1、高考專題突破四高考中的立體幾何問題高考專題突破四考點自測課時作業題型分類深度剖析內容索引考點自測課時作業題型分類深度剖析內容索引考點自測考點自測 1.正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC中點，E為A1C1中點，則DE與平面A1B1BA的位置關系為A.相交 B.平行C.垂直相交 D.不確定 答案 解析如圖取B1C1中點為F，連接EF，DF，DE，則EFA1B1，DFB1B，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA. 2.設x、y、z是空間不同的直線或平面，對下列四種情形：x、y、z均為直線；x、y是直線，z是平面；z是直線，x、y是平面；x、y、z均為平面.其中使“xz且yzxy”為真

2、命題的是A. B. C. D.由正方體模型可知為假命題；由線面垂直的性質定理可知為真命題. 答案 解析 3.(2016成都模擬)如圖是一個幾何體的三視圖(側視圖中的弧線是半圓)，則該幾何體的表面積是A.203 B.243C.204 D.244 答案 解析根據幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個正方體和一個半圓柱的組合體，其中正方體的棱長為2，半圓柱的底面半徑為1，母線長為2，故該幾何體的表面積為4522 203. 4.(2017沈陽調研)設，是三個平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_.(把所有正

3、確的序號填上)答案解析或由線面平行的性質定理可知，正確；當b，a時，a和b在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，正確.故應填入的條件為或.4.(2017沈陽調研)設，是三個平面，a，b是兩5.如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點.若PAAC，PA6，BC8，DF5.則直線PA與平面DEF的位置關系是_；平面BDE與平面ABC的位置關系是_.(填“平行”或“垂直”)答案解析平行垂直5.如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F分別為棱PC，AC因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DEPA.又因為PA平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.因為D，E，F分別

4、為棱PC，AC，AB的中點，PA6，BC8，所以DEPA，DE PA3，EF BC4.又因為DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因為ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DEPA.所以D題型分類深度剖析題型分類深度剖析例1(2016全國甲卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H，將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明：ACHD；題型一求空間幾何體的表面積與體積證

5、明由已知得ACBD，ADCD，故ACEF，由此得EFHD，折后EF與HD保持垂直關系，即EFHD，所以ACHD.例1(2016全國甲卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與解答解答所以OH1，DHDH3，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.所以OH1，DHDH3，故ODOH.高考專題突破四高考中的立體幾何問題課件(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規則幾何體，則可直接利用公式進行求解.其中，等積轉換法多用來求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規則幾何體，則將不規則的幾何體通過分割或補形轉

6、化為規則幾何體，再利用公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.思維升華(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規則幾何體，則可直跟蹤訓練1正三棱錐的高為1，底面邊長為2 ，內有一個球與它的四個面都相切(如圖).求：(1)這個正三棱錐的表面積；解答跟蹤訓練1正三棱錐的高為1，底面邊長為2 ，內有(2)這個正三棱錐內切球的表面積與體積.解答(2)這個正三棱錐內切球的表面積與體積.解答設正三棱錐PABC的內切球球心為O，連接OP，OA，OB，OC，而O點到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r.VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABC

7、設正三棱錐PABC的內切球球心為O，連接OP，OA，OB，高考專題突破四高考中的立體幾何問題課件題型二空間點、線、面的位置關系例2(2016濟南模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分別是A1C1，BC的中點.(1)求證：平面ABE平面B1BCC1；證明題型二空間點、線、面的位置關系例2(2016濟南模擬)在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.因為AB平面ABC，所以BB1AB.又因為ABBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面AB

8、C.證明(2)求證：C1F平面ABE；證明(2)求證：C1F平面ABE；方法一如圖1，取AB中點G，連接EG，FG.因為E，F分別是A1C1，BC的中點，所以FGAC，且FG AC.因為ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1FEG.又因為EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.方法一如圖1，取AB中點G，連接EG，FG.方法二如圖2，取AC的中點H，連接C1H，FH.因為H，F分別是AC，BC的中點，所以HFAB，又因為E，H分別是A1C1，AC的中點，所以EC1綊AH，所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1H

9、AE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.方法二如圖2，取AC的中點H，連接C1H，FH.解答(3)求三棱錐EABC的體積.因為AA1AC2，BC1，ABBC，所以三棱錐EABC的體積解答(3)求三棱錐EABC的體積.因為AA1AC2，B(1)證明面面垂直，將“面面垂直”問題轉化為“線面垂直”問題，再將“線面垂直”問題轉化為“線線垂直”問題.證明C1F平面ABE：()利用判定定理，關鍵是在平面ABE中找(作)出直線EG，且滿足C1FEG.()利用面面平行的性質定理證明線面平行，則先要確定一個平面C1HF滿足面面平行，實施線面平行與

10、面面平行的轉化.(2)計算幾何體的體積時，能直接用公式時，關鍵是確定幾何體的高，不能直接用公式時，注意進行體積的轉化.思維升華(1)證明面面垂直，將“面面垂直”問題轉化為“線面垂直”問跟蹤訓練2如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點.求證：(1)平面EFG平面ABC；證明由ASAB，AFSB知F為SB中點，則EFAB，FGBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.跟蹤訓練2如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SB(2)BCSA.證明由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平

11、面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.(2)BCSA.證明由平面SAB平面SBC，平面SAB題型三平面圖形的翻折問題例3(2015陜西)如圖1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD ，ABBC1，AD2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖2.(1)證明：CD平面A1OC；證明幾何畫板展示題型三平面圖形的翻折問題例3(2015陜西)如圖1，在在題圖1中，連接EC，因為ABBC1，AD2，BAD ，ADBC，E為AD中點，所以BC綊ED，BC綊AE，所以四邊形BC

12、DE為平行四邊形，故有CDBE，所以四邊形ABCE為正方形，所以BEAC，即在題圖2中，BEOA1，BEOC，且A1OOCO，從而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.在題圖1中，連接EC，(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.解答(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC與平面A1由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC為二面角A1-BE-C的平面角，如圖，以O為原點，以OB，OC，OA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，因為A1BA1EBCED1，BCED，由已知，平面A1BE

13、平面BCDE，如圖，以O為原點，以OB設平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC與平面A1CD夾角為，設平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1C高考專題突破四高考中的立體幾何問題課件平面圖形的翻折問題，關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度量關系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質不發生變化，不在同一個平面上的性質發生變化.思維升華平面圖形的翻折問題，關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度跟蹤訓練3(2017深圳月考)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2

14、)折疊，折痕EFDC.其中點E，F分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后，點P疊在線段AD上的點記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；證明幾何畫板展示跟蹤訓練3(2017深圳月考)如圖(1)，四邊形ABCD因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因為ABCD是矩形，CDAD，PD與CD交于點D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，解答(2)求三棱錐MCDE的體積.解答(2)求三棱錐MCDE的體積.因為PDDC，PC2，CD1，PCD60，如圖，過點F作FGC

15、D交CD于點G，因為PDDC，PC2，CD1，PCD60，如圖，高考專題突破四高考中的立體幾何問題課件題型四立體幾何中的存在性問題例4(2016邯鄲第一中學研究性考試)在直棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F分別是CC1，BC的中點，AEA1B1，D為棱A1B1上的點.(1)證明：DFAE.證明題型四立體幾何中的存在性問題例4(2016邯鄲第一中學AEA1B1，A1B1AB，AEAB.又AA1AB，AA1AEA，AB平面A1ACC1.又AC平面A1ACC1，ABAC.以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，即(x，y，z1)(1,0,0)，則D(，0,1)，AEA1B1，

16、A1B1AB，即(x，y，z1)(高考專題突破四高考中的立體幾何問題課件(2)是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為 ？若存在，說明點D的位置；若不存在，說明理由.解答(2)是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面結論：存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為 .理由如下：由題意知平面ABC的法向量為m(0,0,1).設平面DEF的法向量為n(x，y，z)，結論：存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的令z2(1)，則n(3,12，2(1).令z2(1)，則n(3,12，2(1).存在滿足條件的點D，此時D為A1B1

17、的中點.存在滿足條件的點D，此時D為A1B1的中點.(1)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論則否定假設.(2)對于探索性問題用向量法比較容易入手.一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代數方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.思維升華(1)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設跟蹤訓練4如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點.

18、(1)證明：B1C1CE；證明跟蹤訓練4如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側棱A如圖，以點A為原點，分別以AD，AA1，AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0).如圖，以點A為原點，分別以AD，AA1，AB所在直線為x軸，解答(2)求二面角B1CEC1的正弦值；解答(2)求二面角B1CEC1的正弦值；消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個法向量為m(3，2,1).由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，CC1CEC，可得B1C1平面CEC1，設平面B1CE

19、的法向量m(x，y，z)，消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個法向量為m(高考專題突破四高考中的立體幾何問題課件(3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 ，求線段AM的長.解答(3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成設為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則設為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則課時作業課時作業1.(2016北京順義區一模)如圖所示，已知平面平面l，.A，B是直線l上的兩點，C，D是平面內的兩點，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一動點，且有APDBPC，則四棱錐PABCD體積的最大值是答案解析12

20、34567891.(2016北京順義區一模)如圖所示，已知平面平面由題意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因為DA4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于點M，由題意知，PM.令AMt(0t0知EHG是銳角，由EHG30，得tanEHGtan 30，123456789由k0知EHG是銳角，由EHG30，12345679.(2017鐵嶺調研)如圖所示，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四邊形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BD AE2，O，M分別為CE，AB的中點.(1)求證：OD平面ABC；證明1234567899.(2017鐵嶺調研)如圖所示，平面ABDE平面ABC如圖，取AC中點F，連接OF，FB.F是AC中點，O為CE中點，OFDB且OFDB，四邊形BDOF是平行四邊形，ODFB.又FB平面ABC，OD平面ABC，OD平面ABC.123456789如圖，取AC中點F，連接OF，FB.OFDB且OFDB解答(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；123456789解答(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；123456平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，且BDBA，DB平面ABC.BDAE，EA平面ABC.又ABC是等腰直角三角形，且ACBC，