的統(tǒng)計性質，因而更容易處理。 設Pt是資產(chǎn)在t時刻的價格，假定資產(chǎn)不支付分紅。單周期簡單收益率若從第t 1天到第t天這一個周期持有某種資產(chǎn)，則單周期的簡單毛收益率單周期的簡單毛收益率 定義為1 + Rt = Pt Pt 1或Pt = Pt 1 (1 + Rt )對應的單周期簡

17、單凈收益率或稱簡單收益率 為Rt = Pt P Pt 1 1 = t Pt 1 Pt 1 。多周期簡單收益率若從第t k天到第t天這個k個周期內持有某種資產(chǎn)，k周期簡單毛收益率則 定義為1 + Rt k = Pt P P P=t xt 1 xtk +1 Pt k Pt 1 Pt 2 Pt k k 1 j =0 = (1 + Rt )(1 + Rt 1 )(1 + Rt k +1 ) =口(1 + Rt j ) k周期簡單毛收益率也稱為復合收益率。由上式可見，k周期簡單毛收益率恰是k個單周期簡單毛收益率的乘積k周期簡單凈收益率為Rt k = Pt P Pt k 1 = t Ptk Pt k注：在

18、實踐中，實際的時間區(qū)間對討論和比較收益率很重要的，例如是月收益率還是年收益率。若時間區(qū)間沒有明確給出，那么一般認為隱含假定時間區(qū)間為一年。如果持有資產(chǎn)年限為 k年，則年度化的平均收益率定義為k 1 年度化的Rt k = H Rtj ) j =0 即為k個單周期簡單毛收益率的幾何平均。1 k 1 Copyright: Rongbao Gu, Schoolof Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析由于算術平均要比幾何平均容易計算，所以年度化的平均收益率也可以用算術平均來表示為：1k 1 年度化的Rt

19、k = exp + IRtln(j1) 1 k j =0 注意到單周期收益率一般很小，利用一階Taylor展開式e x =+l x與ln(1 + x)x年度化的平均收益率又可以進一步近似 地表示為：年度化的Rt k 1 k 1 口 R= 0。連續(xù)復合收益率連續(xù)復合的含義：例 假定銀行存款白年利息為10%,最初存款為1美元。假如該銀行每年支付一次利息，那么一年之后存款的額度變?yōu)?+=美元。假如該銀行每半年支付一次利息，六個月的利息率是10%/2=5%,第一年之后存款的額度為1(1 + / 2) 2 = 美元。一般地，假如該銀行一年支付 m次利息，那么每次支 付的利息率為 10%/m , 一年后存

20、款的額度變?yōu)?(1 + /m) m美元。下表給出一些常用的時間間隔下年利率為10%時存款1美元的結果 類型支付次 數(shù) 每周期 利率 凈值(美 元)一年1 半年2 季度4 月12 周52 52 天365 365 連續(xù)地無窮多可見，凈值趨于exp，這個值就是連續(xù)復合的結果。一般地，連續(xù)復合的凈資產(chǎn)值為：A = C exp(r x同中r是年利率，C是初始資本，n是年數(shù)。由此式我們可以得到C = A exp( r x稱為n年后價值為 A的資產(chǎn)的現(xiàn)值 連續(xù)復合收益率：資產(chǎn)的簡單毛收益率的自然對數(shù)稱為連續(xù)復合收益率或 對數(shù)收益率(log-return ) : Copyright: Rongbao Gu,

21、School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析rt = ln(1 + Rt ) = ln Pt = pt pt 1 Pt 1 其中 pt = ln Pt注：連續(xù)復合收益率rt與簡單凈收益率 Rt比較有一些優(yōu)點：1、對多周期收益率，我們有 rt k = ln(1 + Rt k ) = ln(1 + Rt )(1 + Rt 1 )(1 + Rt k +1 ) = ln(1 + Rt ) + ln(1 + Rt 1 ) + ln(1 + Rt k +1 ) = rt + rt 1 + rt k

22、 +1即，連續(xù)復合多周期收益率恰是各連續(xù)復合單周期收益率之和2、對數(shù)收益率有更容易處理的統(tǒng)計性質。3、根據(jù)泰勒公式，我們有如下有關系式ln Pt P Pt 1 P Pt 1 = ln(1 +t )t Pt 1 Pt 1 Pt 1即毛收益率的對數(shù)近似等于 凈收益率。資產(chǎn)組合收益率由N個資產(chǎn)組成的一個資產(chǎn)組合的簡單凈收益率是它所包含的各資產(chǎn)的簡單凈收益率的加權平均，其中每個資產(chǎn)的權重是資產(chǎn)組合的總價值中該資產(chǎn)的價 值所占的百分比。設p是一個資產(chǎn)組合，其在資產(chǎn)i上的權重為 3 i ,那么p在時刻t的簡單收益R p ,t = X Rit , i =1 N其中Rit是資產(chǎn)i的簡單收益率。 收益率分布的假

23、定收益率分布的假定分布。正態(tài)分布 金融研究中傳統(tǒng)的假設是：簡單收益率Rit | t = 1, T 是相互 獨立的，且都服從一個固定均值為、方差為d 2的正態(tài)分布。這個假設使得資產(chǎn)收益率的統(tǒng)計性質變得可以處理，但它遇到幾個麻煩：第一，簡單資產(chǎn)收益率的下界為-1,而正態(tài)分布的支撐是沒有下界，它可以取到實直線上的任何值；第二，如果 Rit是正態(tài)分布的，那么多周期的簡單收益率Rit k 就不是正態(tài)分 布的，因為它是單周期收益率的乘積；第三，經(jīng)驗結果不支持正態(tài)性假設，很多資產(chǎn)收益率數(shù)據(jù)表明它具有正的超出峰度，即具有厚尾性。Copyright: Rongbao Gu, School ofFinance,

24、Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析 。對數(shù)正態(tài)分 布 金融研究中另一個常用的假設是：資產(chǎn)的對數(shù)收益率 rt是 相互獨立的，且都服從一 個均值為、方差為 b2的正態(tài)分布。此時，簡單收益率Rt就是獨立同分布的對數(shù)正態(tài)的隨機變量，由Rt =exp rt ,容易計算得到Rt的均值和方差分別為E ( Rt ) = exp(+(t2 2 )1, Var ( Rt ) = exp(2 +2 )exp(r12這兩個式子在研究資產(chǎn)收益率是有用的。如果簡單收益率 Rt服從對數(shù)正態(tài)分布，均值和方差分別為m1 , m2 ,通過計 算可以

25、得到其對數(shù)收益率rt的均值和方差分別為m1 + 1 E (rt ) = ln m2 1+ (1 + m1 ) 2,m2 Var (rt ) In 1 + 2(1 + ml ) *第四節(jié) 隨機變量的矩 第四節(jié) 隨機變量的矩 最近的理論研究和實證結果表明：對收益率的兩個傳統(tǒng)假定并不成立，即收益率序列并不是服從正態(tài)分布的，實際上它存在著尖峰厚尾現(xiàn)象。為描述這一現(xiàn)象，我們需要下面矩的概念。隨機變量的矩設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為 f (x),則X的l階矩定義為ml = E ( X l ) =8 8 /xH階熊狗汕 X的均值 或 期望，它表示的是分布的中心位置， 記為 x X的l階 中心矩 定義為 m

26、l = E( X x ) l =00 00 JX )(Xf ( x)dx二階中心矩稱為X的方差，它表示 X取值變化的程度，記為b2 x。方差的算術根Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析b x稱為X的標準差注：1、三階中心矩度量X關于其均值的對稱性；四階中心矩度量 X的尾部。X的偏度(skewness)定義為標準化的三階矩，即(X x )3S ( x) = E 3 (rx X的峰度(kurtosis)定義為標準化的四階矩，即(X x

27、)4 K ( x) = E4 b x量K ( x) 3稱為超出峰度，具有正的超出峰度的分布稱為具有厚尾性。注：2、所謂 超出峰度”是以正態(tài)分布為標準比較而言的。正態(tài)分布的峰度 K ( x) = 3 ,故其超出峰度為0。分布具有 厚尾性”意即該分布在其支撐 的尾部有比正態(tài)分布更多的 質量”。在實際中，這意味著來自于這樣一個分布的隨機樣本會有更多的極端值。注：3、在應用中，偏度和峰度可以由它們對應的樣本偏度和樣本峰度來估計。設x1 , x 2 , , xT 是X的T個觀察值的隨機樣本，樣本的均值為 x = 1 T 匯xt T t =1本方差為(T 2x = 1 T匯(xt x ) 2 T 1 t

28、=1樣本偏度為S ( x) = 1 (T 1) b 3 x 匯(x t不3 T x )樣本峰度為 K ( x) 3 = 1 (T 1) b 4 x 匯(x t =1 4 tx ) 注：在正態(tài)分布假定下， S ( x)和 K ( x) 均漸近正態(tài)分布，均值為零，而方差分別為6 / T和24 / T。 (參見 SnedecorheCochran(1980),)注：4、類似地，我們也可以給出離散隨機變量的偏度和峰度的定義。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 200

29、6 金融時間序列分析第二/三線性時間序列模型第二三章線性時間序列模型時間序列列的一個重要特征是它的前后數(shù)據(jù)之間具有相關性，這反映系統(tǒng)的現(xiàn)在行為與歷史行為是有關聯(lián)的，也就是說系統(tǒng)對過去行為具有記憶性，也叫 做系統(tǒng)的動態(tài)性。 記憶性(動 態(tài)性) 記憶性(動態(tài)性) 。記憶性 指某一時刻進入系統(tǒng)的輸入對系統(tǒng)后繼行為的發(fā)生 影響的性質。 輸入 系統(tǒng) 輸出(響應)。動態(tài)性 指系統(tǒng)現(xiàn)在行為與歷史性為的相關性,即在時間序列中，觀察值之中蘊含有相關關系。從系統(tǒng)觀點來看，動態(tài)性即指系統(tǒng)的記憶性。 若某輸入只影響系統(tǒng)的下一時刻的行為，而對其后的行為不發(fā)生作用，則稱系統(tǒng)有一期記憶性或一階動態(tài)性。類似可以定義系統(tǒng)的n階

30、記憶性。階記憶性。例：一個病人服用鎮(zhèn)痛藥，在時刻t服用，相當于在時刻t進入神經(jīng)系統(tǒng)的一個輸入-鎮(zhèn)痛藥，結構圖如下：輸入 神經(jīng)系統(tǒng) 鎮(zhèn)痛藥t精神態(tài)X t輸出（響應）如果此藥僅在下一個時刻有效，此后無效，該系統(tǒng)具有一期記憶性，其動態(tài)性可用下圖表示：T T+1 T +2假如服藥后四小時內有效，且藥力遞減，第五個小時后無效，則系統(tǒng)的動態(tài)性圖示如下： Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance andEconomics, 2006金融時間序列分析T T +1 T +2 T +3 T +4 T +5注：如何

31、定量描述系統(tǒng)的記憶性，這是時間序列分析的主要內容，時間序列模型就是系統(tǒng)記憶性的具體描述，建模過程駕駛記憶的定量描述過程。例如，若某系統(tǒng)的輸入和輸出為：時間t 1 2輸入 輸出則模型為X t =少0Wt若某系統(tǒng)的輸入和輸出為：時間t 1輸入 輸出 則模型為 X t =少1Wt 1。若某系統(tǒng)的輸入和輸出為：時間t 1輸入輸出Wt Xt 0 0 2 0 0 2 0 0 3 4 0 0 5 00 6 0 0 Wt Xt 0 0 0 0 ca 0c 3 4 0 5 0 0 6 0 0 Wt Xt 0 0 c 00 1c 3 40樓 0 0 6 0 0 c型為X t = 4 0Wt 4 1Wt 1 。 一

32、般地，系統(tǒng)的記憶性可以用如下模型表示：X t = 4 0Wt少1Wt 1+少2Wt 2 + 其中少j表示在t時刻系統(tǒng)對輸入 Wt j的記憶程度，或者輸入 Wt j對系統(tǒng)輸出 X t的影響程度。稱 少j為系統(tǒng)的記憶函數(shù)。實際上，我們所掌握系統(tǒng)的信息總是有限的，因此描述系統(tǒng)的記憶性的模型一般為有限形式：X t =少0Wt 1Wt 1+ 2Wt 2 + + e t其中的 e t是一個隨機誤差。Copyright: Rongbao Gu, Schoolof Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析 。線性時間

33、序列 若時間序列xt 能夠寫成xt = + E ip i at i , i =0 00其中 是xt的均值，少0 =1 , a t 是零均值、獨立同分布的隨機變量序列（即白 噪聲），則稱xt 為線性時間序列。線性時間序列理論。經(jīng)濟計量模型 包括平穩(wěn)性、動態(tài)相依型、自相關函數(shù)、建模和預測 （1）簡單自回歸（AR）模型；（2）簡單滑動平均（MA）模型；（3）混合的自回歸滑動平均（ARMA）模型；（4）季節(jié)模型。第一節(jié) 平穩(wěn)性。嚴平穩(wěn) 對時間序列xt ,若對所有的t、任意正整數(shù) k和任意k個正整 數(shù)t1 , t 2 , t k,隨機變量組(rt 1 , rt 2 , , rt k )的聯(lián)合分布與隨機變

34、量組(rt1 + t , rt2 + t , rtkt )的聯(lián)合分布均是相同的，即滿足關系式:t )的聯(lián)合分布均是相同的，即滿足關系式:Fk (rt1 , rt2 , rtk ; t1 , t 2 , t k ) = Fk (rt1 ,rt2 , , rtk ; t1 + t , t 2 + t , , t k + t )則稱rt 是嚴平穩(wěn)的。 換言之，嚴平穩(wěn)性要求 (rt , rt , rt )的聯(lián)合分布在時間的平移下是不變。1 2 k注：嚴平穩(wěn)性的條件是相當強的， 根據(jù)定義很難驗證。稍微弱一點平穩(wěn)性是如下 的定義。弱平穩(wěn) 對時間序列xt ，若(2)Cov( xt , xt l )= 僅與l

35、 丫有l(wèi)關，(1) E ( xt ) = = const.;則稱xt 是弱平穩(wěn)的 或 寬 平穩(wěn)的。換言之，若xt和xt與xt l的協(xié)方差均不隨時間變化，則 xt 是弱平穩(wěn)的。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融時間序列分析注：1、弱平穩(wěn)性意味著數(shù)據(jù)的時間圖顯示出其值在一個常數(shù)水平上下以相同幅 度波動；(請讀者2、在弱平穩(wěn)性的條件中，隱含地假定了rt的頭兩階矩均是有限的；驗證)3、弱平穩(wěn)對時間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計平均的頭兩階矩上，嚴平穩(wěn)對時 間推

36、移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計平均的概率分布上，二者的要求不同。嚴平穩(wěn)與弱平穩(wěn)的關系 命題 若時間序列rt 是嚴平穩(wěn)的，且它的頭兩階矩是有限的，則 rt 也 是若平穩(wěn)的。反之一般不成立，命題 若時間序列rt 是正態(tài)分布的，則嚴平穩(wěn)與弱平穩(wěn)時等價的。白噪聲序列：若時間序列xt 是一個有有限均值和有限方差的、獨立同分 布的隨機變量序列，則稱 xt 為白噪聲序列，否則稱為有色噪聲。白噪聲序列 若xt 還服從均值為0、方差為(T 2的正態(tài)分布，則稱 xt 為高斯白噪聲。注：白噪聲與白色光有相似的特性：白色的光譜在各頻率上有相同的強度；白噪聲的譜密度在各頻率上的值也相同。例1高斯白噪聲序列是弱平穩(wěn)的。設高斯白噪聲

37、序列xt ,即它們是獨立同分布的隨機變量且E ( xt ) = 0,又 E ( xt )=敢 2 E ( xt 2 ) = (T 2 EM xt0)( xt 0) = E ( xt +l xt ) = 0 所以xt 是弱平穩(wěn)的。若l = 0若l W0 注：平穩(wěn)性條件是難以驗證的。在實際中，如果某過程前后的環(huán)境和主要條件夠不隨時間變化，就可以認為是平穩(wěn)的。如在工業(yè)生產(chǎn)中，原料質量、機器性能、工藝過程、工人技術、自然條件(氣溫、雨量等)沒有劇烈變化，就可以認為其 過程是平穩(wěn)的。若進行了工藝革新、設備改造、工人崗位變動等，則這一工業(yè)生產(chǎn)過程就是Copyright: Rongbao Gu, Schoo

38、l ofFinance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析非平穩(wěn)的了。自協(xié)方差 對弱平穩(wěn)時間序列 xt ,協(xié)方差 Cov( xt , xt l )=稱為f可隔為l的自協(xié)方差。自協(xié)方差。命題 設弱平穩(wěn)時間序列xt ，則自協(xié)方差具有如下性質：(1)丫 0 = Var ( xt );(2)丫 t= 。丫第二節(jié) 相關系數(shù)和相關函數(shù)對資產(chǎn)收益率rt ,我們希望用簡單模型來刻畫rt與t時刻之前所擁有的信息之間的線性關系。這里的信息可以包括rt的歷史值和決定資產(chǎn)價格的經(jīng)濟環(huán)境的狀態(tài)。所以，相關系數(shù)在理解這些模型中起著重要作用

39、，所研究的變量與其過去值的相關系數(shù)是線性時間序列分析的重點。這些相關系數(shù)被稱為自相關系數(shù)，它們是研究平穩(wěn)時間序列的基本工具。隨機變量的相關性 隨機變量的相關性兩個隨機變量 X , Y的相關系數(shù)為：p xy = Cov( X , Y ) Var ( X )Var(Y ) = E( X x )(Y y ) E ( X x ) 2 E (Y y ) 2 其中 x 和 y 分別是 X , Y 的均值，并 且假定方差是存在的。注：1、相關系數(shù) p xy度量的是隨機變量 X , Y線性相關的程度。我們知道有以下 性質：(1)1 0 , pl = 0。例2設高斯白噪聲xt ，由例1已經(jīng)算得 d 2，若l =

40、 0 Y ( T ) = Cov( xt ) xt 0,若l W敝高斯白 噪聲的自相關函數(shù)為：Y ( 0) = b 2 p1(J)若l = 0。0,若l豐03設X是隨機變量，Var ( X )=。逅 2 1 p (l ) = 1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析注：例 3 的結論表明時間序列xt 具有極強的相關性。實際上，該序列的每一項是相同的，因而也是嚴平穩(wěn)的。與例2比較可知，白噪聲是另一個極端的情形。樣本自相關函數(shù)(ACF)

41、假定有樣本xt T=1 ,則xt 的間隔為1的樣本自t相關系數(shù)為p仁匯(x t =1 T tx )( xt 1 x ) t 匯(x t =1x)T2 一般地，xt 的間隔為l的樣本自相關系數(shù)定義為T pl = t = l +1 匯(x t x )( xt l x ) , t 匯(x t =1 T 0 x) 2 l 注 T 1、若xt 是獨立同分布(iid)序列，且E ( xt ) q , p l漸近地服從均值為0、方差為(1 +2匯p i ) / T 2i =1 q的正態(tài)分布(見 Box, Jenkins和 Reinsel(1994) 。3、對于有限樣本，p l是 p l的有偏估計。T事實上，

42、若記 丫 l =匯(xt)( xt 1 x ),稱其為樣本自協(xié)方差。因為對于t =1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics,2006 金融時間序列分析 0 & l 0為q階滑動平均模型，簡記為 MA(q)模型。 注：1、MA模型是用白噪聲序列組成的一個加權平均；2、MA模型具有許多吸引人的特點，包括簡單的均值和自協(xié)方差結構。MA模型性質。MA(1)模型的均值和方差 2 E ( xt ) = 0 , Var ( xt ) = (1 + 0 12 ) aMA(1)模

43、型：xt = at0 1a t 1 ,兩邊取期望可得 E ( xt ) = 0 ;兩邊取方差可 Copyright:Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析 得 2 2 2 Var ( xt ) = E ( xt2 ) = E (a t2 ) 20 1 E (at a t 1)+9 12 E (a t2 ) =+ 8 a2a = (1 + 0 12 ) 06 a 一般地，我們有如下命題：命題 對MA模型，我們有(1) MA模型是零均值的；(2) MA(q)模

44、型的方差為 2 Var ( xt ) = (1 + 0 12+ + 0 q2 ) (r。a。MA模型的平穩(wěn)性 因為 E ( xt ) = 0 ,且 MA模型總是弱平穩(wěn)的。 總 Cov( xt , xt l ) = E ( xt xt l ) = E (at at l )0 1 E (at 1at l + E (at at l 1 ) + 0 1 E (at 1 at 1l ) 2 2 2 0 1 (r a =0 l =1 。 l 1 。MA(1)模型的自相關函數(shù) 在 MA(1)模型 p0 = 1 , p 1 = 0 1 , pl = 0對l 1 1 + 9 12 xt = at 0 1a t

45、1。 兩端同乘以 xt l ,得xt l xt = xt l a t 0 1 xt l a t 1 ,利用 MA(1)模型的遞推性 質，將上式右端用白噪聲表示，有 xt l xt = xt l at 0 1 (at l 0 1 at l 1 )at 1 = xt l at 0 1 at at1 + 0 1 at l 1 at 1 2 兩邊取期望，得 丫 l = E ( xt l at ) 0 1 E (a t l a t 1)+9 12 E (a t l 1 at 1 ) 2 0 1(T a =0 2 由于 Var ( xt ) = (1 + 0 12 ) % 故 l =1 l 1 p 0 =

46、 1 1 = 0 1, pl = 0對 l 1 。 1 + 0 12Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融時間序列分析類似的計算可以得到(請同學自己驗證)：。MA(2)模型的自相關函數(shù)對 MA(2)模型 xt = at 0 1 at 1 0 2 at 2，有 p0 = 1, p 1 = 0 1+9192 0 2 p 2 = , pl = 0 對 l 2。 2 2 1 +01+02 什。13。22 注：1、上述自相關函數(shù) 式表明：MA(1)模型的自相

47、關函數(shù)在間隔為1以后是截 尾的；MA(2)模型的自相關函數(shù)在間隔為2以后是截尾的；一般地，對 MA(q)模型有p q w ,0但對l q有p l = 0,即MA(q)模 型 的自相關函數(shù)在間隔為l q以后是截尾的。因此MA(q)序列是一個有限記憶”模型。2、某些金融時間序列有時會有正的均值，這時就應當是把這個常數(shù)均值添加入到模型中去，使得MA(q)模型變?yōu)閤t = + a t 0 1 a t 10 q a t q那么，通過計算可以得到 E ( xt )=,而方差和自相關系數(shù)均保持不變。例 考慮MA(1)模型：yt =a t 1 0 1 a t 1,通過計算(同學自己完成)可得 p0 = 1,

48、p 1 = 0 1 , pl = 0對l 1 。1 +。12即與上面 MA(1)模型xt = at 0 1a t 1具有相同的自相關函數(shù)。問題：問題：MA(1)序列xt 與 y t 具有相同的相關系數(shù)，那么選擇哪一個模型更為合適呢 為回答這個問題，我們將白噪聲 a t 分別用數(shù)據(jù) xt 與 y t 表示：at = xt + 0 1 at 1 = xt+ 0 1 ( xt 1+ 0 1 at 2 ) = xt + 0 1 xt 什。1 xt 2f 2 (1) (2) at = yt + 1 0 1 at 1 = y4t 1 0 1 ( y t + 1 0 1 at 2 ) =yt + 1 0 1

49、 y t + 1 0 1 2 yt 2如果| 0 1 | q有pl = 0 ,則xt服從一個 MA(q)模型。注：在實際問題中，我們是計算序列的樣本自相關函數(shù)，如果從某 pq以后 的樣本自相關函數(shù)顯著 的小，則可以近似地視樣本自相關函數(shù)在q項以 后是截尾的，從而是 q階MA模型。第四節(jié) 自回歸模型 另一類常用的模型是自回歸模型。自回歸模型之所以有吸引力是因為它與很傳統(tǒng)的線性回歸模型非常相像。美國芝加哥大學證券價格研究中心(CRSP價值指數(shù)的月收益率 rt具有統(tǒng) 計顯著的間隔為 1的自相關系數(shù)，這表明延遲的收益率rt1在預測rt時會有一定 的作用，描述這樣的預測功能的模型就是所謂的一階自回歸模型

50、。自回歸模型概念自回歸模型的英文為： Auto Regressive Model,縮寫為：AR模型。AR( p莫型 假定a t 是均值為零、方差為(T a的白噪聲序列，則稱2 xt = 1 xt 1 + + pxt p + a t, p 0為p階自回歸模型，簡記為AR(p)模型。 注：1、自回歸模型從形式上看與線性回歸模型很相似，但是，兩者又有顯著的不同。下面以一階自回歸模型為例來與一階線性回歸模型進行比較：一階回歸模型：yi = bxi + e i一自回歸模型：xt = 1 xt 1+ at xi是確定性取值， y i是隨機性變量值， xt均是隨機變量 Copyright: Rongbao

51、Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析 一隨機變量對另一確定性變量的依存一隨機變量對自身過去值的依存關系關系靜態(tài)條件下研究 動態(tài)條件下研究a t獨立，xt之間有相關性 無條件回歸 i , y i皆是獨立的條件回歸 二者之間的聯(lián)系：若固定時刻t 1且xt 1已知時，AR(1渥一元線性回歸；而當我們用時間序列的過去(滯后)值代替線性回歸模型的預測子后，就得到一個 AR模型。因此我們有理由相信經(jīng)典回歸所導出的大部分統(tǒng)計結果可以只作少量的修改就可以推廣到AR情形。2、 p階自回歸

52、模型反映了系統(tǒng)的p期記憶性，或 p階動態(tài)性質，即，系統(tǒng) 的t時刻的狀態(tài)主要與該時刻之前的p個時刻的狀態(tài)有關，而與 t時刻之 前p個時刻以前的狀態(tài)無關。3、模型中xt是因變量，xt 1 , , xt p是解釋變量，j表示xt對xt j的依賴程 度。4、對AR(1底型，在已知過去收益率rt 1的條件下，我們有 E (rt | rt 1 ) = 1 rt 1 , Var (rt | rt 1 ) = Var (at ) =, 2 即,a 給定過去收益率rt 1 ,現(xiàn)在的收益率將以1 rt 1為中心取值，離散程度 以(T a衡量。2 AR模型的性質。AR(1)模型的均值 當AR(1)序列是弱平穩(wěn)時，其

53、均值為零，即 E ( xt ) = = 0 , 1豐1在AR(1) 序歹U xt = 1 xt 1 + at 的兩邊取期望，得 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, NanjingUniversity of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析E ( xt ) = 1 E ( xt 1 )+ E (a t )由弱穩(wěn)定性假設可知E ( xt ) = E ( xt 1 )=,以及對所有的t , E (a t ) = 0 ,我們有 =1,于是，當1豐1時有E ( xt ) = = 0。AR(1底型的方差 當AR(1)序

54、列是弱平穩(wěn)時，其方差為 Var ( xt )=將 AR(1底型寫為 (T a2 ,1豐1 2 1 1 xt = a t + 1 xt 1兩邊取方差，得Var ( xt ) = E ( xt ) = E (at )+ 21 E ( xt 1 at ) + 12 E ( xt21 ) 2 2 為計算 E ( xt 1 a t ),我們利用 疊代方程，重復疊代可推得， 00 xt = at + 1a t 1 + 1 a t 2 + = E 1 at i 2 i i =0將()式兩 邊同乘以a t +1再取期望，得 8 e ( xt at+1 )= 匯1 E (a t Halt ) i i =0利用白

55、噪聲序列 a t 的獨立性，我們有 E ( xt at +1 ) = 0 。由式得 Var ( xt ) = 1 Var ( xt 1 ) + o- a。 2 2 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間 序列分析 在平穩(wěn)性的假定下，Var ( xt ) = Var ( xt 1 ),故a2 Var ( xt ) =。 2 1 1注：類似等式 E ( xt at +1 ) = 0的證明，可以得到等式 E ( xt l at ) = 0，這表明白

56、噪聲 序列a t 在t時刻的噪聲 a t與其以前各時刻的歷史記錄xt l是獨立的。AR(1)模型的弱平穩(wěn)性由于AR(1)模型弱平穩(wěn)的條件之一是方差非負有限，即 0 w Var ( xt ) ，淅以1 1，即| 1 | 1 。于是，我們得到 2命題 AR(1膜型xt = 1 xt 1 + at是弱平穩(wěn)的必要條 件是| 1 | 1,則該模型不是弱平穩(wěn)的。問題：我們如何判斷AR(1)模型xt = 1 xt 1 + at是弱平穩(wěn)的呢 問題 事實上，我們可以證明： 命題 AR(1膜型xt = 1 xt 1 + at是弱平穩(wěn)的| 1| 1 。 。AR(1)模型的自相關函數(shù) 當AR(1)序列是弱平年I時(即

57、| 1 | 0,由后一方程 丫 l = 1 丫推得若l = 0若l 0 pl = 1 。又因p 0 = 1 ,故有pl = 1。l注： 1、AR(1)模型的自相關系數(shù)從p0 = 1開始以比率為1指數(shù)衰減，因此不能在任意有限間隔后截尾。(然而由于是一指數(shù)衰減，實際問題的計算時，也可以視為是截尾的。)2、1為正時，若AR(1)模型的自相關函數(shù)圖在上方以1比率指數(shù)衰減；1若 為負時，AR(1)模型的自相關函數(shù)圖由上下兩個都以1比率衰減的圖形組成。2 1 =的ACF圖：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Fin

58、ance and Economics, 2006金融時間序列分析1 =的ACF圖：3、如果把一個常數(shù)0加入到方程中，使得 AR(1)模型變?yōu)閤t = 0 + 1 xt 1 + a t仿照上面方法計算可得(請同學自己驗證)： Copyright:Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間 序列分析 E ( xt ) = = o- a2 0 l, Var ( xt ) = , pl = 1, l 0 2 1 1 1 1 這表明序歹 U xt 的均值與常數(shù)項0有關，而方差和

59、自相關函數(shù)均保持不變。易見，xt的均值為零0=0 。為求方差，由上述均值公式可得0 = (1 1 ),代入得xt = at + 1 ( xt 1)利用此方程重復疊代可推得，xt = at + 1 at 1 + 1 at 2 + = E 1 a t i 2 i i =0將)式兩邊乘以a t +1再取期望，并利用序列a t 的獨立性，我們有 E( xt )a t +1 = 0。由協(xié)方差定義，Cov( xt 1 , at ) = E( xt 1)at = 0。故對() 式兩邊平方再取期望，可得 E( xt ) 2 = E1 ( xt 1) 2 + 21 ( xt 1 )at + at 2 2 即 V

60、ar ( xt )=1 Var ( xt 1 ) + b a 2 2 2其中a是a t的方差。在平穩(wěn)性的假定下，Var ( xt ) = Var ( xt1),故b a2 Var ( xt ) = 2 11。AR(2膜型的均值用類似上面的方法(請同學自己驗證)，可以證明 均值當AR(2)序列是弱平穩(wěn)時，其均值為E ( xt ) = = 0 , 1 + 1 W1Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時間序列分析。AR(2膜型的自相關函數(shù)由AR(2腥