1、文檔編碼 : CH8N3L4S8U9 HI3F5F8L4A3 ZD5Z2Q3A4K10一 . 算符第一節力學量算符算符 : 作用在一個函數上得出另一個函數的運算符號,量子力學中的算符是作用在波函數上的運算符號；用表示一算符；二力學量算符1. 坐標的算符就是坐標本身：2. 動量算符：, , 3. 動能算符4. 哈密頓算符：5. 角動量算符：假如量子力學中的力學量在經典力學中有相應的力學量,就表示這個力學量的算符由經典表示式 中將 換成算符得出算符和它所表示的力學量的關系？一線性算符其次節算符基本學問中意運算規章的算符稱為線性算符；二單位算符保持波函數不轉變的算符三 算符之和加法交換律加法結合律兩

2、個線性算符之和仍為線性算符；四算符之積這是與平常數運算規章不同之處；定義 : 算符與的積為一般說算符之積不中意交換律,即：留意 : 逆算符為：五設能唯獨解出,就定義的逆算符留意 : 不是全部的逆算符都有逆算符；,六 算符的復共軛,轉置,厄密共軛1 兩個任意波函數 與 的標積2 復共軛算符算符的復共軛算符為：把的表示式中全部復量換成其共軛復量3 轉置算符定義 : 算符的轉置算符中意：即：4 厄密共軛算符算符的厄密共軛算符定義為即算符的厄密共軛算符即是的轉置復共軛算符5.厄密算符厄密算符是中意以下關系的算符留意：兩個厄密算符之和仍為厄密算符,兩個厄密算符之積卻不愿定是厄密算符例 ：證明 是厄密算符

3、證：為厄密算符,為厄密算符第三節 力學量算符的本征值與本征函數一 厄密算符的本征值與與本征函數設體系處于 測量力學量 O,一般說,可能顯現不同結果,各有確定的幾率,多次測量結果的平均值趨于一確定值,每次具體測量的結果圍繞平均值有一個漲落,定義為如為厄密算符,也是厄密算符存在這樣一種狀態,測量力學量所得結果完全確定；即. 這種狀態稱為力學量的本征態；在這種狀態下稱為算符的一個本征值,為相應的本征函數；二 力學量算符的性質1.力學量算符是厄密算符: 測量力學量時,全部可能顯現的值,都是力學量算符的本征值；量子力學的一個基本假定厄密算符的本征值必為實數證：設為厄密算符取是實數表示力學量的算符為厄密算

4、符2力學量算符為線性算符態疊加原理準備了力學量算符為線性算符【證】：設也應是體系的態即為線性算符三 厄密算符本征函數的性質1 正交性厄密算符屬于不同本征值的本征函數彼此正交；假如兩函數和中意積分是對變量變化的全部區域進行, 就稱與相互正交； 證: 已知為實數由厄密算符性質這里只考慮分別譜 , 對連續譜也是成立的對歸一化的本征函數分別譜連續譜這樣的本征函數構成正交歸一系., 它的正交歸一本征函數系為, 對應的本征值為就任一函數2.完備性設為代表某力學量的厄密算符可按開放本征函數的這種性質稱為完備性與 x 無關 , 利用的正交歸一性, 將等式兩邊,對x 在整個區域積分即: 如 總歸一化爭辯 :當是

5、算符的一本征函數時, 即即其它系數為零, 這時測量力學量的測量值必是當不是的本征函數時, 可按本征函數開放,測量力學量的結果是本征值之一, 測量結果為的幾率為波 態 函數可以完全描述微觀粒子的狀態量子力學關于力學量與算符的關系的一個基本假定: 量子力學中表示力學量的算符都是厄密算符, 它們的本征函數組成完全系, 當體系處于波函數所描寫的狀態時, 測量力學量F 所得的數值必定是算符的本征值之一, 測得的幾率是開放四 力學量算符的平均值.對于一態, 將其按某力學量的本征函數集是歸一化的顯現本征值的幾率為, 就按由幾率求平均值的法就上式可改寫為是歸一化的 證明 如未歸一化：如本征值是連續譜定理 :

6、在任何狀態下 , 厄密算符的平均值都是實數 證明 逆定理 : 在任何狀態下平均值為實數的算符為厄密算符例 1: 設 為厄密算符 , 就 證明 第四節 幾種典型力學量算符的本征函數一 .坐標算符為坐標算符本征值為的本征函數；即二 . 動量算符動量算符的本征值方程,它們的解如何確定歸一化系數C, 可以看出在空間任意一點本征值顯現的幾率都是一這是由于本征值可取任意值,動量本征值組成連續譜樣的 . 對連續譜的本征函數, 我們一般將函數歸一化函數 = 取, 歸一化為函數歸一化的動量本征函數為箱歸一化 :如給波函數加上邊界條件, 即粒子被限制在一正方形箱中, 邊長為 L,要求波函數在兩個相對的箱壁上對應點

7、具有相同的值,同理：,為正負整數或零；本征值譜由分別變為連續.1,歸一化常數為；加進周期性邊界條件后, 動量本征函數可歸一化為歸一化波函數為三 .角動量算符有關,用球坐標表示：可以看出角動量算符只與1. 的本征函數,解出應中意邊界條件 exp =1 ,歸一化后,是 的本征值為 的歸一化本征函數；2角動量 的共同本征態：球諧函數的共同本征函數為球諧函數：軌道角量子數磁量子數具體表達式：是正交歸一的：對應于 的一個本征值 有 個不同的本征函數；我們把對應于一個本征值有一個以上本征函數的情形稱為簡并；的本征值是 度簡并；第五節 算符的對易關系 共同本征態函數 測不準關系一 . 量子力學的基本對易關系

8、記1. 坐標與動量算符的對易關系為任意波函數 , 所以同理概括起來2. 角動量算符的對易關系式同理可證常用的對易關系式二 . 共同本征態定理 : 如兩算符, 中意. 稱對易組成完全系,就對易,而且假如兩算符有一組共同本征函數 證 設 是任一波函數逆定理 : 假如兩個算符對易,就這兩個算符有組成完全系的共同本征函數上述定理可推廣到兩個以上情形；它們的共同本征函數完全集是相互對易,它們有共同本征函數要完全確定體系所處的狀態,需要有一組相互對易的力學量,這一組完全確定體系狀態的力學量,稱為力學量完全集；完全集合中力學量的數目一般與體系自由度數目相符；從對易關系可以看出,普朗克常數在力學量對易關系中占

9、有重要位置；體系微觀規律與宏觀規律之間差異,如 在所爭辯問題中可略去,就坐標,動量,角動量之間都對易,這些力學量同時有確定值,微觀體系就過渡到宏觀體系；三測不準原理設兩算符 對易關系為令考慮積分是實參數都是厄密算符不等式成立的條件是對坐標和動量例： 通過測不準原理關系說明線性諧振子的零點能【解】振子的平均能量是最小值不能為零和不能同時為零為求最小值,測不準關系取等號得出的最小值,測不準關系是量子力學中的基本關系,它反映了微觀粒子波粒二象性；一電子在庫侖場中的運動第六節電子在庫侖場中的運動氫原子核（ Ze）,核外電子 -e氫原子 Z=1類氫原子 Z1勢能薛定諤 方程分別變量法徑向方程的解與角度部

10、分有關的解n 主量子數軌道角動量量子數m磁量子數可以看出能量本征值是和n 有關,對應于第n 個能量有個波函數電子第個能級是 度簡并的；二氫原子對氫原子應考慮核運動,這是一兩體問題薛定諤方程相對坐標質心坐標約化質量分別變量帶入方程用 除方程兩邊與坐標無關 式描述質心運動,這是能量為 的自由粒子的定態薛定諤方程；式是電子相對于核運動的波函數所中意的方程,即是一個質量為 的粒子在勢能為 的力場中運動,這里我們只需要把前面結果中 Z 的取為 1,把電子質量換成約化質量即可氫原子能級能級隨 n 增大而增大 電子電離電離能=13.60=13.597 取約化質量 電子由能級躍遷到時輻射出光的頻率里德伯 常數

11、 R=10973731.1/mR=10967758/m （約化質量）電子按半徑 r 的分布幾率玻爾電子軌道半徑的本質：分布幾率顯現極值的地方；一第七節力學量隨時間變化與守恒定律力學量平均值隨時間的變化,守恒量在量子力學中,處于確定狀態 平均值及幾率分布有薛定諤 方程下的體系在每一時刻不是全部力學量都有確定值,只是具有確定的如力學量不是含 t 就,就：；如又和即,對易中意上式,即力學量平均值不隨時間變化的力學量稱為守恒量,守恒量的幾率分布不隨時間轉變；證：設為守恒量 , 就開放,取的一組共同本征態對任一態按總結： 假如 是與 對易的不含 t 的力學量（守恒量）就在體系的任何態下,平均值不隨時間轉

12、變在體系的任何態下,的幾率分布不隨時間轉變；（3）如初始時刻,體系處于守恒量 的一個本征態,就以后仍將保持該本征態,如初始時刻,體系不處于本征態,就以后狀態也不是 本征態；例：（ 1）自由粒子的動量動量守恒動量 守恒（2）中心力場中運動的粒子角動量守恒只與 有關角動量平方及角動量重量都是守恒量；3 哈密頓不現含時間的體系能量守恒能量守恒（4）哈密頓對空間反演不變時的宇稱守恒空間反演 宇稱算符的本征值是1,的本征值是（偶宇稱）（奇宇稱）設體系的哈密頓算符 在空間反演后不變就和 可以有共同本征函數；宇稱守恒定律 : 體系能量本征函數可以有確定宇稱且不隨時間轉變；守恒量與定態的區分：1. 定態是體系

13、的一種特殊狀態,即能量本征態,而守恒量就是體系的一種特殊的力學量,即不顯含時間與對易的力學量2.在定態下,不顯含t 的一切力學量（不管是不是守恒量）的平均值及幾率分布均不隨時間轉變,而力學量只要是守恒量,就在一切狀態下（不管是不是定態）,它的平均值和幾率分布都不隨時間轉變；一 . 力學量用算符表示, 第三章小結F 的全部可能取值；1.力學量與力學量算符的關系全部本征值是且僅是相應力學量2 表示力學量的算符須具有的基本性質2. 1. 線性算符 , 即中意條件 :, 要求是線性的 , 而又是由諸力學量算符構成.疊加原理要求薛定諤方程必需是線性的厄密算符,；物理要求力學量全部可能值 觀測值 均為實數

14、 , 即力學量的本征值為實數, 只有厄密算符的本征值全是實數； 3 力學量算符本征函數具有的基本性質1. 正交歸一性 ,這是由算符的厄密性準備的.分 離譜連續譜2.算符的本征函數集具有完備性, .（a）分別值取值為的幾率（b） 連續譜：完備性的另一描述：分別譜連續譜 證 ：, 如上式 =, 就要求 4 力學量算符的平均值一般表示,分別譜連續譜上述波函數是歸一化的；二 . 幾種基本的力學量算符及本征函數1. 坐標算符本征值譜為連續譜, 全部實數本征值為的本征函數正交歸一性 : 完備性 : 2. 動量算符本征值為連續譜, 區間內全部實數值, 本征值為的歸一化本征函數正交歸一化條件: 完備性 : 2

15、.與軌道角動量算符常用球坐標表示有共同的本征函數角量子數磁量子數的本征函數正交歸一性 : 完備性 : 3.一維無限深勢阱的能量本征函數（寬度a）一維線性諧振子的能量本征函數4.厄米多項式逆推關系 :三 . 算符的對易關系 測不準關系1. 常見對易關系12342. 測不準關系.四 . 氫原子 電子在庫侖場中運動哈密頓量 :能量本征值 :能量本征函數: , 能級度簡并 .主要類型 : 1.算符運算 ; 2. 力學量的平均值第三章例題; 3. 力學量幾率分布.一 .有關算符的運算1.證明如下對易關系1.1 23 45 證 1 2 3一般地 , 如算符是任一標量算符, 有4 一般地 , 如算符是任一矢

16、量算符, 可證明有5=0同理：；2. 證明哈密頓算符為厄密算符 解 考慮一維情形為厄密算符 , 為厄密算符 ,為實數為厄密算符為厄密算符3 已知軌道角動量的兩個算符和共同的正交歸一化本征函數完備集為, 對應本征值試證明 : 也是和取: 共同本征函數分別為 : ； 證 ；是的對應本征值為的本征函數是的對應本征值為的本征函數又:可求出 :二 . 有關力學量平均值與幾率分布方面1.1 證明是的一個本征函數并求出相應的本征值；2 求 x 在 態中的平均值 解 即2.是的本征函數；本征值設粒子在寬度為a 的一維無限深勢阱中運動,如粒子的狀態由波函數描寫；求粒子能量的可能值相應的概率及平均值【解】寬度為 a 的一維無限深勢井的能量本征函數留意 : 是否歸一化波函數能量本征值顯現的幾率 , 顯現的幾率能量平均值另一做法 3 .一維諧振子在時的歸一化波函數為是諧振子的能量本征函數,求（1）的數值； 2）在所描寫的態中式中,式中態中能量的可能值,相應的概率及平均值；（3）時系統的波函數；（ 4）時能量的可能值相應的概率及平均值 解 1 , 歸一化,（2）,；,