1、角平分線的再認(rèn)識2020年海淀區(qū)空中課堂初三年級數(shù)學(xué)學(xué)科第9課角平分線在幾何中占有重要地位，是解決許多問題的橋梁和紐帶角平分線把一個角分成相等的兩個部分，其“軸對稱功能”衍生出“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”以及“等腰三角形三線合一”、“三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等”等性質(zhì)，而角平分線與平行線相結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形，也常在解題中給我們帶來幫助，本課結(jié)合幾道比較典型的題目，給同學(xué)們介紹幾種常用的解題方法，僅供參考。角平分線的思考問題1.角平分線從何而來？ 射線OP使得1=2角平分線的定義：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。 問題2.角平分線有

2、何種性質(zhì)以及如何判定？ 角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點到這個角的兩條邊的距離相等已知AOP=BOP，點C在OP上，CMOA，CNOB垂足為M，NCM=CN已知AOB內(nèi)，點C在OP上，CMOA，CNOB垂足為M，N，CM=CNOP為AOB平分線角平分線的判定定理：在角的內(nèi)部到這個角的兩邊距離相等的點在這個 角的角平分線上問題3：如何做一個角的平分線？ ：已知AOB .求作：AOB 的角平分線OC （1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N； （2）分別以點M，N為圓心，大于 的長為半徑畫弧，兩弧在AOB的內(nèi)部相交于C； （3）畫射線OC，射線OC即為所求 問題4. 已

3、知角平分線我們可以如何應(yīng)用？利用角平分線進(jìn)行角的計算例題1:如圖，若B=42,C=70，AD平分BAC,你能求出圖中哪些角的度數(shù)呢？ BAC=68BAD=CAD=34ADC=76，ADB=104問題4. 已知角平分線我們可以如何應(yīng)用？利用角平分線構(gòu)造全等三角形例題2:如圖，已知點C是MAN平分線上一點，請你在射線AM上取一點B, 在射線AN上取一點D,使ABC ADC. 截取AB=AD（ABAC)截取AB=AD（ABAC)做CBAM于B，CDAN于D過C做BDAC角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構(gòu)造全等 過點D做DMAB，DNAC垂足為M，N已知ABC中，AD為BAC平分線ADM

4、ADN角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構(gòu)造全等 例題3:在ABC中，O是ABC和ACB平分線BE和CD的交點，A=60，求證：OD=OE過點O做OMAB，ONACOPBC垂足為M，N，PDOM EONOM =OP=ONA=60ABC和ACB平分線BE和CD交于點OBOC=120DOE=120DOM=EONOD=OE角平分線做輔助線的基本方法：2.截長補(bǔ)短構(gòu)全等在AB上截取AE=AC，連接DE延長AC至F使AB=AF，連接DFADE ADCADB ADF已知ABC中，AD為BAC平分線角平分線做輔助線的基本方法：2.截長補(bǔ)短構(gòu)全等在AC上截取AB=AE，連接DEABD AED例題4:

5、在ABC中，AD是角平分線， 2C=B，證明：AC=BD+AB AED=B=2C EDC=CDE=ECAC=BD+AB角平分線做輔助線的基本方法：3.截長補(bǔ)短構(gòu)全等例題3:在ABC中，AD是角平分線， 2C=B，證明：AC=BD+AB在AB延長線上截取AF=AC，連接FD1.例題3還有沒有其他證明方法2.角平分線做輔助線常見的方法還有哪些 ？請思考角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形已知在ABC中，BD是角平分線，CDBD于D延長BA，CD交于點EBCD BDEBCE為等腰三角形角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形例題5:在RtABC中，C=

6、90，AC=BC，BD是角平分線，AEBD于E 證明：BD=2AE延長BC，AE交于點FBCD ACFBAF為等腰三角形AF=2AEAF=BDBD=2AE角平分線做輔助線的基本方法：4.平行線造等腰三角形 已知ABC中，CD為BCA平分線過點D做BC平行線交AC于MDMC為等腰三角形過點B做AC平行線交CD延長線于N過點A做CD平行線交BC延長線于PBCN為等腰三角形ACP為等腰三角形角平分線做輔助線的基本方法：4.做平行線構(gòu)造等腰三角形 例題6:如圖，在ABCD中，線段AE，BF分別平分DAB和ABC，交CD于點E，F(xiàn)，線段AE，BF相交于點M證明：DF=CE.AB/CDDEA=EABAE

7、平分DABDAE=BAEDA=DECB=CFDA=CBDE=CFDAE=DEADF=CE角平分線做輔助線的基本方法： 總結(jié)圖中有角平分線，可向兩邊做垂線;圖中有角平分線，可將圖形對折看;角平分線加垂線，三線合一試試看角平分線平行線，等腰三角形出現(xiàn)。練習(xí)：已知如圖所示基本條件：（1）BE平分CBD（2）BCE+BDE=180（3）CE=DE以上三條其中兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，我們可以得到三個命題，請問：他們是否都是真命題？命題1:已知，如圖：BE平分CBD，BCE+BDE=180求證：CE=DE方法1:過點E做CBD兩邊的垂線 方法2：在BD上截取BF=BC方法3：在BC上截取BG=BD命

8、題1:已知，如圖：BE平分CBD，BCE+BDE=180求證：CE=DE方法4：做DEH=CEB交BD于點H方法5：做CEH=BED交BC于點H命題2:已知，如圖：BCE+BDE=180，CE=DE，求證：BE平分CBD過點E做CBD兩邊的垂線命題3:已知：BE平分CBD，CE=DE，求證：BCE+BDE=180課后練習(xí)：1.在ABC中， C=90，AD為BAC的平分線， DEAB，BC7，DE3.則BD的長為 ； 2.如圖，已知BQ是ABC的內(nèi)角平分線，CQ是ACB的外角平分線， 由Q出發(fā)，作點Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別 為M、N、K，則QM、QN、QK的關(guān)系是 ；3.在ABC中，AD是中線，1=2，CE/AB，若BAC=120 AB=12，AC=8則EC的長度 .課后練習(xí)答案：1：在ABC中，C=90，AD為BAC的平分線， DEAB，BC9，DE3.則BD的長為 6 ； 2.如圖，已知BQ是ABC的內(nèi)角平分線