1、 等差等比數列證明問題【基礎知識梳理】等差數列的判定方法(1)定義法：對于n2的任意自然數，驗證anan1為同一常數；(2)等差中項法：驗證2an1anan2(n3，nN*)成立；(3)通項公式法：驗證anpnq；(4)前n項和公式法：驗證SnAn2Bn.二、等比數列的判定方法(1)定義法：若eq f(an1,an)q(q為非零常數，nN*)或eq f(an,an1)q(q為非零常數且n2，nN*)，則an是等比數列 (2)等比中項公式法：若數列an中，an0且aeq oal(2,n1)anan2(nN*)，則數列an是等比數列(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成ancqn(c，q均是不為0

2、的常數，nN*)，則an是等比數列(4)前n項和公式法：若數列an的前n項和Snkqnk(k為常數且k0，q0,1)，則an是等比數列【考點突破】考點一等差數列的判定與證明例1：已知數列滿足：且， 求證：為等差數列 證明：設，則代入可得： 為等差數列，即為等差數列 例2、已知數列an中，a1eq f(3,5)，an2eq f(1,an1)(n2，nN*)，數列bn滿足 bneq f(1,an1)(nN*)求證：數列bn是等差數列； (1)證明：因為an2eq f(1,an1)(n2，nN*)，bneq f(1,an1)(nN*)， 所以bn1bneq f(1,an11)eq f(1,an1)e

3、q f(1,blc(rc)(avs4alco1(2f(1,an)1)eq f(1,an1)eq f(an,an1)eq f(1,an1)1. 又b1eq f(1,a11)eq f(5,2).所以數列bn是以eq f(5,2)為首項，1為公差的等差數列 考點二 等比數列的判定與證明例3：已知數列的首項 求證：數列為等比數列思路一：構造法，按照所給的形式對已知遞推公式進行構造，觀察發現所證的數列存在這樣的倒數，所以考慮遞推公式兩邊同取倒數：即，在考慮構造“”：即數列是公比為的等比數列思路二：代入法：將所證數列視為一個整體，用表示：，則只需證明是等比數列即可，那么需要關于的條件（首項，遞推公式），所

4、以用將表示出來，并代換到的遞推公式中，進而可從的遞推公式出發，進行證明解：令，則 遞推公式變為： 是公比為的等比數列。即數列為等比數列例4：數列的前n項和為，（*）設，證明：數列是等比數列，并求出的通項公式思路：本題所給等式混合在一起，可考慮將其轉變為只含或只含的等式，題目中傾向于項的關系，故考慮消掉，再進行求解解： 可得： 即 是公比為的等比數列 令 代入（*）可得： 【課堂小結】構造法：在構造的過程中，要尋找所證數列形式的亮點，并以此為突破對遞推公式進行變形，如例1中就是抓住所證數列有一個“倒數”的特點，進而對遞推公式作取倒數的變換。所以構造法的關鍵之處在于能夠觀察到所證數列顯著的特點并加

5、以利用 代換法：此方法顯得模式化，只需經歷“換元表示代入化簡”即可，一是代換體現了兩個數列的一種對應關系，且這種對應是同序數項的對應（第項對應第項）；二是經過代換，得到的遞推公式，而所證是等比數列 回顧依遞推求通項時，為什么要構造等差等比數列，在這里給予了一個解釋；二是體會解答題中這一問的價值：一個復雜的遞推公式，直接求其通項公式是一件困難的事，而在第一問中，恰好是搭了一座橋梁，告訴你如何去進行構造輔助數列，進而求解原數列的通項公式。 【課后鞏固訓練】1、在正項數列中，已知且 . 證明：數列是等差數列； 【解析】（1），數列是公差為2的等差數列.，數列是等差數列.2、已知數列an的前n項和為Sn，數列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn. 設cnan1，求證：cn是等比數列； 【解析】(1)證明：anSnn，；an1Sn1n1，得an1anan11，即2an1an1，2(an11)an1，即2cn1cn.由a1S11得a1eq f