1、PAGE PAGE 82023年福建省高一數學競賽試題參考答案及評分標準考試時間：5月10日上午8：3011：00一、選擇題每題6分，共36分1.集合的子集有 A4個 B8個 C16個 D32個【答案】 C 【解答】由，知，結合，得。的子集有個。2假設直線與直線：關于直線對稱，那么與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 A1 B CD【答案】 D 【解答】在直線：取點，那么關于直線的對稱點在直線上。又直線與直線的交點在直線。過和兩點，其方程為。與坐標軸交于和兩點，與坐標軸圍成的三角形的面積為。3給出以下四個判斷：1假設，為異面直線，那么過空間任意一點，總可以找到直線與，都相交。2對平面，和直線，假設，

2、那么。3對平面，和直線，假設，那么。4對直線，和平面，假設，且過平面內一點，那么。其中正確的判斷有 A1個 B2個 C3個 D4個【答案】 B 【解答】3、4正確；1、2不正確。對于1，設，過和的平面為，那么當點在平面內，且不在直線上時，找不到直線同時與，都相交。4如圖，正方體，為中點，那么二面角的正切值為 A1 B C D第4題第4題 圖【解答】如圖，作于，作于，連結。由為正方體，知，。又。因此，。為面角的平面角。設正方體棱長為，那么，。第4題答題圖第4題答題圖圖5為等腰直角三角形，為中點，動點滿足條件：，那么線段長的最小值為 A B2CD4【答案】B【解答】以所在直線為軸，為坐標原點，建立

3、平面直角坐標系。那么、。設，由，知。，即，化簡，得。時，有最小值2。此時，。6記，那么，的大小關系為 A B C D必要時，可以利用函數在上為增函數，在上為減函數【答案】 A 【解答】，。設，由在上為增函數，在上為減函數，得，于是。，即，于是，。又顯然，。于是，。二、填空題每題6分，共36分7為奇函數，為偶函數，且，那么?！敬鸢浮?【解答】依題意，有，。由為奇函數，為偶函數，得。，得，。8直線：的傾斜角為，假設，那么的取值范圍為?！敬鸢浮?【解答】當時，；當時，解得；當時，解得。的取值范圍為。9如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，那么與平面所成角的正弦值為。第9題第9題 圖【解答】如圖，作于，那么

4、就是與平面所成的角。，。設，那么。又，。第9題答題圖第9題答題圖或求出外接圓半徑后，再求解。10函數的最小值為?！敬鸢浮?【解答】由，知，或。的定義域為。和在上都是減函數，在上都是增函數。在上是減函數，在上是增函數。的最小值是與中較小者。，。的最小值是。11函數，且在區間上的最小值為，那么在區間上的最大值為。【答案】 10【解答】設，那么在上為增函數。時，在上為增函數。，。時，在上為增函數。，。12假設實數，滿足條件：，那么的最小值為?！敬鸢浮俊窘獯稹坑蓷l件知，因此，。由對稱性，不妨設，那么。設，代入，消并整理，得。由的判別式，得或。由知，。又時，化為，得，此時，符合。的最小值為。因此，的最小

5、值為。三、解答題第13、14、15、16題每題16分，第17題14分，總分值78分13在中，點，且它的內切圓的方程為，求點的坐標。【答案】易知直線于圓相切，直線、的斜率存在。設直線的方程為，即。由直線與圓相切，知，解得。 直線的方程為。 8分設直線的方程為，即。由直線與圓相切，知，解得。直線的方程為。 12分由，解得。 點的坐標為。 16分14，且對任意實數，恒成立。1求證：；2假設當時，不等式對滿足條件的，恒成立，求的最小值?！敬鸢浮? 對任意實數，恒成立， 對任意實數，即恒成立。，即。 4分，。 8分2由以及1知，。恒成立，等價于恒成立。 12分設，那么。由，知的取值范圍為。，的最小值為。

6、 16分15如圖，、分別是的中線和高線，、是外接圓的切線，點是與圓的交點。1求證：；2求證：平分?！敬鸢浮?由為圓切線，知。、是圓的切線，為中點，、三點共線，且。第15題 圖，第15題 圖。 4分，為中點，。于是，。又。第15題答題圖。 第15題答題圖2延長交圓于點，連結，。由，知.，。 12分又為中點，。，。平分。 16分2或解：連結、。由，知。又由切割線定理知，第15題答題第15題答題圖、四點共圓。 12分。又于，因此，。平分。 16分16正整數，為的三邊長，且，求的最小值。其中表示的小數局部，即表示不超過的最大整數。【答案】由，知即，被15除的余數相同。 4分，。由2與15互質知， 8分經驗算，可知滿足的最小正整數。，都是4的倍數。 12分設，為正整數，且。，構成三角形三邊長，。經驗證，5，可以為三角形的三邊長。的最小值為27。此時，。 16分17集合。集合是的子集，且在的任意三個元素中，總可以找到兩個元素和，使得是的整數倍。求的最大值。其中表示集合的元素的個數?！敬鸢浮渴紫燃戏弦蟆４藭r，。5分設，滿足：在的任意三個元素