1、第 4 章力學量隨時間的演化與對稱性第 4 章力學量隨時間的演化與對稱性 經(jīng)典力學中,處于一定狀態(tài)下的體系的每一個力學量 ,作為時間的函數(shù),在每一時刻都具有一個確定值.量子力學中,處于量子態(tài) 下的體系,在每一時刻,不是所有力學量都具有確定值,一般說來,只具有確定的概率分布和平均值.先討論力學量的平均值如何隨時間改變.引言: 量子力學中力學量隨時間演化的問題與經(jīng)典力學有所不同.4.1.1 守恒量 經(jīng)典力學中,處于一定狀態(tài)下的體系的每一個力學量 第四章 力學量隨時間的演化與對稱性 4.1 力學量隨時間的演化在波函數(shù)(x,t)所描寫的態(tài)中，力學量A的平均值為 (1) (2) 一、力學量平均值隨時間的

2、變化 第四章 力學量隨時間的演化與對稱性 4.1 力學量 由薛定諤方程， 因為是厄密算符 (2) 由 (3) 這就是力學量平均值隨時間變化的公式。如不顯含t，即: (4)則有:若則 (5)即這種力學量在任何態(tài) 之下的平均值都不隨時間改變。 (3) 這就是力學量平均值隨時間變化的公式。如不顯含t，力學量 的平均值為所以用標積表示力學量 的平均值為所以用標積表示 如 不顯含時間 (以后如不特別聲明,都是指這種力學量),即 ,則因此，若則即這種力學量在任何態(tài) 之下的平均值都不隨時間改變。 如 不顯含時間 (以后如不特別聲明證明： 且任意態(tài)均可以用 來展開，即可取包含 和 在內(nèi)的一組力學量完全集，其共

3、同的本征函數(shù)記為 ，則有，此式表明，在態(tài) 下，測量 得到 的幾率為 。 二、 在任意態(tài) 下 的概率分布也不隨時間改變.證明： 且任意態(tài)均可以用 來展開，即可取包含 而而按照上述定義，量子力學中的守恒量A是指 ：（1）力學量不顯含時間，（2）力學量與對易（, =0）則無論體系處于什么狀態(tài)（定態(tài)或非定態(tài)），A的平均值及其測量的概率分布均不隨時間改變。所以把A稱為量子體系的一個守恒量或者運動恒量。守恒量有兩個重要性質(zhì)：(1) 在任意態(tài)(t)之下的平均值都不隨時間改變； (2) 在任意態(tài)(t)之下的概率分布不隨時間改變。按照上述定義，量子力學中的守恒量A是指 ：守恒量有兩個重要性1、證明：若不顯含時間

4、t,則為守恒量 不顯含t又即為 守恒量（能量守恒）。三、舉例證：1、證明：若不顯含時間t,則為守恒量 不顯含t又例2、證明自由粒子動量p和角動量為守恒量。自由粒子的哈密頓算符：所以自由粒子的動量p和角動量是守恒量。可證： 可證：例2、證明自由粒子動量p和角動量為守恒量。自由粒子的哈密頓 例3 粒子在中心力場中運動：角動量是守恒量， 動量 p 不是守恒量。所以角動量是守恒量。可以證明：可見：但是由于 所以動量 p不是守恒量 例3 粒子在中心力場中運動：角動量是守恒量，所以第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件就不能寫成 的形式

5、。 與經(jīng)典力學守恒量不同，量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒量的本征態(tài)。 例如，自由粒子的動量是守恒量，但自由粒子的狀態(tài)不一定是動量本征態(tài)。量子力學中的守恒量的概念，與經(jīng)典力學中守恒量概念不同。這實質(zhì)上是不確定度關(guān)系的反映。 例如，在中心力場中，是守恒量，顯然L2也是守恒量， 但這里所給出的波函數(shù)不一定是L2的本征態(tài)。 就不能寫成 守恒量是否處于某本征態(tài)由初始條件確定:（1） 若初始時刻(t=0)為A的本征態(tài)，則體系保持在該 本征態(tài)；本征態(tài)對應(yīng)的量子數(shù)稱為好量子數(shù)（2） 若初始時刻(t=0)沒有處于A的本征態(tài)，則以后 任意時刻也不會處于本征態(tài)，但是A的平均值和測

6、 值概率的分布不隨時間變化。詳見第十一章 教材第204頁證明守恒量是否處于某本征態(tài)由初始條件確定:詳見第十一章 (b) 量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值，除非在同一個守恒量完全集中 。 例如，中心力場中的粒子，角動量的三個分量 都守恒，但由于三個分量互相不對易，所以一般說來它們并不能同時取確定值。但特殊情況 ， 是它們的共同本征態(tài) 。因而此時它們同時有確定值0。 例如，中心力場中的粒子，角動量的三個分量 守恒量與定態(tài)的異同：（1）概念不一樣 a. 定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)能量本征態(tài) b.守恒量是特殊的力學量，不含時間 t，且和 Hamilton算符對易（2）性質(zhì)不一樣 a. 在定態(tài)

7、下，一切不含 t 的力學量，不管是否守恒量， 其平均值、概率分布都不隨 t 改變。 b.守恒量對一切狀態(tài)，不管是否定態(tài)，其平均值、 概率分布都不隨 t 改變。守恒量與定態(tài)的異同： 可見，不管是定態(tài)問題還是力學量問題，都存在力學量的平均值和取值的概率分布不隨時間變化問題。 所以，只有當體系在非定態(tài)，而所研究的力學量又不是守恒量時，才討論力學量的平均值和取值幾率分布隨時間的變化問題。 可見，不管是定態(tài)問題還是力學量問題，都存在4.1.2、能級簡并與守恒量的關(guān)系定理：設(shè)體系有兩個彼此不對易的守恒量，則：體系能級一般是簡并的。 守恒量在能量本征值問題中的應(yīng)用，要害是涉及能級簡并，其中包括: (a)能級

8、是否簡并？（b）在能級簡并的情況下，如何標記各簡并態(tài)？4.1.2、能級簡并與守恒量的關(guān)系定理：設(shè)體系有兩個彼此不對證明：證明：推論：如果體系有一個守恒量F，而體系的某條能級 不簡并（即對應(yīng)于某能量本征值E只有一個本 征態(tài)），則 必為F的本征態(tài)。證明：推論：如果體系有一個守恒量F，而體系的某條能級證明：位力(virial)定理 當體系處于定態(tài)下，關(guān)于平均值隨時間的變化，有一個有用的定理，即位力（virial）定理. 設(shè)粒子處于勢場 中，Hamilton量為 考慮 的平均值隨時間的變化.按式 ，有位力(virial)定理 當體系處于定態(tài)下，關(guān)于對于定態(tài)， ，所以即式中 是粒子動能，上式即位力定理.

9、對于定態(tài)， ，所以即式中 位力定理詳細證明同理因為位力定理詳細證明同理因為第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件作業(yè)：本章課后習題第4.4、 4.5題作業(yè)：本章課后習題第4.4、 4.5題4. 5 全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性前面我們實際上學習了量子力學的四個基本原理：原理1 微觀體系的狀態(tài)可以用波函數(shù)完全描述原理2 力學量可以用厄米算符來描述原理3 體系狀態(tài)的波函數(shù)可以用算符的本征函數(shù)來展開原理4 體系狀態(tài)的波函數(shù)要滿足Schrdinger方程。今

10、天我們開始學習第五個基本原理-全同性原理4. 5 全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性前面我們實際上學習 自然界中存在各種不同種類的粒子，例如電子，質(zhì)子，中子，光子，介子等。 同一類粒子具有完全相同的內(nèi)稟屬性，包括靜質(zhì)量，電荷,自旋，磁矩，壽命等. 在量子力學中，把內(nèi)稟屬性相同的一類粒子稱為全同（identical）粒子.4.5.1 全同粒子的交換對稱性 自然界中存在各種不同種類的粒子，例如電子，質(zhì)全同粒子組成的多體系的基本特征是： 任何可觀測量，特別是Hamilton 量，對于任何兩個粒子交換是不變的，即交換對稱性.例如氦原子中兩個電子組成的體系, Hamilton量為 當兩個電子交換時， 顯然

11、不變， 是兩個電子交換的算符, 亦即全同粒子組成的多體系的基本特征是：例如氦原子中兩個電子組成的故這說明， 是一個守恒量，即全同粒子系的交換對稱性不隨時間改變。因為故這說明， 是一個守恒量，即全同粒子系的交換對因為第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件 全同粒子系的交換對稱性，反映到描述量子態(tài)的波函數(shù)上就有了極深刻的內(nèi)容。例如對于氦原子，當人們在某處測得一個電子時，由于兩個電子的內(nèi)稟屬性完全相同因此不能（也不必）判斷它究竟是兩個電子中的哪一個。換言之，只能說測到了一個電子在那里，但不能說它是兩個中的哪一個。 對于全同粒子多體系，任何兩個粒子交換一下，其量子態(tài)是不變的，因為一切測量結(jié)果都不會因此有

12、所改變。這樣，就給描述全同粒子系帶來很強的限制，即要求該體系的波函數(shù)對于粒子交換具有一定的對稱性. 全同粒子系的交換對稱性，反映到描述量 對于有 個全同粒子組成的多體系，其量子態(tài)用波函數(shù) 描述, 表示每一個粒子的全部坐標 ( 例如包括空間坐標與自旋坐標) . 表示第 粒子與第 粒子的全部坐標的交換，即 由于所有粒子的內(nèi)稟屬性完全相同， 和 這兩種情況是無法分辨的。所以只能認為它們描述的是同一個量子態(tài)，因此它們最多可以相差一個常數(shù)因子 ,即 對于有 個全同粒子組成的多體系，其量子態(tài)用 再運算一次，得顯然 ，所以 ，因而代入式（2），可看出， 有（而且只有）兩個本征值，即 . 即全同粒子系的波函數(shù)

13、必須滿足下列關(guān)系之一用 再運算一次，得顯然 ，所以 注意，對于全同粒子系式中 .凡滿足 的，稱為對稱波函數(shù)；滿足 的, 稱為反對稱波函數(shù).所有 都是守恒量. 所以，全同粒子體系的交換對稱性給了波函數(shù)很強的限制，即要求它們對于任意兩個粒子交換，或者對稱，或者反對稱. 注意，對于全同粒子系式中 實驗表明 凡自旋為 的整數(shù)倍 的粒子，波函數(shù)對于兩粒子交換總是對稱的，稱為Bose子.例如介子 ，光子 . 凡自旋為 的半奇數(shù)倍 的粒子，波函數(shù)對于兩粒子交換總是反對稱的，稱為Fermi子.例如電子，質(zhì)子，中子等. 對于給定的一類全同粒子, 其多粒子體系的波函數(shù)的交換對稱性是完全確定的, 而且與粒子的自旋有

14、確定的關(guān)系.實驗表明 凡自旋為 的整數(shù)倍 設(shè)有兩個全同粒子 (忽略它們的相互作用)，Hamilton 量表示為4.5.2 兩個全同粒子組成的體系 表示單粒子的Hamilton 量. 與 形式上完全相同，只不過 互換而已.顯然，設(shè)的本征方程為 設(shè)有兩個全同粒子 (忽略它們的相互作用)，H 這種與交換相聯(lián)系的簡并, 稱為交換簡并.但這兩個波函數(shù)還不一定具有交換對稱性. 在上式中， 為單粒子能量, 為相應(yīng)的歸一化單粒子波函數(shù), 代表一組完備的量子數(shù). 設(shè)兩個粒子中有一個處于 態(tài),另一個處于 態(tài),則 與 對應(yīng)的能量都是 這種與交換相聯(lián)系的簡并, 稱為交換簡并.但這兩個 對于Bose子，要求波函數(shù)對于交

15、換是對稱的.這里要分兩種情況： 是歸一化因子（b ) ,歸一化波函數(shù)為 （a） ，歸一化的對稱波函數(shù)可如下構(gòu)成 對于Bose子，要求波函數(shù)對于交換是對稱的.這 對于Fermi子，要求波函數(shù)對于交換是反對稱的.歸一化的波函數(shù)可如下構(gòu)成 對于Fermi子，要求波函數(shù)對于交換是反對稱著名的Pauli不相容原理： 對全同費米子體系，不允許有兩個或兩個以上的粒子處于完全相同的量子態(tài)。這一結(jié)論稱為Pauli不相容原理。 Pauli不相容原理對研究原子的結(jié)構(gòu)和元素周期表等起著非常重要的作用。 在上式中, 若 ，則 ，即這樣的狀態(tài)是不存在的.著名的Pauli不相容原理： 在上式中, 若 對于玻色子體系，處于同

16、一量子態(tài)的粒子數(shù)目沒有限制，在一般情況下，由于玻色子體系的各個粒子具有不同的動量它們不能處于完全相同的量子態(tài)。但在極低的溫度下，由于體系的各個粒子的動量都趨于零，體系的大量粒子可以處于完全相同的量子態(tài)，這種現(xiàn)象叫做玻色-愛因斯坦凝聚。玻色愛因斯坦凝聚是玻色子原子在冷卻到接近絕對零度所呈現(xiàn)出的一種氣態(tài)的、超流性的物質(zhì)狀態(tài)（物態(tài)）。1995年，麻省理工學院的沃夫凱特利與科羅拉多大學鮑爾德分校的埃里克康奈爾和卡爾威曼使用氣態(tài)的銣原子在170 nK的低溫下首次獲得了玻色-愛因斯坦凝聚。在這種狀態(tài)下，幾乎全部原子都聚集到能量最低的量子態(tài)，形成一個宏觀的量子狀態(tài)。 對于玻色子體系，處于同一量子態(tài)的粒子數(shù)目

17、沒有限第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件這就是兩全同粒子波函數(shù)交換反對稱時在空間相對距離的幾率分布，見下圖。 這就是兩全同粒子波函數(shù)交換反對稱時在空間相對距離的幾率分布，第4章力學量隨時間的演化和對稱性課件注意：全同粒子相對距離的幾率分布與波函數(shù)的交換對稱性密切相關(guān)。這是可觀測效應(yīng)，尤其在電子-電子散射及介子-介子散射中，這種全同性效應(yīng)可觀測到。注意：全同粒子相對距離的幾率分布與波函數(shù)的交換對稱性密切相關(guān) 先考慮三個無相互作用全同F(xiàn)ermi 子組成的體系. 設(shè)三個粒子處于三個不同的單粒

18、子態(tài) , ,和 , 則反對稱波函數(shù)可表示為4.5.3 N個全同F(xiàn)ermi子組成的體系 先考慮三個無相互作用全同F(xiàn)ermi 子組成的體其中稱為反對稱化算符.其中稱為反對稱化算符. 類似可以推廣到N個全同F(xiàn)ermi子組成的體系.設(shè)N個Fermi子分別處于 態(tài)下，則反對稱波函數(shù)可如下構(gòu)成 類似可以推廣到N個全同F(xiàn)ermi子組成的體系. P 代表N個粒子的一個置換 ( permutation) . N 個粒子分別排列在N個單粒子態(tài)上 , 共有N！個置換（包括恒等變換 I ）。在上式中稱為反對稱化算符. 從標準排列 經(jīng)過各種可能的置換P，得到 一共得出N！項，即行列式展開后得出的N! 項. P 代表N個粒子的一個置換 ( permutati Bose 子不受Pauli原理限制，可以有任意數(shù)目的Bose子處于相同的單粒子態(tài). 設(shè)有 個Bose子處于 態(tài)上 ， ，這些 中，有些可以為0，有些可以大于1.此時，對稱的多粒子波函數(shù)可以表示成 4.5.4 N個全同Bose子組成的體系 Bose 子不受Pauli原理限制，可以有任注意： 這里的P是指那些只對處于不同單粒子態(tài)上的粒子進行對換而構(gòu)成的置換，因為只有這樣，式（13）的求和中的各項才彼此正