1、經濟數學模型2022/9/30經濟數學模型經濟數學模型2022/9/28經濟數學模型2. 參考書1. 宏觀經濟數量分析方法與模型, 劉起運 主編,高教 2. 經濟數學模型, 洪毅 等 編著 華南理工大學3. 經濟學中的分析方法, 高山晟(美) 著, 劉振亞 譯,中國人大4. 經濟數學方法與模型，安吉爾.德.拉.弗恩特 著, 朱保華 錢曉明 譯 上海財大5. 經濟學的結構-數量分析方法, Eugene Silberberg, Wing Suen 著, 高峰 等譯, 清華經濟數學模型2. 參考書經濟數學模型第一部分經濟數學模型的概念及建模方法經濟數學模型第一部分經濟數學模型的概念及建模方法經濟數學

2、模型1.1數學模型和模型的建立一、模型和數學模型1. 模型：人們為了深刻地認識和理解原型問題而對其所作的一種抽象和升華，其目的是通過對模型的分析、研究加深對原型問題的理解和認識。2. 數學模型：通過抽象和簡化，使用數學語言對實際現象進行的一個近似的描述，以便于人們更加深入地認識所研究的對象。經濟數學模型1.1數學模型和模型的建立一、模型和數學模型1. 模型：人 對實際問題的分析、歸納，做出一些必要且合理的假設條件，將實際問題中的一些指標進行量化；(2) 給出描述問題的數學提法；(3) 利用數學理論和方法或計算機進行分析, 得出結論；(4) 利用現實問題驗證結論的合理性，并作修正.3. 需要解決

3、幾個問題：經濟數學模型 對實際問題的分析、歸納，做出一些必要且合理的假設條件，4.數學模型建模的步驟模型準備模型假設模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型改進經濟數學模型4.數學模型建模的步驟模型準備模型假設模型建立模型求解模型分二、建立數學模型的一個實例1、問題的提出： 設市場上有n 種資產Si( i=1,2,n) 可供投資者選擇，某公司有數額為 M 的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資。公司財務人員對這 n 種資產進行了評估，估計出在這一時期內購買資產 Si 的平均收益率為 ri, 且預測出購買資產Si 的風險損失為qi。 經濟數學模型二、建立數學模型的一個實例1、問題的提出： 設

4、 考慮到投資越分散，總的風險越小。公司決定在運用這批資金購買若干資產時，總體風險用在資產Si中所投資產的最大風險來度量。 購買資產Si 的需要支付交易費，其費率為pi, 并且當購買額不超過u i時, 交易費按購買額 ui 計算。設同期銀行存款利率是r0=5%, 且存取款時既無交易費也無風險。經濟數學模型 考慮到投資越分散，總的風險越小。公經濟數學模2. 對問題的定位：最優化問題 需要確定購買資產Si 的具體投資額 xi ,即建立投資組合，實現兩個目標：(1) 凈收益最大化；(2) 整體風險最小化；經濟數學模型2. 對問題的定位：最優化問題 需要確定購3. 建模準備：(1)決策變量： 資產Si

5、( i =0,1,n)的投入量xi , i =0,1, n, 其中S0 表示將資產存入銀行。(2)投資收益： 購買資產Si (i=0,1,2, n)的收益率為 ri, 因此投資 xi 的收益率為 rixi , 除去交易費用ci(xi)，則投資 xi 的凈收益為 Ri=rixi - ci(xi)。從而，總投資的總收益為 R(x)=Ri(xi)。 用數學符號和公式表述決策變量、構造目標函數和確定約束條件經濟數學模型3. 建模準備：(1)決策變量： 資產Si (3)投資風險： 購買資產Si ( i=0,1,2, n ) 的風險損失為qi , 因此投資xi 的收益率為qi xi, 其總體風險用Si的風

6、險，即 Qi(xi)= qi xi最大的一個來度量。從而總投資的風險損失為 Q (x)= maxQi(xi)。經濟數學模型(3)投資風險： 購買資產Si ( i=0,1,(4) 約束條件：經濟數學模型(4) 約束條件：經濟數學模型b. 記 x=(x0, x1, x2, , xn)T, 1=(1, 1, 1, ,1)T, c=(c0, c1, c2, , cn)T, r=(r0, r1, r2, ,rn )T,總凈收益R(x), 整體風險Q(x)和總資金F(x)各為經濟數學模型b. 記 x=(x0, x1, x2, , xn)T, 4. 兩目標優化模型經濟數學模型4. 兩目標優化模型經濟數學模型

7、5. 單目標優化模型求解模型令模型1求最大化收益。給定風險水平給定風險水平經濟數學模型5. 單目標優化模型求解模型令模型1求最大化收益。給定風險水求解模型模型2求最小化風險。給定盈利水平令經濟數學模型求解模型模型2求最小化風險。給定盈利水平令經濟數學模型模型3 給定投資者對風險-收益的相對偏好參數0，求解模型經濟數學模型模型3 給定投資者對風險-收益的相對偏好經濟數學模型6. 簡化交易費用下的模型uipiuixici0(1) 交易費用函數為經濟數學模型6. 簡化交易費用下的模型uipiuixici0(1) 交 由于固定費用pi ui 的存在在，使得前面的模型是非線性模型，很難求解模型。表示投資

8、于Si 的資金比例。在實際計算中，常假設M=1，則 當M 很大而 ui 相對較小時，可略去 pi ui 的作用，即ci(xi)=pixi, 則資金約束條件變為：經濟數學模型 由于固定費用pi ui 的存在在，使得前面表示投資于(3) 簡化交易費用下的模型：LP1：經濟數學模型(3) 簡化交易費用下的模型：LP1：經濟數學模型LP2：經濟數學模型LP2：經濟數學模型LP3：經濟數學模型LP3：經濟數學模型1.2 優化模型的求解方法(1) 多元函數的無(有)條件極值；(2)* 線性(或非線性)規劃方法；經濟數學模型1.2 優化模型的求解方法(1) 多元函數的無(有)條件1.2.1 多元函數的極值

9、(一) 多元函數的極值 設 n 元函數 f (x1, x2, xn) 具有3 階連續偏導數，記經濟數學模型1.2.1 多元函數的極值 (一) 多元函數的極值經濟數將函數 f (x1, x2, xn)在點 =(a1, a2, an)T處展開，有其中R 是余項, 包含 (xi -ai) 的 3 次以上的項。經濟數學模型將函數 f (x1, x2, xn)在點 =(a1, 當xi 在 ai 附近變化時，R是高階無窮小。若=(a1, a2, an)T 是極大值點時，有因此，有經濟數學模型 當xi 在 ai 附近變化時，R是高階無窮小。若=(a 由于 f (a1, a2, an) 是極大值,當X 在 a

10、 附近變化時，省略高階無窮小R ，則有記經濟數學模型 由于 f (a1, a2, an) 是極則(1.6)變為 由于yi = xi ai 在 0 附近變化時(1.7)式均成立，所以YTHY 0 對所有Y 均成立，即H是負定矩陣，或者說 H 是正定矩陣。注：矩陣H 的正定性的判斷方法(1)矩陣對應的二次型大于0；(2) 矩陣H 的順序主子式全大于0；(3) 矩陣H 的特征值全大于0。經濟數學模型則(1.6)變為 由于yi = xi ai (二) 多元函數極值的判斷定理1.1 設n元函數 f (x1, x2, xn) 具有3階連續偏導數，且在點X=(a1, a2, an)T處鄰域內有定義，|H|0

11、，則函數 f (x1, x2, xn) 在點X=(a1, a2, an)T處達到極大值的充分必要條件是且是負定矩陣(海森矩陣)。經濟數學模型(二) 多元函數極值的判斷定理1.1 設n元函數 f 定理1.2 設n元函數 f (x1, x2, xn) 具有3階連續偏導數，且在點X = (a1, a2, an)T處鄰域內有定義，|H|0，則函數 f (x1, x2, xn) 在點X=(a1, a2, an)T處達到極小值的充分必要條件是且是正定矩陣(海森矩陣)。經濟數學模型定理1.2 設n元函數 f (x1, x2, xn)1.2.3 二次多項式函數的極值 函數 f (x1, x2, xn)是二次多

12、項式時，設矩陣 AT=A，記注： 當B = 0，且C = 0 時，f (X)即是線性代數中的二次型。經濟數學模型1.2.3 二次多項式函數的極值 函數 f推論1.1 設函數 f (X)=XTAX+BX+C 是一個二次多項式，且 AT=A 。則函數 f (X) 在點X=(a1, a2, an)T 處達到極大值的充分必要條件是且矩陣A是負定矩陣。經濟數學模型推論1.1 設函數 f (X)=XTAX+BX+C 是推論1.2 設函數 f (X)=XTAX+BX+C是一個二次多項式，且 AT=A 。則函數 f (X) 在點X=(a1, a2, an)T處達到極小值的充分必要條件是且矩陣A是正定矩陣。經濟

13、數學模型推論1.2 設函數 f (X)=XTAX+BX+C是一個1.2.2 多元函數條件極值 Lagrange multiplier經濟數學模型1.2.2 多元函數條件極值 Lagra在一定的約束條件下求解問題的最優化解。 設n 元函數 u = f (x1, x2, , xn ) 具有3 階連續偏導數，且有m 個約束條件：(一)約束條件問題經濟數學模型在一定的約束條件下求解問題的最優化解。(一)約束條件問題經濟(1) 函數 u = f (x1, x2, xn) 的自變量的變化范圍受到限制，必須滿足m個約束條件。(2) 要求在這 m 個約束條件下求解函數 u = f (x1, x2, xn) 的

14、極大值或極小值函數 u 的條件極值。說明：經濟數學模型說明：經濟數學模型(二) Lagrange multiplier 函數 引入 m 個拉格朗日乘數 1, 2, ,m , 構造新的函數 拉格朗日乘子函數：經濟數學模型(二) Lagrange multiplier 函數 (三) 條件極值存在的必要條件經濟數學模型(三) 條件極值存在的必要條件經濟數學模型(四)應用實例(一) 一束光線由空氣中A點經過水面折射后到達水中B點(如圖示)。已知光在空氣和水中傳播的速度分別是v1 和v2 , 光線在介質中總是沿著耗時最少的路徑傳播, 試確定光線的路徑。OQh2h1PAB12x空氣水經濟數學模型(四)應用

15、實例(一) 一束光線由空氣中A點經過水面折射后到解：設點 A 到水面的垂直距離為 AO= h1, 點B 到水面的垂直距離為BQ= h2, x 軸沿水面過點O、Q, OQ = l。 根據條件可知光線在同一種介質中傳播時是按直線方式傳播的，因而光線從 A 點到B 點應該經過折射點P, 其路徑為折線 APB，所需時間為：經濟數學模型解：設點 A 到水面的垂直距離為 AO= h1, 點經濟數學 下面確定在 x何值時，T(x)在0, l上取得最小值。當 x0, l 時，由于經濟數學模型 下面確定在 x何值時，T(x)在0, l上又T (x)在0, l上連續，T (x)在 x(0, l ) 上有唯一的零點

16、 x0 ，且x0是T (x)在 (0,l )內唯一的極小值點。設 x0滿足 T (x)=0, 即 與 1 聯系與 2 聯系經濟數學模型又T (x)在0, l上連續，T (x)在 x(因此， 即當點 P 滿足上述條件時，APB即是光線的傳播途徑。記經濟數學模型因此， 即當點 P 滿足上述條件時，APB即是(四)應用實例(二) 設某電視機廠生產一臺電視機的成本為c, 每臺電視機的銷售價格為 p, 銷售量為 x。假設該廠的生產處于平衡狀態 ，即電視機的生產量等于銷售量。根據市場預測，銷售量 x與銷售價格 p 之間有如下關系： 其中M 為市場最大需求量，a 是價格系數。同時，生產部門根據對生產環節的分

17、析，對每臺電視機的生產成本 c 有如下測算：經濟數學模型(四)應用實例(二) 設某電視機廠生產一臺電視機的成本為c,其中c0 是只生產一臺電視機的成本，k 是規模系數。根據上述條件，應該如何確定電視機的銷售價格 p, 才能使該廠獲得最大利潤？ 分析：在生產和銷售商品過程中，商品銷售量、生產成本與銷售價格 是相互影響的。廠商只有選擇合理的銷售價格最優價格，才能獲得最大利潤。經濟數學模型其中c0 是只生產一臺電視機的成本，k 是規 解：設廠家獲得的利潤為u, 每臺電視機的生產成本為c,銷售價格為p,銷售量為x, 則利潤函數為 u = (p - c) x (3)問題變化為在條件(1)(2)下求解利潤

18、函數的最大值。 構造拉格朗日函數經濟數學模型解：設廠家獲得的利潤為u, 每臺電視機的生經濟數學模型令經濟數學模型令經濟數學模型由(8)(9)，可得由(8)(6)，可得由(7)，可得由(10)(11)(12)及(5)，可得經濟數學模型由(8)(9)，可得由(8)(6)，可得由(7)，可得由(1最優銷售價格為說明：在最優銷售價格p*的表達式中含有待定的規模參數k、價格系數a。為了確定電視機的最優銷售價格，必須預先給出這些參數。經濟數學模型最優銷售價格為說明：經濟數學模型復習：微積分的相關內容1. 多元函數的偏導數的求法；2. 多元函數的無條件極值的求法；3. 多元函數的條件極值的求法；經濟數學模型

19、復習：微積分的相關內容1. 多元函數的偏導數的求法；經濟數1.2 優化模型的求解方法(1) 一元函數的無(有)條件極值；(2) 多元函數的無(有)條件極值；(3)* 線性(或非線性)規劃方法；經濟數學模型1.2 優化模型的求解方法(1) 一元函數的無(有)條件定理 1 (極值第一判別法)且在空心鄰域內有導數,(1) “左正右負” ,(2) “左負右正” ,(1) 一元函數的極值與最大(小)值經濟數學模型定理 1 (極值第一判別法)且在空心鄰域內有導數,(1) “定理2 (極值第二判別法)二階導數 , 且則 在點 取極大值 ;則 在點 取極小值 .證: (1)存在由第一判別法知(2) 類似可證

20、.經濟數學模型定理2 (極值第二判別法)二階導數 , 且則 二、最大值與最小值問題 則其最值只能在極值點或端點處達到 .求函數最值的方法:(1) 求 在 內的極值可疑點(2) 最大值最小值經濟數學模型二、最大值與最小值問題 則其最值只能在極值點或端點處達到 .特別: 當 在 內只有一個極值可疑點時, 當 在 上單調時,最值必在端點處達到.若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應用問題 , 有時可根據實際意義判別求出的可疑點是否為最大 值點或最小值點 .(小)經濟數學模型特別: 當 在 內只有一個例1. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20AC AB

21、,要在 AB 線上選定一點 D 向工廠修一已知鐵路與公路每公里貨運價之比為 3:5 ,為問D 點應如何選取? 使貨物從B 運到工廠C 的運費最省,20km ,條公路, 經濟數學模型例1. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C ( k 為某一常數 )解: 設則令得 又所以 為唯一的極小點 ,故 AD =15 km 時運費最省 .總運費從而為最小點 ,經濟數學模型( k 為某一常數 )解: 設則令得 又所以 例2. 一束光線由空氣中A點經過水面折射后到達水中B點(如圖示)。已知光在空氣和水中傳播的速度分別是v1 和v2 , 光線在介質中總是沿著耗時最少的路徑傳播, 試確定光線的路徑。O

22、Qh2h1PAB12x空氣水經濟數學模型 例2. 一束光線由空氣中A點經過水面折射后到達水中B點(如解：設點 A 到水面的垂直距離為 AO= h1, 點B 到水面的垂直距離為BQ= h2, x 軸沿水面過點O、Q, OQ = l。 根據條件可知光線在同一種介質中傳播時是按直線方式傳播的，因而光線從 A 點到B 點應該經過折射點P, 其路徑為折線 APB，所需時間為：經濟數學模型解：設點 A 到水面的垂直距離為 AO= h1, 點經濟數學 下面確定在 x何值時，T(x)在0, l上取得最小值。當 x0, l 時，由于經濟數學模型 下面確定在 x何值時，T(x)在0, l上又T (x)在0, l上

23、連續，T (x)在 x(0, l ) 上有唯一的零點 x0 ，且x0是T (x)在 (0,l )內唯一的極小值點。設 x0滿足 T (x)=0, 即 與 1 聯系與 2 聯系經濟數學模型又T (x)在0, l上連續，T (x)在 x(因此， 即當點 P 滿足上述條件時，APB即是光線的傳播途徑。記經濟數學模型因此， 即當點 P 滿足上述條件時，APB即是 (二) 多元函數的極值 設 n 元函數 f (x1, x2, xn) 具有3 階連續偏導數，記經濟數學模型 (二) 多元函數的極值經濟數學模型將函數 f (x1, x2, xn)在點 =(a1, a2, an)T處展開，有其中R 是余項, 包

24、含 (xi -ai) 的 3 次以上的項。經濟數學模型將函數 f (x1, x2, xn)在點 =(a1, 當xi 在 ai 附近變化時，R是高階無窮小。若=(a1, a2, an)T 是極大值點時，有因此，有經濟數學模型 當xi 在 ai 附近變化時，R是高階無窮小。若=(a 由于 f (a1, a2, an) 是極大值,當X 在 a 附近變化時，省略高階無窮小R ，則有記經濟數學模型 由于 f (a1, a2, an) 是極則(1.6)變為 由于yi = xi ai 在 0 附近變化時(1.7)式均成立，所以YTHY 0 對所有Y 均成立，即H是負定矩陣，或者說 H 是正定矩陣。矩陣H 的

25、正定性的判斷方法(1)矩陣對應的二次型大于0；(2) 矩陣H 的順序主子式全大于0；(3) 矩陣H 的特征值全大于0。經濟數學模型則(1.6)變為 由于yi = xi ai 多元函數極值的判斷定理1.1 設n元函數 f (x1, x2, xn) 具有3階連續偏導數，且在點X=(a1, a2, an)T處鄰域內有定義，|H|0,則函數 f (x1, x2, xn) 在點X=(a1, a2, an)T處達到極大值的充分必要條件是且是負定矩陣(海森矩陣)。經濟數學模型多元函數極值的判斷定理1.1 設n元函數 f (x1, 矩陣H 的正定性的判斷方法(1)矩陣對應的二次型大于0；(2) 矩陣H 的順序

26、主子式全大于0；(3) 矩陣H 的特征值全大于0。經濟數學模型矩陣H 的正定性的判斷方法(1)矩陣對應的二次型大于0；(2定理1.2 設n元函數 f (x1, x2, xn) 具有3階連續偏導數, 且在點X = (a1, a2, an)T處鄰域內有定義, |H|0,則函數 f (x1, x2, xn) 在點X=(a1, a2, an)T處達到極小值的充分必要條件是且是正定矩陣(海森矩陣)。經濟數學模型定理1.2 設n元函數 f (x1, x2, xn)1.2.3 二次多項式函數的極值 函數 f (x1, x2, xn)是二次多項式時，設矩陣 AT=A，記注： 當B = 0，且C = 0 時，f

27、 (X)即是線性代數中的二次型。經濟數學模型1.2.3 二次多項式函數的極值 函數 f推論1.1 設函數 f (X)=XTAX+BX+C 是一個二次多項式，且 AT=A 。則函數 f (X) 在點X=(a1, a2, an)T 處達到極大值的充分必要條件是且矩陣A是負定矩陣。經濟數學模型推論1.1 設函數 f (X)=XTAX+BX+C 是推論1.2 設函數 f (X)=XTAX+BX+C是一個二次多項式, 且AT=A。則函數 f (X) 在點X=(a1, a2, an)T處達到極小值的充分必要條件是且矩陣A是正定矩陣。經濟數學模型推論1.2 設函數 f (X)=XTAX+BX+C是一個多元函數條件極值 Lagrange multiplier經濟數學模型多元函數條件極值 Lagrange mult 在一定的約束條件下求解問題的最優化解。 設n 元函數 u = f (x1, x2, , xn ) 具有3 階連續偏導數，且有m 個約束條件：(一)約束條件問題經濟數學模型 在一定的約束條件下求解問題的最優化解。(一)約束條件問題經(1) 函數 u = f (x1, x2, xn) 的自變量的變化范圍受到限制，必須滿足m個約束條件。(2) 要求在這 m 個約束條件下求解函數 u = f (x1, x2, xn) 的極大值或極小值函數 u 的條件