1、 7.3.2離散型隨機變量的方差教學(xué)設(shè)計 深圳市光明區(qū)高級中學(xué) 周理園內(nèi)容與內(nèi)容解析內(nèi)容：了解離散型隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或者標(biāo)準(zhǔn)差，體會引入離散型隨機變量的方差的必要性。內(nèi)容解析：（1）引入離散型隨機變量的方差必要性：前期我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過離散型隨機變量的均值的相關(guān)知識。我們知道隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小.所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征。 我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)，的離散程度,它是通過

2、計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的.即樣本的方差。一個自然的想法是，隨機變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?考慮X所有可能取值與的的偏差的平方.因為X取每個值的概率不盡相同，而偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均為，所以可以用這個加權(quán)平均數(shù)來衡量隨機變量X取值與其均值E(X) 的偏離程度。離散型隨機變量的概念：一般地，對于離散型隨機變量X，稱為離散型隨機變量X的的方差，稱為離散型隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差。隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，離散型隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大

3、，離散型隨機變量的取值越分散。（3）離散型隨機變量的性質(zhì)和求離散型隨機變量的方差的一般步驟：類比離散型隨機變量的均值性質(zhì)，離散型隨機變量的方差是否有類似性質(zhì)。根據(jù)方差的定義可以推出離散型隨機變量的一般性質(zhì)即，同樣類比求離散型隨機變量的均值的一般步驟，我們可以通過舉兩個例子總結(jié)出求離散型隨機變量的方差的四個步驟。教學(xué)重難點：（1）離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念。（2）比較兩個隨機變量的均值與方差的大小，從而解決實際問題。（3）離散型隨機變量的方差性質(zhì)。二、目標(biāo)與目標(biāo)解析1.目標(biāo)：（1）通過具體實例，理解取有限值的離散型隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念.通過實際例子體會引入方差的必要性，類比樣本方

4、差的概念，引入離散型隨機變量的方差，用來刻畫隨機變量的取值與均值的離散程度，反映了隨機變量取值的離散程度。在引入方差的概念中，體會從特殊到一般，從理論到實踐、類比的探究過程和思想方法。（2）能計算簡單離散型隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決一些實際問題.（3）掌握離散型隨機變量的方差的性質(zhì).了解性質(zhì)可以幫助我們簡化方差的計算，還可以了解方差的本質(zhì)。2.目標(biāo)解析：（1）通過實例，讓學(xué)生了解隨機變量的均值只能反映取值的集中程度，不能反映隨機變量取值的離散程度，體會引入離散型隨機變量的方差的必要性。理解離散型隨機變量方差的概念，了解其實際含義。（2）會計算簡單的離散型隨機變量的均值和方差，并利用均值與

5、方差在實際問題中作出科學(xué)的決策。通過兩個例子計算離散型隨機變量的方差，體會引入離散型隨機變量的均值和方差的必要性。體會它在實際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用價值。三、教學(xué)問題診斷設(shè)計問題診斷（1）讓學(xué)生體會引入離散型隨機變量的方差的必要性是第一個教學(xué)問題，也是難點。本節(jié)課是前面學(xué)習(xí)完隨機變量的均值的基礎(chǔ)上進行研究的，知識上具有承前啟后的作用。我們通過甲乙兩名同學(xué)射擊目標(biāo)耙的環(huán)數(shù)例子來說明如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平。通過上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)過的離散型隨機變量均值的知識，先計算出兩人的射擊的平均環(huán)數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩名同學(xué)的均值相等，因此不能根據(jù)均值來區(qū)分兩名同學(xué)的射擊水平。評價射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮

6、穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.通過畫出兩名同學(xué)的概念分布圖發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中，因此乙同學(xué)更穩(wěn)頂。隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢” .因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小，所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征. （2）如何定義離散型隨機變量的方差概念是第二個教學(xué)問題，也是教學(xué)的難點。從最近發(fā)展區(qū)的角度考慮，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過數(shù)據(jù)的方差概念，它是用來刻畫數(shù)據(jù)波動程度大小的數(shù)字特征，學(xué)生學(xué)習(xí)過的知識都與方差有關(guān)。通過類比初中學(xué)習(xí)過的樣本方差的概念，我們很自然地引入離散型隨機變量的方差概

7、念，引入過程水到渠成，即隨機變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?考慮X所有可能取值與的偏差的平方.因為X取每個值的概率不盡相同，而偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均為，所以可以用這個加權(quán)平均數(shù)來衡量隨機變量X取值與其均值E(X) 的偏離程度。 （3）利用離散型隨機變量的方差來解決實際問題是第三個教學(xué)問題，也是教學(xué)的重點。類比前期學(xué)習(xí)過離散型隨機變量的均值的例子，我們舉出兩個例子讓同學(xué)們算出方差，鞏固一下方差的計算公式，再通過一個投資股票收益的例子，體會利用均值和方差來做出實際決策，體會所學(xué)知識在生活中的應(yīng)用價值，并總結(jié)出求離散型隨機變量的方差的一般步驟。四、教學(xué)支持條

8、件分析為什么要引入離散型隨機變量的方差的概念是本節(jié)課的的重點.本節(jié)課是從實際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實際的過程。為了突出這一重點，需要師生借助信息技術(shù)手段，通過幾個例子計算出兩個變量的均值，發(fā)現(xiàn)兩個變量的均值相等，因此不能根據(jù)均值來平均兩個變量的好與環(huán)，還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征.因此本節(jié)課將采用數(shù)學(xué)軟件和計算器作為教學(xué)支持條件。五、教學(xué)過程設(shè)計1.溫故知新：首先回顧上節(jié)課已學(xué)習(xí)過的離散型隨機變量的均值相關(guān)知識，包括概念、性質(zhì)及計算均值的一般步驟。隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”。因為隨機

9、變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小，所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征。2.探究新知問題1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平？表1X678910P0.090.240.320.280.07表2X678910P0.070.220.380.30.03E(X)= 8 ;E(Y)=8 因為兩個均值相等，所以均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平。射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度，圖一和圖二分別是X和Y的

10、概率分布圖：發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的設(shè)計成績更穩(wěn)定。設(shè)計意圖：通過知識回顧，提出問題.通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入離散型隨機變量分布列方差的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。3.生成概念問題2：怎樣定量到留離散型隨機變量取值的離散程度? 我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的，一個自然的想法是,隨機變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?考慮X所有可能取值與的的偏差的平方.因為X取每個值的概率不盡相同，而偏差

11、平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均為，所以可以用這個加權(quán)平均數(shù)來衡量隨機變量X取值與其均值E(X) 的偏離程度。一般地，稱為離散型隨機變量X的方差，稱為離散型隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差。幾點說明：隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機變量的取值越分散。追問1：根據(jù)方差定義，我們可以計算問題1中兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差嗎？因此，問題1中兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫它們成績的穩(wěn)定性。兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:因為D(Y)D(X)(等價地， ) ，所以隨機變量Y的取值相對更

12、集中，即乙同學(xué)的射擊成績相對更穩(wěn)定。問題3：方差的計算可以簡化嗎？D問題4：離散型隨機變量X加上一個常數(shù)，方差會有怎樣變化？離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質(zhì)有什么不同？ 離散型隨機變量X加上一個常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)= D(X)而離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)a,其方差變?yōu)樵讲畹谋叮?因此，4.學(xué)以致用例1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差。解：隨機變量E(X方差的計算方法：方差的計算需要一定的運算能力,在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下，運用關(guān)系式D(X)=E(X2)-E(

13、X)2不失為一種比較實用的方法.另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如(a0).追問1：我們根據(jù)之前的方差定義，同學(xué)們計算一下D(X)是否相等？哪種計算更簡單？設(shè)計意圖：通過典例解析，提升對概念精細(xì)化的理解。讓學(xué)生掌握方差的算法。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。例2：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表二所示：收益X/元-102概率0.10.30.6表1 表2收益X/元012概率0.30.40.3（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險較高？設(shè)計意圖：通過典例解析，在具體的問題情境中，深化概念的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核

14、心素養(yǎng)。總結(jié)利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟（1）比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高。（2）在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.(3)下結(jié)論.依據(jù)均值和方差做出結(jié)論。4.對比概念，深化認(rèn)知問題5：根據(jù)我們前面學(xué)習(xí)過的離散型隨機變量的均值，及樣本方差的概念，我們跟離散型隨機變量的方差進行對比，我們利用兩個表格進行總結(jié)對比，同學(xué)們你們有什么發(fā)現(xiàn)？設(shè)計意圖：通過類比均值和樣本方差的概念，深化對離散型隨機變

15、量方差概念的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。5.課堂小結(jié)問題6：回顧本節(jié)課的研究離散型隨機變量的方差的研究過程，我們是怎樣開展對方差的研究的？我們是根據(jù)什么來引入離散型隨機變量的方差的？你認(rèn)為引入離散型隨機變量的方差可以解決哪些問題？問題7：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)離散型隨機變量方差的哪些知識？需要注意什么？設(shè)計意圖：通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。梳理本節(jié)課的研究問題和研究思路，讓學(xué)生不僅掌握知識和技能，還學(xué)會掌握研究方差的一般路徑，與研究均值的思路是一樣，由現(xiàn)實例子出發(fā)，尋找刻畫波動大小的數(shù)字特征，類比數(shù)據(jù)的方差概念，引出離散型隨機變量的方差的概

16、念，計算相應(yīng)變量的均值和方差，做出實際決策。板書設(shè)計離散型隨機變量的均值定義：一組數(shù)據(jù)的方差定義：離散型隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義：4.求離散型隨機變量的方差的步驟： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 確定取值X； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 求概率； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 求出EX； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 求DX7.課堂檢測1.給出下列四個命題：離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；離

17、散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度則正確命題應(yīng)該是()AB C D2已知隨機變量X的分布列為P(Xk)eq f(1,3)，k3,6,9，則D(X)等于()A6 B9 C3 D43.已知離散型隨機變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=,b=.X-1012Pabc14.下結(jié)論.依據(jù)均值和方差做出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2. A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2，根據(jù)市場分析， X1和X2的分布列分別為X12%8%12%X25%10%P0.20.50.3P0.80.2求：(1)在A、B兩個項目上各投資100萬元， Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根據(jù)得到的結(jié)論，對于投資者有什么建議？ 設(shè)計意圖：通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯