1、量子力學自測題3一、 簡答題(每小題5分，共40分)一粒子的波函數為wG)=wG,y,Z)，寫出粒子位于x x + dx間的幾率。粒子在一維5 勢阱V(x) = -y8 (x) (Y 0)中運動，波函數為w (x)，寫出w(x)的躍變條件。量子力學中，體系的任意態W (x)可用一組力學量完全集的共同本征態W n(x)展開:W (x) = Zc W (x)，寫出展開式系數c的表達式。n給出如下對易關系:Z , P = ?L 2 , s L ?5. 一個電子運動的旋量波函數為5. 一個電子運動的旋量波函數為W(,s)，寫出表示電子自旋向上、位置在r處的幾率密度表達式，以及表示電子自旋向下的幾率的表

2、達式。、何謂幾率流密度？寫出幾率流密度j(r,t)的表達式。散射問題中，高能粒子散射和低能粒子散射分別宜采用什么方法處理？一維運動中，哈密頓量H = P- + V(x)，求L , H = ? p , H = ?2m二、 計算題(共60分。911題各10分；12、13題各15分)在時間t = 0時，一個線性諧振子處于用下列歸一化的波函數所描寫的狀態:V (x,0) = u (x) +u (x) + c u (x)，5 0 E 2 23 3式中七（X）是振子的第n個本征函數。(1)(2)(1)(2)(3)寫出在r時刻的波函數；10.）為L的本征態，本征值為n方。求在LZ的本征態I n）下，Lx和L

3、y的平均值。11.氫原子處于狀態 wG,七）=R Y2111T R 21 10.）為L的本征態，本征值為n方。求在LZ的本征態I n）下，Lx和Ly的平均值。11.氫原子處于狀態 wG,七）=R Y2111T R 21 Y10(1)求軌道角動量的乙分量L的平均值;(2)求自旋角動量的Z分量七的平均值;(3)求總磁矩M = -2-L-fr的分量叩勺平均值。12. 、L分別為電子的自旋和軌道角動量，J = s + L為電子的總角動量。證明:J ,寧-L=0； J2 , J儀=0，a= x, y, z。13.質量為R的粒子受微擾后，在一維勢場中運動，兀x一A cos ，0 x aax a8,（1）題

4、中應當把什么看作微擾勢？（2）寫出未受微擾時的能級和波函數;兀2力2用微擾論計算基態能量到二級近似，其中A = 10。2量子力學自測題3參考答案三、簡答題(每小題5分，共40分)1. 一粒子的波函數為wG)=wG,y,Z),寫出粒子位于x x + dx間的幾率。解： dx J dy J dzk (r)|2。-s -s2.粒子在一維5 勢阱V(x) = -yS (x)( 0)中運動，波函數為k (x)，寫出k(x)的躍變條件。解:(0D 一(0-)= 一料(0)。3.量子力學中，體系的任意態k (x)可用一組力學量完全集的共同本征態k n(x)展開: k (x) = ck n (x)，nn解：c

5、n=k n(n解：cn=k n(x)，k (x)= J k *(x)k (x)dx。n解： L , p = ihL, pL?Ij . , a L ?L, p = 0L , L = -ihLr y * x z y 心,a = 2q()，k( r ,h/2)5. 一個電子運動的旋量波函數為k (r,sz)=kG -h/2)j，寫出表示電子自旋向 上、位置在r處的幾率密度表達式，以及表示電子自旋向下的幾率的表達式。解：k( r,h:2)2,J k( r,-h2)2 d3r、何謂幾率流密度？寫出幾率流密度j頃,t）的表達式。解：單位時間內通過與粒子前進方向垂直的單位面積的幾率稱為幾率流密度。j（r,t

6、）= 一也（/ *Vv -仰甲 *） 2m散射問題中，高能粒子散射和低能粒子散射分別宜采用什么方法處理？解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法處理；低能粒子散射宜采用分波法處理。8. 一維運動中，哈密頓量H =蔡+ V（x），求L , H = ? Ip , H = 2m TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark95 o Current Document 解：lx , H =業，p , H =-ih dV（x） mdx二、計算題（共60分。911題各10分；12、13題各15分）9.在時間t = 0時，一個線性諧振子處于用下列歸一化的波函數所描寫的狀態:一、了，、 :T

7、,、,、W (x,0) =u (x) + u (x) + c u (x)， HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 5 02 2-式中Un （x）是振子的第n個本征函數。（1）試求c3（1）試求c3的數值；（2）寫出在t時刻的波函數；（3）在t = 0時振子能量的平均值是多少?（IT2q 5v 7t = 1秒時呢?解：（1）2+ c2 +1,得T c = C 弋 10。:T7+，一:T7+，一u (x)e-i2T X .T .二 (2)W (x,t) = 5u 0(x)e 一 2 2 u 2(x)e 一2 ，10“3（3）在t = 0時振子能量的平均

8、值是2 5,+ -枷22+7 枷.2t = 1秒時振子能量的平均值也是1;沁。|n :：為L的本征態，本征值為n方。求在L的本征態| n :下, L和L的平均值。X y-1, t = 1秒時振子能量的平均值也是1;沁。|n :：為L的本征態，本征值為n方。求在L的本征態| n :下, L和L的平均值。X y-1, .1,解：L 3nL，L n/ = 3nL=：(n|L |n)-(n|L |n)L 0,L = 0。y10.同理，:LLo=:n|LyLnnL L n)11.氫原子處于狀態 wG,七)=21Yii解：21 Y10求軌道角動量的乙分量L的平均值;求自旋角動量的z分量七的平均值;一 e

9、一 e求總磁矩M =-2-L-章的z分量,白勺平均值。(1)(2),、2J32) e * e _(3) M = - Ls =812. s、L分別為電子的自旋和軌道角動量，J = s + L為電子的總角動量。證明:J,如 L =0； J 2, J =0， a = x, y, z。證：J , s - L = L + s , s L + s L + s L xx xxx yy zz=s L , L + s L , L + s , s L + s , s Ly xyz xz, xy yxz z,=ihs L sL + sL s L)= 0。yz zy zy yz*、同理，J , * - L = 0,

10、J , * - L = 0,從而J, * - L =0。yzJ 2, J = J 2, J + J 2,J + J 2, J xx xy xz x=J J , J + J , J J + J J , J + J , J Jyy xy xy zz xz xz=ih- J J J J + J J + J J)= 0。yz zy zy yz同理，J 2, Jy = 0, J 2, J = 0，從而J 2, J a = 0。13.質量為R的粒子受微擾后，在一維勢場4 兀xA cos a8,x a中運動。（1）（2）題中應當把什么看作微擾勢？ 寫出未受微擾時的能級和波函數;(3)用微擾論計算基態能量到二

11、級近似兀2 h 2其中A =10R a 2解：（1）應當把V（x）看作微擾勢，即=V (x)=兀xA cos a8,0 x ax a（2）未受微擾時的波函數和能級分別為2 . nKxn2兀2 h2n = 1,2,3,W（。）（x） = ： sin, n = 1,2,3,（3）未受微擾時的基態波函數和能量分別為w(0w(0)(x)1互.兀x sin ；a aE(o)=1基態能量的一級修正:E =HE =H111f 2 -.=sin2ao兀x -A cosa兀x ,2Af 一兀x 兀xdx =sin2d sin a 兀 a a竺sin3 以二0,3兀ao基態能量的二級修正:E(2)E；o）E(2)E；o）- E（o）H，n1f ：2 . n冗x , 兀x= sin - A cos a aaoA n冗x兀x= sin 2 cos -sin2 .，一sin:a兀x , dx兀x , dxaao aaa=A f sin 竺. sin 丑 d 兀