1、 2.2 衍射的角譜理論2.2.1 單色平面波與本征函數在 z=0 平面上的復振幅分布為： 在 z=z0 平面上的復振幅分布為： 可見，單色平面波從 z=0 平面傳播到 z=z0 平面上，其在x-y平面上的相位分布不變，只是整體發生一個相移: 這說明，相干光場在給定兩平面間的傳播相當于通過一個線性空間平移不變系統，單色平面波的復振幅分布是這個系統的本征函數。而正好是線性平移不變系統的本征函數。 一定空間頻率對應一定的空間傳播方向，不同空間頻率對應不同的空間傳播方向。 用傳播角度表示空間頻譜角譜。 2.2.2 角譜的傳播孔徑平面觀察平面設標量光波函數用u(x,y,z;t)表示, 則波動方程為:對

2、于單色光場, 有以下形式: u(x,y,z;t)=U(x,y,z)exp(jt)(B)式 它與時間量無關, 是無源各向同性均勻介質中傳播的單色光場的復振幅必須滿足的波動方程. 對單色光場, 該式與(B)式是等價的. 在求解單色光場的空間分布時, 用亥姆霍茲方程更方便.代入上式, 得:(C)式該式稱為亥姆霍茲方程. 真空或空氣中, k = 2 / = 2/c , 稱為波數. 也就是要考慮角譜是如何從z=0平面傳播到z=z平面的。即:研究角譜在傳播過程中振幅和相位的變化。 現在要考慮:之間的關系，與Uz(x,y;z) 必須滿足亥姆霍茲方程下面將Uz(x,y;z) 代入方程求解，可得到:Uz(x,y

3、;z)是下列分量的線性疊加，各分量之間構成正交系，因此每一分量也必須滿足亥姆霍茲方程代入到亥姆霍茲方程得： 注意到角譜僅是z的函數，而復指數函數中不含有z，僅是x,y的函數，從而可得角譜所滿足的微分方程：它的一個基本解(另一個解是倒退波, 此處不予討論)是:由初始條件得：所以得到：該式給出了兩個平行平面之間的角譜傳播規律。 此式表明：已知z0平面上角譜后，利用上式可求出它傳播到z平面上的角譜. 再由IFT，即可求得其光場分布。 討論： 對于某一確定的(,), 該式表示沿空間某一確定方向傳播的平面波. 當(,)取不同值時, 該式表示光場中各個角譜分量的傳播情況. (1) 當 時,是實數.該式說明

4、: 經過 z 距離的傳播, 光場中各個平面波分量的振幅不變，只是改變了各自的相對相位. 由于各個平面波分量沿不同方向傳播，它們到達給定平面所經過的距離不同, 相位改變也不同。或者說相位改變量與空間頻率(或傳播方向)有關。(2) 當 時隨 z 的增大, 迅速衰減，在幾個波長的距離幾乎衰減為0。這些方向上的波動分量稱為倏逝波。在標量衍射近似條件下，可忽略不計。(3) 當 時,垂直于z軸，在z軸方向上的凈能流為0，對角譜傳播無貢獻因為:所以:Az(u,v)和A0(u,v)分別看成是線性不變系統輸出函數和輸入函數的頻譜，傳遞函數為： uv1 它表明，系統的傳遞函數相當于一個低通濾波器，具有有限的帶寬，

5、其截止頻率為1/。在頻域平面上，這個濾波器相當于半徑為1/的圓孔區域。 頻率小于1/，模為1，對各種頻率成分的振幅無影響，但要引入與頻率有關的相移。頻率大于1/，被截止。光波衍射傳播過程是一個低頻濾波過程。 從空域中來看，比波長還小的精細結構信息，或者說空間頻率高于1/的信息成分，在波長為的單色平面光波照明下，不能沿z方向向前傳播。 d sinq = nl for d lNo diffraction when d l. Information not transferred to plane P1.2.2.3 孔徑對角譜的作用（影響）衍射屏、衍射屏的復振幅透過率(或反射率）1 衍射屏及其復振幅

6、透過率(或反射率） 衍射屏：只要能以某種方式對入射光波的波面進行調制（包括振幅調制，相位調制等）,就可稱之為衍射屏。 衍射屏的復振幅透過率（反射率）: 衍射屏對入射光波調制作用的數學描述, 它是描述衍射屏宏觀光學性質的函數. 可用t(x,y)或r(x,y)表示.Uin(x,y)Uout(x,y)t(x,y)或t(x,y) 可實可復，一般可表示為:t(x,y) = A(x,y) expj(x,y)A(x,y) 是振幅透過率, (x,y)是相位透過率 當(x,y)= 常數, 但A(x,y) 常數時, 只對入射光波的振幅進行調制，稱之為振幅型的。 當A(x,y) = 常數, 但(x,y) 常數時,

7、只對入射光波的相位進行調制，稱之為相位型的。 當A(x,y) 常數, 且(x,y) 常數時, 對入射光波的振幅和相位都進行調制，稱之為復合型的。 如：1）光學均勻的平面平行玻璃板相位型2）非平行平面玻璃板，或非光學均勻的平行平面玻璃 板 相位型3）各種不透明屏上的開孔 振幅型 （以前講過的單縫、雙縫、矩孔、圓孔、光柵）4）圖像透過率片 振幅型，相位型，或復合型5）空間光調制器（SLM） 振幅型，相位型，或復合型2 衍射屏對角譜傳播的影響 空間受限的衍射屏，展寬了入射光波的角譜。空間受限越厲害，角譜展寬越大。卷積運算的展寬效應，導致：衍射屏的引入使入射光波的角譜(空間頻譜）展寬。在出射光波中除了

8、包含與入射光波相同方向傳播的分量之外，還增加了一些與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的平面波成分，這就是衍射波。對于用單位振幅的平面波垂直入射的情況: 出射光波的角譜等于衍射屏的角譜，大大展寬了。空域中空間上的限制，導致頻域頻譜的展寬。作業：（1）尺寸為ab的不透明矩形屏被波長為單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠屏后平面上透射光場的角譜。 （2）波長為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，孔徑振幅透過率為t(x0)=0.51+cos2x0/(3 ), 求緊靠孔徑透射場的角譜。第一章習題解答1.2 證明證：n為奇數01.4 計算下面兩個函數的一維卷積解：（1）改變量（2）折疊（3）位移當（3）位移當相乘、積分得卷積 如圖當如圖相乘、積分得卷積 0其它1.5 計算下列一維卷積解（1）21210其它0其它=2=1.6 已知的傅里葉變換為試求解：利用傅里葉變換的坐標縮放性質可求得答案1.7 計算積分解：利用廣義巴塞伐定理求解1.8應用卷積定理求的傅里葉變換解：111111-11/20其它1.9 設求解：1.10設線性平移不變系統的原點響應為試計算系統對階躍函數step(x)的響應。解：（1）、將f (x)和h (x)變為f ()和h ()，并畫出相應的曲線（2）、將h() h(-)只要將h()曲線相對縱軸折疊便