1、1第1頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五環的定義定義 設是代數系統，+和是二元運算. 如果滿足以下條件:（1）構成交換群（2）構成半群（3）運算關于+運算適合分配律則稱是一個環.2第2頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五環中的術語通常稱+運算為環中的加法， 運算為環中的乘法.環中加法幺元記作 0.乘法幺元（如果存在）記作 1. 環中加法幺元0恰好是乘法的零元.對任何元素 x，稱 x 的加法逆元為負元，記作x. 若 x 存在乘法逆元的話，則稱之為逆元，記作 x1. 3第3頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五環的實例 (1) 整數集、有

2、理數集、實數集和復數集關于普通的加法和乘法構成環，分別稱為整數環Z，有理數環Q，實數環R 和 復數環C.(2) n(n2)階實矩陣的集合Mn(R)關于矩陣的加法和乘法構成環，稱為n階實矩陣環.(3) 集合的冪集P(B)關于集合的對稱差運算和交運算構成環.(4) 設Zn0,1,.,n1，和分別表示模n的加法和乘法，則構成環，稱為模n的整數環. 4第4頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五特殊的環定義 設是環， (1) 若環中乘法適合交換律，則稱 R是交換環.(2) 若環中乘法存在幺元，則稱 R是含幺環.(3) 若a, bR，a b=0 a=0b=0，則稱R是無零因子環.(4)

3、若 R 既是交換環、含幺環，也是無零因子環，則稱 R 是整環. (5) 若 R為整環，|R|1, 且aR*=R-0，a-1R, 則稱 R 為域. 5第5頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五 零因子的定義與存在條件設是環，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 稱 a 為左零因子，b為右零因子，環 R 不是無零因子環. 實例 ，其中 23=0，2 和 3 都是零因子. 無零因子環的條件：可以證明：ab = 0 a=0 b=0 消去律 6第6頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五特殊環的實例(1)整數環Z、有理數環Q、實數環R、復數環C都是交換環、含幺環、無

4、零因子環和整環. 其中除Z之外都是域(2)令2Z= 2z | zZ ，則構成交換環和無零因子環. 但不是含幺環和整環.(3)設nZ, n2, 則 n 階實矩陣的集合 Mn(R)關于矩陣加法和乘法構成環，它是含幺環，但不是交換環和無零因子環，也不是整環.(4)構成環，它是交換環、含幺環，但不是無零因子環和整環. 注意：對于一般的 n, Zn是整環且是域 n是素數. 7第7頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五例題判斷下列集合和給定運算是否構成環、整環和域. (1) A=a+bi |a,bQ, i2= 1, 運算為復數加法和乘法. (2) A=2z+1 | zZ, 運算為普通加法

5、和乘法 (3) A=2z | zZ, 運算為普通加法和乘法 (4) A= x | x0 xZ, 運算為普通加法和乘法. (5) ，運算為普通加法和乘法解 (2), (4), (5) 不是環. 為什么？ (1) 是環, 是整環, 也是域. (3) 是環, 不是整環和域. 8第8頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五環的性質定理 設是環，則 (1) aR， a0 = 0a = 0(2) a,bR， (a)b = a(b) = ab(3) a,bR， (a)(b) = ab(4) a,b,cR，a(bc) = abac， (bc)a = baca9第9頁，共38頁，2022年，5月

6、20日，11點9分，星期五環中的運算環中加法的交換律、結合律；乘法的結合律；乘法對加法的分配律.例 在環中計算 (a+b)3, (ab)2解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab)=a2baab+b2 注：在初等代數中的加法和乘法運算都是在實數域中進行，乘法可交換10第10頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五6.3 格與布爾代數格的定義與實例格的性質 對偶原理 交換律、結合律、冪等律、吸收律 格的等價定義 子格 格的同構 特殊

7、的格：分配格、有界格、有補格、布爾格 11第11頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五格的定義定義 設是偏序集，如果x,yS，x,y都有最小上界和最大下界，則稱S關于偏序構成一個格。 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求x,y的最小上界和最大下界看成 x 與 y 的二元運算和，即 xy 和 xy 分別表示 x 與 y 的最小上界和最大下界. 注意：這里出現的和符號只代表格中的運算，而不再有其他的含義.12第12頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五 格的實例例 設n是正整數，Sn是n的正因子的集合. D為整除關系，則偏序集構成格.x,ySn，xy 是 l

8、cm(x,y)，即 x 與 y 的最小公倍數. xy 是 gcd(x,y)，即 x 與 y 的最大公約數. 下圖給出了格，和.13第13頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五例 判斷下列偏序集是否構成格，并說明理由. (1) ，其中P(B)是集合B的冪集. (2) ，其中Z是整數集，為小于等于關系. (3) 偏序集的哈斯圖分別在下圖給出.格的實例（續）解 (1) 是格. 稱為B的冪集格.(2) 是格. (3) 都不是格. 14第14頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五格的性質：對偶原理定義 設 f 是含有格中元素以及符號=, , ,和的命題. 令 f*是將

9、 f 中的替換成,替換成,替換成,替換成所得到的命題. 稱 f* 為 f 的對偶命題. 例如, 在格中： f 是 (ab)cc, f* 是 (ab)cc .格的對偶原理：設 f 是含格中元素以及符號=,和等的命題. 若 f 對一切格為真, 則 f 的對偶命題 f*也對一切格為真. 例如, 若對一切格L都有 a,bL, aba，那么對一切格L都有 a,bL, aba15第15頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五格的性質：算律定理 設是格,則運算和適合交換律、結合律、冪等律和吸收律,即(1) a,bL 有 ab=ba, ab=ba(2) a,b,cL 有 (ab)c=a(bc)

10、, (ab)c=a(bc)(3) aL 有 aa=a, aa=a(4) a,bL 有 a(ab)=a, a(ab)=a 16第16頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五算律的證明證 (1) 交換律. ab 是 a,b 的最小上界 ba 是 b,a的最小上界 a, b = b, a ab = ba. 由對偶原理, ab = ba 得證. 17第17頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五算律的證明（續） (2) 結合律. 由最小上界的定義有 (ab)caba (I) (ab)cabb (II) (ab)cc (III) 由式 (II) 和 (III) 有 (ab

11、)cbc (IV) 由式 (I) 和 (IV) 有 (ab)ca(bc). 同理可證 (ab)c a(bc). 根據偏序的反對稱性得到 (ab)c = a(bc). 由對偶原理, (ab)c = a(bc) 得證. 18第18頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五算律的證明（續） (3) 冪等律. 顯然 a aa, 又由 a a 得 aa a. 由反對稱性 aa = a. 用對偶原理, aa = a 得證. (4) 吸收律. 顯然有 a(ab) a (V)由 a a, ab a 可得 a(ab) a (VI) 由式 (V) 和 (VI) 可得 a(ab) = a根據對偶原理,

12、 a(ab) = a 得證.19第19頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五格作為代數系統的定義定理 設是具有兩個二元運算的代數系統, 若對于和運算適合交換律、結合律、吸收律, 則可以適當定義S中的偏序,使得構成格, 且a,bS有 ab = ab, ab = a b.根據定理,可以給出格的另一個等價定義.定義 設是代數系統, 和 是二元運算, 如果和 運算滿足交換律、結合律和吸收律, 則構成格.20第20頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五子格的定義及判別定義 設是格, S 是 L 的非空子集, 若 S 關于L中運算和仍構成格,則稱S是L 的子格.例 設格

13、 L 如圖所示. 令 S1= a, e, f, g , S2= a, b, e, g S1不是 L的子格, S2是 L的子格. 因為對于 e, fS1，efS1.21第21頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五格同態定義 設 L1和 L2是格, f: L1L2, 若a,bL1有 f(ab) = f(a)f(b), f(ab) = f(a)f(b)成立, 則稱 f 為格 L1到 L2的同態映射, 簡稱格同態.22第22頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五分配格定義定義 設是格, 若a, b, cL, 有 a(bc) = (ab)(ac)a(bc) = (ab

14、)(ac)則稱 L 為分配格.注意：以上條件互為充分必要條件這兩個等式中只要有一條成立，另一條一定成立.在證明L為分配格時, 只須證明其中的一個等式即可. 23第23頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五分配格的定義（續）L1和 L2是分配格, L3和 L4不是分配格. 在 L3中, b(cd) = b，(bc)(bd) = a在 L4中, c(bd) = c，(cb)(cd) = d稱 L3為鉆石格, L4為五角格.24第24頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五分配格的判定及其性質定理 設 L 是格, 則 L 是分配格當且僅當 L 不含有與鉆石格或五角格

15、同構的子格.證明省略.定理 格 L 是分配格當且僅當 a, b, cL, ab=ac且ab=ac b=c.推論 (1) 小于五元的格都是分配格. (2) 任何一條鏈都是分配格.25第25頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五分配格的判定（續）解 L1, L2和 L3都不是分配格. a, b, c, d, e 是 L1的子格, 并且同構于鉆石格； a, b, c, e, f 是 L2的子格, 并且同構于五角格； a, c, b, e, f 是 L3的子格, 也同構于鉆石格.例 說明圖中的格是否為分配格,為什么？26第26頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五全

16、上界與全下界定義 設L是格, 若存在 aL 使得 xL 有 a x, 則稱 a 為 L 的全下界；若存在 bL 使得 xL 有 x b, 則稱 b 為 L 的全上界.說明： 格 L 若存在全下界或全上界,一定是惟一的. 一般將格 L 的全下界記為 0, 全上界記為 1.27第27頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五有界格定義及其性質定義 設 L是格,若 L存在全下界和全上界, 則稱 L為有界格, 全下界記為0，全上界記為1 . 有界格 L 記為 .注意：有限格 L=a1,a2,an是有界格, a1a2 an是 L 的全下界, a1a2an是全上界. 0是關于運算的零元,運算

17、的單位元. 1 是關于運算的零元,運算的單位元.對于涉及有界格的命題, 如果其中含有全下界0或全上界1, 求其對偶命題時, 必須將0與1互換. 28第28頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五補元的定義定義 設是有界格, aL, 若存在 bL 使得ab = 0 和 ab =1成立, 則稱 b 是 a 的補元.注意：若 b 是 a 的補元, 那么 a 也是 b 的補元. a 和 b 互為補元. 29第29頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五實例: 求補元 解：L1中 a, c互補, b沒補元. L2中 a, d互補, b, c 互補. L3中 a,e互補,

18、b 的補元是 c和d, c 的補元是 b和d, d 的補元是b和c. L4中的 a,e互補, b 的補元是 c和d, c 的補元是b, d 的補元是 b. 30第30頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五有界分配格中補元惟一性定理 設是有界分配格. 若L中元素 a 存在補元, 則存在惟一的補元.證 假設 b, c 是 a 的補元, 則有 ac = 1, ac = 0, ab = 1, ab = 0 從而得到 ac = ab, ac = ab, 由于L是分配格, b = c.31第31頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五有補格的定義定義 設是有界格, 若 L

19、 中所有元素都有補元存在, 則稱 L 為有補格. 例如, 下圖中的 L2, L3和 L4是有補格, L1不是有補格. 32第32頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五布爾代數的定義定義 如果一個格是有補分配格, 則稱它為布爾格或布爾代數.在布爾代數中，如果一個元素存在補元, 則是惟一的. 可以把求補元的運算看作是布爾代數中的一元運算.布爾代數標記為, 其中為求補運算33第33頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五布爾代數的實例例 設 S110= 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110 是110的正因子集合. gcd 表示求最大公約數的運算 lcm表示求最小公倍數的運算. 則 是否構成布爾代數？ 34第34頁，共38頁，2022年，5月20日，11點9分，星期五布爾代數的等價定義定義 設是代數系統, 和是二元運算. 若和運算滿足交換律、結合律、冪等律、吸收律, 即(1) a,bB有ab=ba, ab=ba (2)