1、第一章 隨機(jī)事件和概率第一節(jié) 差不多概念1、排列組合初步（1）排列組合公式 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。例11：方程的解是A 4 B 3 C 2 D 1例12：有5個(gè)隊(duì)伍參加了甲A聯(lián)賽，兩兩之間進(jìn)行循環(huán)賽兩場(chǎng)，試問(wèn)總共的場(chǎng)次是多少？(2)加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n 種方法來(lái)完成。(3)乘法原理（兩個(gè)步驟分不不能完成這件事）：mn某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n 種方法來(lái)完成，則這件事可由mn 種方

2、法來(lái)完成。例13：從5位男同學(xué)和4位女同學(xué)中選出4位參加一個(gè)座談會(huì)，要求與會(huì)成員中既有男同學(xué)又有女同學(xué)，有幾種不同的選法？例14：6張同排連號(hào)的電影票，分給3名男生和3名女生，如欲男女相間而坐，則不同的分法數(shù)為多少？例15：用五種不同的顏色涂在右圖中四個(gè)區(qū)域里，每一區(qū)域涂上一種顏色，且相鄰區(qū)域的顏色必須不同，則共有不同的涂法 A120種B140種 C160種D180種(4)一些常見(jiàn)排列專門排列 相鄰 彼此隔開(kāi) 順序一定和不可分辨例16：晚會(huì)上有5個(gè)不同的唱歌節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，問(wèn)：分不按以下要求各可排出幾種不同的節(jié)目單？3個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起；3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此隔開(kāi)；3個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定

3、。例17：4幅大小不同的畫，要求兩幅最大的排在一起，問(wèn)有多少種排法？例18：5輛車排成1排，1輛黃色，1輛藍(lán)色，3輛紅色，且3輛紅車不可分辨，問(wèn)有多少種排法？重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）例19：5封不同的信，有6個(gè)信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？對(duì)立事件例110：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有幾種不同的坐法？例111：15人中取5人，有3個(gè)不能都取，有多少種取法？例112：有4對(duì)人，組成一個(gè)3人小組，不能從任意一對(duì)中取2個(gè)，問(wèn)有多少種可能性？順序問(wèn)題例113：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的種數(shù)？（有序）例114：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的種數(shù)？（有序）例11

4、5：3白球，2黑球，任取2球，2白的種數(shù)？（無(wú)序）2、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件及其運(yùn)算（1）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件假如一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下能夠重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。例如：擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面及出現(xiàn)反面；擲一顆骰子，出現(xiàn)“1”點(diǎn)、“5”點(diǎn)和出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)差不多上隨機(jī)事件；電話接線員在上午9時(shí)到10時(shí)接到的電話呼喚次數(shù)（泊松分布）；對(duì)某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離為0.1米、0.5米及1米到3米之間差不多上隨機(jī)事件（正態(tài)分布）。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總能夠從其中找出如此一組事件

5、，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，差不多上由這一組中的部分事件組成的。如此一組事件中的每一個(gè)事件稱為差不多事件，用來(lái)表示，例如（離散）。差不多事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件確實(shí)是由中的部分點(diǎn)（差不多事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，表示事件，它們是的子集。假如某個(gè)是事件A的組成部分，即那個(gè)在事件A中出現(xiàn)，記為。假如在一次試驗(yàn)中所出現(xiàn)的有，則稱在這次試驗(yàn)中事件A發(fā)生。假如不是事件A的組成部分，就記為。在一次試驗(yàn)中，所出現(xiàn)的有，則稱此次試驗(yàn)A沒(méi)有發(fā)生。為必定事件，為不可能事件。（2）事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：假如事件A的組成部

6、分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：假如同時(shí)有，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。差不多事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件。互斥未必對(duì)立。運(yùn)算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(

7、AC)(BC) 德摩根率： ，例116：一口袋中裝有五只乒乓球，其中三只是白色的，兩只是紅色的。現(xiàn)從袋中取球兩次，每次一只，取出后不再放回。寫出該試驗(yàn)的樣本空間。若表示取到的兩只球是白色的事件，表示取到的兩只球是紅色的事件，試用、表示下列事件：（1）兩只球是顏色相同的事件，（2）兩只球是顏色不同的事件，（3）兩只球中至少有一只白球的事件。 例117：硬幣有正反兩面，連續(xù)拋三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：（1）前兩次正面朝上，第三次正面朝下的事件，（2）至少有一次正面朝上的事件，（3）前兩次正面朝上的事件。3、概率的定義和性質(zhì)（1）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一

8、個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1 0P(A)1， 2 P() =13 關(guān)于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（2）古典概型（等可能概型）1 ，2 。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)= =例118：集合A中有100個(gè)數(shù)，B中有50個(gè)數(shù)，同時(shí)滿足A中元素與B中元素關(guān)系a+b=10的有20對(duì)。問(wèn)任意分不從A和B中各抽取一個(gè)，抽到滿足a+b=10的a,b的概率。例119：5雙不同顏色的襪子，從中任取兩只，是一對(duì)的概率為多少？例120：在共有10個(gè)座位的小會(huì)議室內(nèi)隨機(jī)地坐上6名與會(huì)者，則指定的4個(gè)座位被坐滿的概率是AB CD 例121：3白

9、球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序）例122：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序）例123：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（無(wú)序）注意：事件的分解；放回與不放回；順序問(wèn)題。4、五大公式（加法、減法、乘法、全概、貝葉斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)例124：從0，1，9這十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字，試求下列事件的概率：A“三個(gè)數(shù)字中不含0或者不含5”。（2）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=時(shí)，P()=1- P(B

10、)例125：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(+).例126：關(guān)于任意兩個(gè)互不相容的事件A與B， 以下等式中只有一個(gè)不正確，它是：(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P()-1(C) P(-B)= P()-P(B) (D)P(AB)(A-B)=P(A) (E)p=P(A) -P()（3）條件概率和乘法公式定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)乘法公式：更一般地，對(duì)事件

11、A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，則有。例127：甲乙兩班共有70名同學(xué)，其中女同學(xué)40名，設(shè)甲班有30名同學(xué)，而女生15名，問(wèn)在碰到甲班同學(xué)時(shí)，正好碰到一名女同學(xué)的概率。例128：5把鑰匙，只有一把能打開(kāi)，假如某次打不開(kāi)就扔掉，問(wèn)以下事件的概率？第一次打開(kāi)；第二次打開(kāi)；第三次打開(kāi)。（4）全概公式設(shè)事件滿足1兩兩互不相容，2，則有。此公式即為全概率公式。例129：播種小麥時(shí)所用的種子中二等種子占2，三等種子占1.5，四等種子占1，其他為一等種子。用一等、二等、三等、四等種子播種長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分不為0.5，0.15，0.1，0.05，試求種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒

12、的概率。例130：甲盒內(nèi)有紅球4只，黑球2只，白球2只；乙盒內(nèi)有紅球5只，黑球3只；丙盒內(nèi)有黑球2只，白球2只。從這三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是紅球的概率是：A0.5625B0.5C0.45D0.375 E 0.225例131：100個(gè)球，40個(gè)白球，60個(gè)紅球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？（5）貝葉斯公式設(shè)事件，及滿足1 ，兩兩互不相容，0，1，2，2 ，則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，），通常稱為后驗(yàn)概率。假如我們把當(dāng)作觀看的“結(jié)果”，而，理解為“緣故”，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“

13、由果朔因”的推斷。例132：假定用甲胎蛋白法診斷肝癌。設(shè)表示被檢驗(yàn)者的確患有肝癌的事件，表示診斷出被檢驗(yàn)者患有肝癌的事件，已知，。現(xiàn)有一人被檢驗(yàn)法診斷為患有肝癌，求此人的確患有肝癌的概率。5、事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn)（1）兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的（那個(gè)性質(zhì)不是想因此成立的）。 若事件、相互獨(dú)立，且，則有因此這與我們所理解的獨(dú)立性是一致的。若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。（證明）由定義，我們可知必定事件和不可能事件與任何事件都相互獨(dú)立。（證明） 同時(shí)，與任何事件都互斥。（2）多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，假如滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(

14、A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)同時(shí)同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。關(guān)于n個(gè)事件類似。兩兩互斥互相互斥。兩兩獨(dú)立互相獨(dú)立？例133：已知，證明事件、相互獨(dú)立。例134：A，B，C相互獨(dú)立的充分條件：（1）A，B，C兩兩獨(dú)立（2）A與BC獨(dú)立例135：甲，乙兩個(gè)射手彼此獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)各一次，甲射中的概率為0.9，乙射中的概率為0.8，求目標(biāo)沒(méi)有被射中的概率。（3）伯努利試驗(yàn)定義 我們作了次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生

15、與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不阻礙的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，。例136：袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球，從袋中任取a+b次球，每次放回，試求其中含a個(gè)白球，b個(gè)黑球的概率（a，b）。例137：做一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率為p，求在第n次成功之前恰失敗m次的概率。第二節(jié) 練習(xí)題1、事件的運(yùn)算和概率的性質(zhì)例138：化簡(jiǎn) (A+B)(A+)(+B)例139：ABC=AB(CB) 成立的充分條件為： (1)ABC (2)BC例140：已知P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)

16、，求x的最大值。例141：當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是P（C）=P（AB）。P（C）=P（AB）。P（C）P（A）+P（B）-1P（C）P（A）+P（B）-1。2、古典概型例142：3男生，3女生，從中挑出4個(gè)，問(wèn)男女相等的概率？例143：電話號(hào)碼由四個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字能夠是0,1,2,9中的任一個(gè)數(shù)，求電話號(hào)碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率。例144：袋中有6只紅球、4只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，則得分不大于6分的概率是 AB CD 例145：10個(gè)盒子，每個(gè)裝著標(biāo)號(hào)為“16”的卡片。每個(gè)盒子任取一張，問(wèn)10張中最大數(shù)

17、是4的概率？例146：將n個(gè)人等可能地分到N（nN）間房間中去，試求下列事件的概率。A“某指定的n間房中各有1人”；B“恰有n間房中各有1人”C“某指定的房中恰有m（mn）人”例147：有5個(gè)白色珠子和4個(gè)黑色珠子，從中任取3個(gè)，問(wèn)全是白色的概率？3、條件概率和乘法公式例148：假設(shè)事件A和B滿足P（B | A）=1，則 （A） A是必定事件。（B）。 （C）。（D）。例149：設(shè)A，B為兩個(gè)互斥事件，且P（A）0, P(B)0，則結(jié)論正確的是P（B | A）0。P（A | B）=P（A）。P（A | B）=0。P（AB）=P（A）P（B）。例150：某種動(dòng)物由出生而活到20歲的概率為0.7，

18、活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)齡為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。例151：某人不記得三位號(hào)碼鎖（每位均有09十個(gè)數(shù)碼）的最后一個(gè)數(shù)碼，因此在正確撥出前兩個(gè)數(shù)碼后，只能隨機(jī)地試撥最后一個(gè)數(shù)碼，每撥一次算作一次試開(kāi)，則他在第4次試開(kāi)時(shí)才將鎖打開(kāi)的概率是ABCD 例152：在空戰(zhàn)訓(xùn)練中，甲機(jī)先向乙機(jī)開(kāi)火，擊落乙機(jī)的概率為0.2；若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率是0.3；若甲機(jī)未被擊落，則再進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率是0.4，求在這幾個(gè)回合中：甲機(jī)被擊落的概率；乙機(jī)被擊落的概率。例153：為防止意外事故，在礦井內(nèi)同時(shí)安裝兩種報(bào)警系統(tǒng)A與B，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，其有效率A為0.92，B為0

19、.93，在A失靈條件下B有效概率為0.85。求：（1）這兩種警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率；（2）在B失靈條件下，A有效的概率。4、全概和貝葉斯公式例154：甲文具盒內(nèi)有2支藍(lán)色筆和3支黑色筆，乙文具盒內(nèi)也有2支藍(lán)色筆和3支黑色筆現(xiàn)從甲文具盒中任取2支筆放入乙文具盒，然后再?gòu)囊椅木吆兄腥稳?支筆求最后取出的2支筆差不多上黑色筆的概率。例155：三個(gè)箱子中，第一箱裝有4個(gè)黑球1個(gè)白球，每二箱裝有3個(gè)黑球3個(gè)白球，第三箱裝有3個(gè)黑球5個(gè)白球。現(xiàn)先任取一箱，再?gòu)脑撓渲腥稳∫磺颍瑔?wèn)：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的為白球，則該球?qū)儆诘诙涞母怕剩坷?56：袋中有4個(gè)白球、6個(gè)紅球，先從中任取出

20、4個(gè)，然后再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)球中任取一個(gè)，則它恰為白球的概率是。5、獨(dú)立性和伯努利概型例157：設(shè)P(A)0,P(B)0，證明若A與B相互獨(dú)立，則A與B不互斥；若A與B互斥，則A與B不獨(dú)立。例158：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，已知僅有A發(fā)生的概率為，僅有B發(fā)生的概率為，則P（A）=，P（B）=。例159：若兩事件A和B相互獨(dú)立，且滿足P(AB)=P(),P(A)=0.4，求P(B).例160：設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A，B和C滿足條件；ABC=，P（A）=P（B）=P（C），且已知，則P（A）=。例161：A發(fā)生的概率是0.6，B發(fā)生的概率是0.5，問(wèn)A,B同時(shí)發(fā)生的概率的范圍？例162：設(shè)某類

21、型的高炮每次擊中飛機(jī)的概率為0.2，問(wèn)至少需要多少門如此的高炮同時(shí)獨(dú)立發(fā)射（每門射一次）才能使擊中飛機(jī)的概率達(dá)到95%以上。例163：由射手對(duì)飛機(jī)進(jìn)行4次獨(dú)立射擊，每次射擊命中的概率為0.3，一次命中時(shí)飛機(jī)被擊落的概率為 0.6，至少兩次命中時(shí)飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率。例164：將一骰子擲m+n次，已知至少有一次出6點(diǎn)，求首次出6點(diǎn)在第n次拋擲時(shí)出現(xiàn)的概率。例165：兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為2：1，另一罐（取名“乙罐”）內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為2：1 。今任取一罐并從中取出50只球，查得其中有30只紅球和20只黑球，

22、則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍第二章 隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 差不多概念在許多試驗(yàn)中，觀看的對(duì)象常常是一個(gè)隨同取值的量。例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，它本身確實(shí)是一個(gè)數(shù)值，因此P(A)那個(gè)函數(shù)能夠看作是一般函數(shù)（定義域和值域差不多上數(shù)字，數(shù)字到數(shù)字）。然而觀看硬幣出現(xiàn)正面依舊反面，就不能簡(jiǎn)單理解為一般函數(shù)。但我們能夠通過(guò)下面的方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來(lái)。當(dāng)出現(xiàn)正面時(shí)，規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為“1”；而出現(xiàn)反面時(shí)，規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為“0”。因此稱為隨機(jī)變量。又由因此隨著試驗(yàn)結(jié)果（差不多事件）不同而變化的，因此實(shí)際上是差不多事件的函數(shù)，即

23、X=X()。同時(shí)事件A包含了一定量的（例如古典概型中A包含了1，2，m，共m個(gè)差不多事件），因此P(A)能夠由P(X()來(lái)計(jì)算，這是一個(gè)一般函數(shù)。定義 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，假如對(duì)中每個(gè)事件都有唯一的實(shí)數(shù)值X=X()與之對(duì)應(yīng)，則稱X=X()為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為。有了隨機(jī)變量，就能夠通過(guò)它來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，能全面反映試驗(yàn)的情況。這就使得我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究，從前一章事件與事件的概率的研究，擴(kuò)大到對(duì)隨機(jī)變量的研究，如此數(shù)學(xué)分析的方法也可用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象了。一個(gè)隨機(jī)變量所可能取到的值只有有限個(gè)（如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)）或可列無(wú)窮多個(gè)（如電話交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù)），則稱為離散型隨機(jī)變量。像彈著點(diǎn)到目

24、標(biāo)的距離如此的隨機(jī)變量，它的取值連續(xù)地充滿了一個(gè)區(qū)間，這稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)（1）離散型隨機(jī)變量的分布率設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1），（2）。例21：投骰子，出現(xiàn)偶數(shù)的概率？例22：4黑球，2白球，每次取一個(gè)，不放回，直到取到黑為止，令X()為“取白球的數(shù)”，求X的分布律。例23：若干個(gè)容器，每個(gè)標(biāo)號(hào)13，取出某號(hào)容器的概率與該號(hào)碼成反比，令X()表示取出的號(hào)碼，求X的分

25、布律。（2）分布函數(shù)關(guān)于非離散型隨機(jī)變量，通常有，不可能用分布率表達(dá)。例如日光燈管的壽命，。因此我們考慮用落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率表示。定義 設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 能夠得到X落入?yún)^(qū)間的概率。也確實(shí)是講，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量X隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。分布函數(shù)是一個(gè)一般的函數(shù)，它表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。的圖形是階梯圖形，是第一類間斷點(diǎn)，隨機(jī)變量在處的概率確實(shí)是在處的躍度。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 ；2 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有 ；3 ， ；4 ，即是右連續(xù)的；5 。例24：設(shè)離散隨機(jī)變量的分布列為，求的分布函數(shù)，并求，。例25：設(shè)隨機(jī)變量X的

26、分布函數(shù)為其中A是一個(gè)常數(shù)，求常數(shù)A（2）P（1X2）（3）連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)定義 設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。的圖形是一條曲線，稱為密度（分布）曲線。由上式可知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。因此，密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1 。2 。的幾何意義；在橫軸上面、密度曲線下面的全部面積等于1。假如一個(gè)函數(shù)滿足1、2，則它一定是某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。3 。4 若在處連續(xù)，則有。它在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。 關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量，盡管有，但事件并

27、非是不可能事件。令，則右端為零，而概率，故得。不可能事件（）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必定事件（）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必定事件。例26：隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，求A和F(x)。例27：隨機(jī)變量X的概率密度為 求X的分布函數(shù)和2、常見(jiàn)分布01分布P(X=1)=p, P(X=0)=q例如樹(shù)葉落在地面的試驗(yàn)，結(jié)果只能出現(xiàn)正面或反面。二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。容易驗(yàn)證，滿足離散型分布率的條件。當(dāng)時(shí)，這確實(shí)是（0-1）分布，因此（0-

28、1）分布是二項(xiàng)分布的特例。例28：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.001，若獨(dú)立地射擊5000次，試求射中的次數(shù)許多于兩次的概率。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=，n）。如飛機(jī)被擊中的子彈數(shù)、來(lái)到公共汽車站的乘客數(shù)、機(jī)床發(fā)生故障的次數(shù)、自動(dòng)操縱系統(tǒng)中元件損壞的個(gè)數(shù)、某商店中來(lái)到的顧客人數(shù)等，均近似地服從泊松分布。例29：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.001，若獨(dú)立地射擊5000次，試求射中的次數(shù)許多于兩次的概率，用泊松分布來(lái)近似計(jì)算。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布。例210：

29、袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球，從袋中任取a+b個(gè)球，試求其中含a個(gè)白球，b個(gè)黑球的概率（a，b）。（非重復(fù)排列）例211：袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球，從袋中連續(xù)地取a+b個(gè)球（不放回），試求其中含a個(gè)白球，b個(gè)黑球的概率（a，b）。（非重復(fù)排列）例212：袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球，從袋中連續(xù)地取a+b個(gè)球（放回），試求其中含a個(gè)白球，b個(gè)黑球的概率（a，b）。（重復(fù)排列）幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布。例213：5把鑰匙，只有一把能打開(kāi)，假如某次打不開(kāi)不扔掉，問(wèn)以下事件的概率？第一次打開(kāi)；第二次打開(kāi)；第三次打開(kāi)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為

30、常數(shù)k，即aaxb 其他，其中k=，則稱隨機(jī)變量在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。分布函數(shù)為 axb axb 0， xb。當(dāng)ax1x2b時(shí)，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為P(。例214：設(shè)電阻R是一個(gè)均勻在9001100的隨機(jī)變量，求R落在10001200之間的概率。指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 ,0, ,0, ,其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x0。 xc)=2P(Xc)。例217：某人需乘車到機(jī)場(chǎng)搭乘飛機(jī)，現(xiàn)有兩條路線可供選擇。第一條路線較短，但交通比較擁擠，到達(dá)機(jī)場(chǎng)所需時(shí)刻X（單位為分）服從正態(tài)分布N（50，100）。第二條路線較長(zhǎng)，但出現(xiàn)意外的堵塞

31、較少，所需時(shí)刻X服從正態(tài)分布N（60，16）。（1）若有70分鐘可用，問(wèn)應(yīng)走哪一條路線？（2）若有65分鐘可用，又應(yīng)選擇哪一條路線？3、隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù)，若的分布函數(shù)或密度函數(shù)明白，則如何求出的分布函數(shù)或密度函數(shù)。（1）是離散型隨機(jī)變量已知的分布列為，顯然，的取值只可能是，若互不相等，則的分布列如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的相加作為的概率。例218：已知隨機(jī)變量的分布列為，求的分布列。（2）是連續(xù)型隨機(jī)變量先利用X的概率密度f(wàn)X(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。例219：已知隨機(jī)變量，求的密度函數(shù)。第二節(jié) 練習(xí)題1、常見(jiàn)

32、分布例220：一個(gè)袋中有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3個(gè)球中的最大號(hào)碼，試求X的概率分布。例221：設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為f(x)=A ，x0,則A= 。例222： 是概率密度函數(shù)的充分條件是：（1）均為概率密度函數(shù)（2）例223：一個(gè)不明白英語(yǔ)的人參加GMAT機(jī)考，假設(shè)考試有5個(gè)選擇題，每題有5個(gè)選項(xiàng)（單選），試求：此人答對(duì)3題或者3題以上（至少獲得600分）的概率？例224：設(shè)隨機(jī)變量XU（0，5），求方程有實(shí)根的概率。例225：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為其使得，則k的取值范圍是。例226：已知某種電子元件的壽命（單位：小時(shí)）服從指數(shù)分布，若它工作了

33、900小時(shí)而未損壞的概率是 ，則該種電子元件的平均壽命是A 990小時(shí) B 1000小時(shí) C 1010小時(shí) D 1020小時(shí)例227：（A）（B）（C）（D）例228：XN(1,4)，YN(2,9)，問(wèn)P(X-1)和P(Y5)誰(shuí)大？例229：XN(,2)，0，0，且P()=，則？2、函數(shù)分布例230：設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布函數(shù)F(x)，求Y=F（X）的分布函數(shù)F（y）。（或證明題：設(shè)X的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，證明隨機(jī)變量Y=F（X）在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布。）例231：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則Y=-2lnF(X)的概率分布密度函數(shù)fY(y)=.例232：設(shè)XU，同時(shí)

34、y=tanx，求Y的分布密度函數(shù)f(y)。例233：設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量Y=minX, 2的分布函數(shù)（A）是連續(xù)函數(shù)（B）至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)（C）是階梯函數(shù)（D）恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)第三章 二維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 差不多概念1、二維隨機(jī)變量的差不多概念（1）二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布假如二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y）時(shí)，則稱為離散型隨機(jī)量。理解：（X=x,Y=y）（X=xY=y）設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示： YXy1

35、y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pipjp1p2pj1那個(gè)地點(diǎn)pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）關(guān)于隨機(jī)向量（X，Y），稱其重量X（或Y）的分布為（X，Y）的關(guān)于X（或Y）的邊緣分布。上表中的最后一列（或行）給出了X為離散型，同時(shí)其聯(lián)合分布律為，則X的邊緣分布為 ；Y的邊緣分布為 。例31：二維隨機(jī)向量（X，Y）共有六個(gè)取正概率的點(diǎn)，它們是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），同時(shí)（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1100020300p

36、j1（2）二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布關(guān)于二維隨機(jī)向量，假如存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分不平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|axb,cyd有則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(wàn)(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：f(x,y)0;一般來(lái)講，當(dāng)（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)向量，同時(shí)其聯(lián)合分布密度為f(x,y)，則X和Y的邊緣分布密度為注意：聯(lián)合概率分布邊緣分布例32：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度為試求：（1）常數(shù)C；（2）P0X1, 0Yx1時(shí)，有F（x2,y）F(x1,y);當(dāng)y2y1時(shí)，有F(x,y2) F(x,y1)

37、;（3）F（x,y）分不對(duì)x和y是右連續(xù)的，即（4）2、隨機(jī)變量的獨(dú)立性（1）一般型隨機(jī)變量F(X,Y)=FX(x)FY(y)（2）離散型隨機(jī)變量例35：二維隨機(jī)向量（X，Y）共有六個(gè)取正概率的點(diǎn)，它們是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），同時(shí)（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1100020300pj1（3）連續(xù)型隨機(jī)變量f(x,y)=fX(x)fY(y)聯(lián)合分布邊緣分布f(x,y)=fX(x)fY(y)直接推斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形例36：如圖3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)

38、=4x3, fY(y)=4y-4y3，不獨(dú)立。例37：f(x,y)=（4）二維正態(tài)分布=0（5）隨機(jī)變量函數(shù)的獨(dú)立性若X與Y獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。3、簡(jiǎn)單函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的和Z=X+Y離散型：例38：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布為X Y01201求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z3=XY的分布列。連續(xù)型fZ(z)兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。例39：設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且XU（0，1），Ye（1），求Z=X+Y的分布密度函數(shù)fz(z)。混合型例310：設(shè)隨機(jī)變量X與

39、Y獨(dú)立，其中X的概率分布為而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u)。第二節(jié) 練習(xí)題1、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)例311：如下四個(gè)二元函數(shù)，哪個(gè)不能作為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)？（A）（B）（C）（D）例312：設(shè)某班車起點(diǎn)站上車人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p(0p1)，同時(shí)他們?cè)谥型鞠萝嚺c否是相互獨(dú)立的，用Y表示在中途下車的人數(shù)，求：在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；二維隨機(jī)向量（X，Y）的概率分布。例313：一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為p（0p2|Y0)E(X)=， D(X)=正態(tài)分布 XN(,2)，E(X)= ，

40、 D(X)= 2例410：罐中有5顆圍棋子，其中2顆為白子，另3顆為黑子，假如有放回地每次取1子，共取3次，求3次中取到的白子次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望與方差。例411：在上例中，若將抽樣方式改為不放回抽樣，則結(jié)果又是如何？例412：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0的泊松分布，且已知E（X-1）（X-2）=1，求。例413：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求E（X-3e-2x）。例414：設(shè)（X，Y）服從區(qū)域D=（x,y）|0 x1, 0y1上的均勻分布，求E（X+Y），E（X-Y），E（XY），D（X+Y），D（2X-3Y）。2、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)關(guān)于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階

41、混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分不記為與。協(xié)方差有下面幾個(gè)性質(zhì)：cov (X, Y)=cov (Y, X);cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y).關(guān)于隨機(jī)變量X與Y，假如D（X）0, D(Y)0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡(jiǎn)記為）。|1，當(dāng)|=1時(shí)，稱X與Y安全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。與相關(guān)系數(shù)有關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。若（X，Y）N（），則X與Y相互

42、獨(dú)立的充要條件是，即X和Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).例415：設(shè)D（X）=25，D（Y）=36，。求D（X+Y）及D（X-Y）。（2）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望（3）原點(diǎn)矩和中心矩關(guān)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即uk=E(Xk), k=1,2, .因此，我們有關(guān)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即因此，我們有關(guān)于隨機(jī)變量X與Y，假如有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為，即第二節(jié)

43、 練習(xí)題1、一維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征例416：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)是且已知EX=0.5, DX=0.15，求系數(shù)a, b, c。例417：將10封信放入到9個(gè)信箱中去，設(shè)每封信落入各個(gè)信箱是等可能的，求有信的信箱數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。例418：一輛送客汽車，載有50位乘客從起點(diǎn)站開(kāi)出，沿途有10個(gè)車站能夠下車，若到達(dá)一個(gè)車站，沒(méi)有乘客下車就不停車。設(shè)每位乘客在每一個(gè)車站下車是等可能的同時(shí)各旅客是否下車相互獨(dú)立。設(shè)X表示停車的次數(shù)。試求E(X)和D(X)。例419：設(shè)某一機(jī)器加工一種產(chǎn)品的次品率為0.1，檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次，每次隨機(jī)地抽取5件產(chǎn)品檢驗(yàn)，假如發(fā)覺(jué)多于1件次品，就要調(diào)整機(jī)

44、器。求一天中調(diào)整機(jī)器次數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望。例420：地鐵到達(dá)一站時(shí)刻為每個(gè)整點(diǎn)的第5分、25分、55分鐘，設(shè)一乘客在早8點(diǎn)9點(diǎn)之間隨機(jī)到達(dá)，求侯車時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望。2、二維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征例421：設(shè)XN（1，2），YN（2，4）且X，Y相互獨(dú)立，求Z=2X+Y-3的分布密度函數(shù)f(z)。例422：設(shè)X1，X2，Xn為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，均服從，證明服從分布。例423：設(shè)二維隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)則E（XY）=。例424：設(shè)（X，Y）服從在A上的均勻分布，其中A為x軸，y軸及直線所圍成的三角形區(qū)域，求X，Y，XY的數(shù)學(xué)期望及方差。例425：設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布

45、在以點(diǎn)（0，1），（1，0），（1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差。例426：設(shè)X,Y是隨機(jī)變量，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相關(guān)系數(shù)，令Z1aX，Z2bX+cY，試確定a,b,c的值，使D(Z1)D(Z2)1且Z1和Z2不相關(guān)。3、獨(dú)立和不相關(guān)例427：設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差存在且不等于0，則D（X+Y）=D（X）+D（Y）是X和Y（）。（A）不相關(guān)的充分條件，且不是必要條件；（B）獨(dú)立的充分條件，但不是必要條件；（C）不相關(guān)的充分必要條件；（D）獨(dú)立的充分必要條件。例428：已知（X,Y）的聯(lián)合分布律為XY-101-11/81/81/801/801/811/81

46、/81/8試求（1）E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；（2）Cov(X,Y)，；（3）推斷X,Y是否相關(guān)？是否獨(dú)立？例429：已知隨機(jī)變量X和Y分不服從正態(tài)分布N（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)，設(shè)（1）求Z的數(shù)學(xué)期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X與Z的相關(guān)系數(shù)；（3）問(wèn)X與Z是否相互獨(dú)立？什么緣故？例430：設(shè)A，B是二隨機(jī)事件，隨機(jī)變量試證：“X,Y不相關(guān)”與“A,B獨(dú)立”互為充分必要條件。4、應(yīng)用題例431：設(shè)某產(chǎn)品每周需求量為Q，Q等可能地取1，2，3，4，5。生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是3元，每件產(chǎn)品的售價(jià)為9元，沒(méi)有售出的產(chǎn)品以每件1元的費(fèi)用存入倉(cāng)庫(kù)。問(wèn)生產(chǎn)者每周

47、生產(chǎn)多少件產(chǎn)品可使利潤(rùn)的期望最大？例432：設(shè)某種商品每周的需求量X服從區(qū)間10，30上的均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間10，30中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價(jià)處理，每處理1單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，現(xiàn)在每1單位商品僅獲利300元，為使商店所獲利潤(rùn)期望值許多于9280元，試確定最少進(jìn)貨量。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理第一節(jié) 差不多概念1、切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=，方差D（X）=2，則關(guān)于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種可能，它在理論上有重

48、要意義。例51：設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2，則依照切比雪夫不等式可能 。2、大數(shù)定律（1）切比雪夫大數(shù)定律（要求方差有界）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）C(i=1,2,),則關(guān)于任意的正數(shù)，有專門情形：若X1，X2，具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=，則上式成為或者簡(jiǎn)寫成：切比雪夫大數(shù)定律指出，n個(gè)相互獨(dú)立，且具有有限的相同的數(shù)學(xué)期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng)n專門大時(shí)，它們的算術(shù)平均以專門大的概率接近它們的數(shù)學(xué)期望。例52：設(shè)Xk為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且試證Xk服從切比雪夫大數(shù)定律。（2）伯努利大數(shù)定律設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次

49、試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則關(guān)于任意的正數(shù)，有伯努利大數(shù)定律講明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n專門大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判不的可能性專門小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。（3）辛欽大數(shù)定律（不要求存在方差）設(shè)X1，X2，Xn，是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xn）=，則關(guān)于任意的正數(shù)有3、中心極限定理（1）列維林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有或者簡(jiǎn)寫成：此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。（2）棣莫弗拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量X1，Xn均為具有參數(shù)n, p(0p2)（3）F分布設(shè)，且X與

50、Y獨(dú)立，能夠證明：的概率密度函數(shù)為我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為n1，第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).正態(tài)分布，例64：求證：若X t(n)，則X2 F(1,n)。注意以上三個(gè)分布的函數(shù)圖像。4、正態(tài)總體下統(tǒng)計(jì)量的分布和性質(zhì)注意一個(gè)定理：與獨(dú)立。（1）正態(tài)分布設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)（2）t-分布設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。（3）分布設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。（4）F分布 設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，而為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中表示第一自由度為，

51、第二自由度為的F分布。第二節(jié) 練習(xí)題1、統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)例65：設(shè)為取自正態(tài)總體的樣本，令，試求E（Y），D（Y）。例66：從正態(tài)總體中抽取容量為n的樣本，假如要求其樣本均值位于區(qū)間（1.4, 5.4）內(nèi)的概率不小于0.95，問(wèn)樣本容量n至少應(yīng)取多大？2、統(tǒng)計(jì)量的分布例67：設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是樣本均值，記則服從自由度為n-1的t分布的隨機(jī)變量是（A）（B）（C）（D）例68：設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0,22)，而X1，X2，X15是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則隨機(jī)變量服從 分布，參數(shù)為 。例69：設(shè)總體是總體的一個(gè)樣本，求的分布。例610：設(shè)X1，Xn， Xn+1，Xn+m是分布為

52、N(0,2)的正態(tài)總體容量為n+m的樣本，試求下列統(tǒng)計(jì)量的概率分布：（1）； （2）。第七章 參數(shù)可能第一節(jié) 差不多概念1、點(diǎn)可能的兩種方法（1）矩法所謂矩法確實(shí)是利用樣本各階原點(diǎn)矩與相應(yīng)的總體矩，來(lái)建立可能量應(yīng)滿足的方程，從而求得未知參數(shù)可能量的方法。設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)能夠表成顯示它的k階原點(diǎn)矩中也包含了未知參數(shù)，即。又設(shè)為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為如此，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其可能量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩可能量。例71：設(shè)總體，求對(duì)的矩可能量。 （2）最大似然法所謂最大似然法

53、確實(shí)是當(dāng)我們用樣本的函數(shù)值可能總體參數(shù)時(shí)，應(yīng)使得當(dāng)參數(shù)取這些值時(shí)，所觀測(cè)到的樣本出現(xiàn)的概率為最大。當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)n.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為，則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱分不為的最大似然可能值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然可能量。我們把使Ln達(dá)到最大的分不作為的可能量的方法稱為最大似然可能法。由于lnx是一個(gè)遞增函數(shù)，因此Ln與lnLn同時(shí)達(dá)到最大值。我們稱為似然方程。由多元微分學(xué)可知，由似然方程能夠求出為的最大似然可能量。容易看出，使得Ln達(dá)到最大的也能夠使這組樣

54、本值出現(xiàn)的可能性最大。2、可能量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)（1）無(wú)偏性設(shè)為求知參數(shù)的可能量。若E （）=，則稱 為的無(wú)偏可能量。若總體X的均值E（X）和方差D（X）存在，則樣本均值和樣本方差S2分不為E（X）和 D（X）的無(wú)偏可能，即E（）=E（X）， E（S2）=D（X）。（2）有效性設(shè)和是未知參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏可能量。若，則稱有效。例72：設(shè)是總體的一個(gè)樣本，試證下列式子并比較有效性。（1）（2）（3）（3）一致性（相合性）設(shè)是的一串可能量，假如關(guān)于任意的正數(shù)，都有則稱為的一致可能量（或相合可能量）。3、區(qū)間可能（1）置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。假如我們從樣本動(dòng)身，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量與，使得區(qū)

55、間以的概率包含那個(gè)待估參數(shù)，即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。（2）單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間可能設(shè)為總體的一個(gè)樣本，在置信度為下，我們來(lái)確定的置信區(qū)間。具體步驟如下：（i）選擇樣本函數(shù)；（ii）由置信度，查表找分位數(shù)；（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間。下面分三種情況來(lái)討論。已知方差，可能均值（i）選擇樣本函數(shù)設(shè)方差，其中為已知數(shù)。我們明白的一個(gè)點(diǎn)可能，同時(shí)明白包含未知參數(shù)的樣本函數(shù)。(ii) 查表找分位數(shù)關(guān)于給定的置信度，查正態(tài)分布分位數(shù)表，找出分位數(shù)，使得。即（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間由不等式推得這確實(shí)是講，隨機(jī)區(qū)間以的概率包含。 未知方差，可能均值（i）選擇樣本函數(shù)設(shè)為總體的一個(gè)樣本，由因此未知的，不能再選取樣本函數(shù)u。這時(shí)可用樣本方差來(lái)代替，而選取樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)關(guān)于給定的置信度，查t分位數(shù)表，找出分位數(shù)，使得。即（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間由不等式推得這確實(shí)是講，隨機(jī)區(qū)間以的概率包含。 方差的區(qū)間可能（i）選擇樣本函數(shù)設(shè)為來(lái)自總體的一個(gè)樣本，我