1、牛頓迭代法的基本思想第1頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四它對應的迭代方程為 顯然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函數為 在 f(x)=0的根 的某個鄰域 內, 在 的鄰域R 內，對任意初值 ，應用由公式（1）來解方程的方法就稱為牛頓迭代法。它是解代數方程和超越方程的有效方法之一.返回下一頁上一頁第2頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四牛頓法的幾何意義由（1）式知 是點 處 的切線 與X軸的交點的橫坐標（如圖）。也就是說，新的近似值 是用代替曲線y=f(x)的切線與x 軸相交得到的。繼續取點 ,再做切線與x軸相交，又可得 。由圖可見，只要初值取的

2、充分靠近 ,這個序列就會很快收斂于 。Newton迭代法又稱切線法下一頁上一頁返回第3頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四返回下一頁上一頁第4頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四牛頓迭代法的步驟步一、準備。選定初始近似值 ，計算步二、迭代。按公式 迭代一次，得到新的近似值 ，計算步三、控制。如果 滿足 。 則終止迭代，以 作為所求的根；否則轉步四。此處 是允許誤差, 返回下一頁上一頁第5頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四而 。其中c是取絕對值或相對誤差的控制常數，一般可取c=1。步四、修改。如果迭代次數達到預定指定的次數N，或

3、者 則方法失敗；否則以 代替 轉步二繼續迭代。返回下一頁上一頁第6頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四例題例1:用牛頓法求下面方程的根 解 因 ,所以迭代公式為 選取 ,計算結果列于下表從計算結果可以看出,牛頓法的收斂速度是很快的,進行了四次迭代就得到了較滿意的結果.返回下一頁上一頁第7頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四例2 計算 的近似值。 =10-6 x0=0.88 解： 令x= 問題轉化為求(x)= x2-0.78265=0的正根由牛頓迭代公式 xk+1= xk-(xk)/(xk)= xk/2+0.78265/2xk 迭代結果 k 0 1 2

4、 3 xk 0.880000 0.884688 0.884675 0.884675 滿足了精度要求 =0.884675 返回下一頁上一頁第8頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四返回下一頁上一頁第9頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四2)修正Newton法求m重根迭代公式 注：若 是方程 的m重根，而 在 的某一鄰域內連續，則修正 Newton法是局部收斂的，并具有至少二階的收斂速度。 因為： 上一頁下一頁返回考察函數用定義求導第10頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四Tailor展開所以由定理2知至少是二階收斂上一頁下一頁返回第11頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四牛頓迭代法的優缺點1、優點：牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到很精確的解。這是牛頓迭代法比簡單迭代法優越的地方。2、缺點：選定的初值要接近方程的解，否則有可能的不到收斂的結果。再者，牛頓迭代法計算量比較大。因每次迭代除計算函數值外還要計算微商值。返回下一頁上一頁第12頁，共13頁，2022年，5月20日，15點15分，星期四設(x )在有根區間 (a,b)上存在二階導數，且滿足 （1）(a)(b)0。則牛頓迭代序列xi收斂