1、7.5正態分布7.5正態分布課標要求1.通過誤差模型,了解服從正態分布的隨機變量.通過具體實例,借助頻率直方圖的幾何直觀,了解正態分布的特征.2.了解正態分布的均值、方差及其含義.備考指導正態分布在高考中一般以選擇題、填空題的形式進行考查,難度不大.縱觀近幾年的高考趨勢,對概率的要求有所提高,正態分布知識有可能出現在概率解答題中的某一環節,尤其對于正態分布的3原則要引起重視.本節常利用對稱性、間接法進行概率求解,素養方面要加強邏輯推理、直觀想象和數學建模的培養.課標要求1.通過誤差模型,了解服從正態分布的隨機變量.通過具【知識篩查】 1.正態密度函數及其圖象(1)正態密度函數的解析式為 ,xR

2、,其中R,0為參數.(2)正態密度函數對應的圖象稱為正態密度曲線,簡稱正態曲線.2.正態分布若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x),則稱隨機變量X服從正態分布,記為XN(,2).特別地,當=0,=1時,稱隨機變量X服從標準正態分布.問題思考1若隨機變量XN(,2),則參數和的意義是什么?和分別為隨機變量X的均值和標準差. 【知識篩查】 1.正態密度函數及其圖象問題思考1和分別為3.正態曲線的特點(1)曲線在x軸的上方,曲線與x軸圍成的面積總為1;(2)曲線是單峰的,它關于直線x=對稱;(3)曲線在x=處達到峰值(4)當|x|無限增大時,曲線無限接近x軸.3.正態曲線的特點問題思考2參數,對正

3、態曲線的位置和形狀有何影響?(1)當一定時,正態曲線的位置由確定,且隨著的變化而沿x軸平移,如圖所示.(2)當一定時,正態曲線的形狀由確定.越小,峰值越高,曲線越“瘦高”,表示隨機變量的分布越集中;越大,峰值越低,曲線越“矮胖”,表示隨機變量的分布越分散,如圖所示.圖 圖問題思考2(1)當一定時,正態曲線的位置由確定,且隨著4.3原則假設XN(,2),可以證明:對給定的kN*,P(-kX+k)是一個只與k有關的定值.特別地,P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3.在實際應用中,通常認為服從于正態分布N(,2)的隨機變量X只取-3,+3中的值,

4、這在統計學中稱為3原則.4.3原則【知識鞏固】 1.下列說法正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)隨機變量X服從正態分布,通常用XN(,2)表示,其中參數和2分別表示正態分布的均值和方差.()(2)正態曲線是單峰的,其與x軸圍成的面積隨參數,的變化而變化.()(3)正態曲線可以關于y軸對稱.()2.已知隨機變量XN(2,2),且P(X4)=0.8,則P(0X2)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2C由題意可知P(X2)=0.5,P(0X2)=P(2X4)=P(X4)-P(X2)=0.3.故選C.【知識鞏固】 1.下列說法正確的畫“”,錯誤的畫“”.3.(多選)已知甲、乙兩類水果的質量(單

5、位:kg)分別服從正態分布 ,其正態曲線如圖所示,則下列說法正確的是()A.乙類水果的平均質量為0.8 kgB.甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均質量左右C.12ABC3.(多選)已知甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正因為甲的圖象關于直線x=0.4對稱,乙的圖象關于直線x=0.8對稱,所以1=0.4,2=0.8,故A正確,C正確.因為甲的圖象比乙的圖象更“瘦高”,所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均質量左右,12,故B正確,D錯誤.因為甲的圖象關于直線x=0.4對稱,乙的圖象關于直線x=0.4.已知隨機變量XN(0,1),則X在區間(-,-2)內取值的概率約為. (

6、精確到千分位)5.設某城市居民私家車的平均每月汽油費用為隨機變量X(單位:元),經統計,XN(520,14 400),從該城市私家車中隨機選取容量為10 000的樣本,則平均每月汽油費用在區間(400,640)內的私家車約有輛.0.0236 827因為XN(520,14 400),所以=520,=120,所以P(400X640)=P(520-120X520+120)0.682 7.所以平均每月汽油費用在區間(400,640)內的私家車約有10 0000.682 7=6 827(輛).4.已知隨機變量XN(0,1),則X在區間(-,-2)內能力形成點1正態曲線及其性質例1(多選)已知三個正態密度

7、函數 ,xR(i=1,2,3)的圖象如圖所示,則下列結論正確的是()A.1=2=3B.1=23D.12=3BD觀察圖象可知12=3,1=23. 能力形成點1正態曲線及其性質例1(多選)已知三個正態密度函解題心得對于正態曲線,首先應抓住圖象的兩個實質性特點:一是對稱軸為直線x=,二是峰值為 .這兩點確定以后,相應參數,便確定了,然后根據參數對圖象影響的規律進行判斷.解題心得對于正態曲線,首先應抓住圖象的兩個實質性特點:一是對對點訓練1設隨機變量 ,X,Y的密度曲線如圖所示,則有()A.12,12B.12C.12,12,12A根據正態曲線的特點,觀察題中圖象可知12,12. 對點訓練1A根據正態曲

8、線的特點,觀察題中圖象可知15).能力形成點2利用正態曲線的對稱性求概率例2設隨機變量XN拓展延伸例2條件不變,若P(Xc+1)=P(Xc+1)=P(Xc-1),即c=1. 拓展延伸解 因為XN(1,22),即c=1. 解題心得利用正態分布求概率的兩種方法(1)對稱法:已知XN(,2),因為正態曲線關于直線x=對稱,所以X的取值在關于直線x=對稱的區間上的概率相等.(2)3法:已知XN(,2),則P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5, P(-3X+3)0.997 3.解題心得利用正態分布求概率的兩種方法對點訓練2已知隨機變量XN(1,2),若P(-1X3)=()A對點訓練

9、2A正態分布的實際應用 典例1(多選)已知在某市的一次學情檢測中,學生的數學成績X服從正態分布N(100,100),其中90分為及格線,120分為優秀線,則下列說法正確的是()附:若隨機變量X服從正態分布N(,2),則P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3.A.該市學生數學成績的均值為100B.該市學生數學成績的標準差為100C.該市學生數學成績的及格率超過0.8D.該市學生數學成績不及格的人數和優秀的人數大致相等答案:AC正態分布的實際應用 典例1(多選)已知在某市的一次學情檢測解析:依題意,=100,=10,故該市學生數學成績的均值為10

10、0,標準差為10,故A正確,B錯誤.因為XN(100,100),所以P(X100)=P(X100)=0.5,P(90X110)0.682 7,P(80X120)0.954 5,所以該市學生數學成績不及格的人數比優秀的人數多很多,故D錯誤.解析:依題意,=100,=10,所以該市學生數學成績不及典例2有一種精密零件,其尺寸X(單位:mm)服從正態分布N(20,4).若這批零件共有5 000個,試求:(1)這批零件中尺寸在1822 mm的零件所占的百分比;(2)若規定尺寸在2426 mm的零件不合格,則這批零件中不合格的零件大約有多少個?解:(1)因為XN(20,4),所以=20,=2,所以P(18X22)0.682 7,所以這批零件中尺寸在1822 mm的零件所占的百分比約為68.27%.(2)因為P(16X24)0.954 5,P(14X26)0.997 3,所以P(24X26)= P(14X26)-P(16X24)0.021 4.所以這批零件中尺寸在2426 mm的零件大