1、晶體幾何與衍射幾何1第1頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶體幾何幾何晶體學研究晶體的幾何特征原子有規(guī)則的排列晶體的周期性晶體的對稱性晶向與晶面的表示晶面間距的計算晶面投影倒易空間C 602第2頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四空間點陣+結(jié)構(gòu)單元=晶體結(jié)構(gòu)將晶體中的結(jié)構(gòu)基元抽象成一個幾何點,由幾何點的規(guī)則排列構(gòu)成空間點陣每個陣點具有相同的幾何環(huán)境點陣是一個無限的空間幾何圖形NaCl晶體結(jié)構(gòu)基元FCC點陣空間點陣3第3頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四在空間點陣中選取一個平行六面體,作為空間點陣的基本單元,稱為陣胞陣胞是晶體

2、點陣周期性和對稱性的代表陣胞簡單陣胞只在頂角上有陣點（周期性）復雜陣胞在其它位置上還有陣點（周期性和對稱性）4第4頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四（1）能同時反映空間點陣的周期性和對稱性（2）在滿足（1）的前提下，盡可能多的直角（3）在滿足（1），（2）的前提下，體積最小陣胞選擇的任意性與選取條件陣胞選擇的任意性5第5頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四陣胞的種類法國晶體學家布拉菲的研究表明：按上述三條原則選取的陣胞只可能有14種稱為布拉菲點陣6第6頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶系(1)立方點陣晶胞的大小用a,b,c

3、三個參數(shù)表示邊長，三個夾角，表示晶胞面的方向通常情況下，b,c的夾角為 ，a,c的夾角為 ，以a,b之間的夾角稱為這六個參數(shù)稱為晶胞的點陣常數(shù)立方晶系a=b=c, =90有簡單、體心和面心三種陣胞7第7頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶系(2)四方晶系四立或正方晶系a=bc, =90有簡單、體心兩種陣胞8第8頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶系(3)斜方晶系斜方晶系abc, =90有簡單、體心、面心和底心4種陣胞9第9頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶系(4)六方晶系六方晶系a=bc, = 90，=120只有簡單陣胞

4、10第10頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶系(5)菱方晶系菱方晶系a=b=c, = 90只有簡單陣胞11第11頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶系(6)單斜晶系單斜晶系abc, =90 ， =120有簡單和底心陣胞12第12頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶系（7）三斜晶系三斜晶系abc, 90 ， 只有簡單陣胞13第13頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四簡單陣點,P以任意頂點為坐標原點，以與原點相交的三個棱邊為坐標軸，分別用點陣周期（a、b、c）為度量單位簡單點陣的陣點坐標為000點陣（1

5、）14第14頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四底心點陣，C除八個頂點上有陣點外，兩個相對的面心上有陣點，面心上的陣點為兩個相鄰的平行六面體所共有。因此，每個陣胞占有兩個陣點。陣點坐標為000，1/2 1/2 0點陣（2）15第15頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四體心點陣，I除8個頂點外，體心上還有一個陣點，因此，每個陣胞含有兩個陣點，000，1/2 1/2 1/2點陣（3）16第16頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四面心點陣。F除8個頂點外，每個面心上有一個陣點，每個陣胞上有4個陣點，其坐標分別為000，1/2 1/2

6、0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2點陣（4）17第17頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶系與點陣14種布拉菲點陣18第18頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四課堂提問為什么只有4種點陣？為了體現(xiàn)陣胞的周期性，除平行六面體頂點外，只能在體心、面心或底心有附加點陣19第19頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四課堂提問根據(jù)7種晶系和4種陣胞，應(yīng)當有28種不同的組合，為什么只有14種不同的點陣呢？這是由陣胞選取的條件所限制的，在28種組合中，有些點陣由于不符合陣胞選取的條件而被另一些陣胞所取代例如，在立方晶系中，不能出現(xiàn)

7、底心點陣，因為與對稱性不符，正方底心點陣可以轉(zhuǎn)換為比其體積小的簡單點陣，面心正方可以轉(zhuǎn)換為體積更小的體心點陣單斜晶系的體心和面心分別可轉(zhuǎn)換為底心菱方晶系只能存在簡單點陣，底心與對稱性不符，體心和面心可轉(zhuǎn)換為簡單點陣六方晶系只存在簡單點陣，考慮到它的六次對稱性而又不違背周期性，選取三個菱方柱的簡單點陣拼成六棱柱形底心點陣三斜的對稱性最低，只能出現(xiàn)簡單點陣 底心正方 簡單正方20第20頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四一些常見的晶體金方鉛石金剛石石英21第21頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四典型金屬晶體結(jié)構(gòu)一般金屬晶體結(jié)構(gòu)為面心立方，體心立方和密堆

8、六方結(jié)構(gòu)FCC結(jié)構(gòu)：一個陣胞 中含有4個陣點BCC結(jié)構(gòu)：一個陣胞 中含有2個陣點22第22頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四典型金屬晶體結(jié)構(gòu)密堆六方,Hex(H)密堆六方結(jié)構(gòu)有兩種表示方法:平行六面體表示:晶胞中有兩個原子,坐標分別為000和2/3,1/3,1/2,雖然晶胞中的原子相同，但是，它們的幾何環(huán)境不同，因此，不屬于同一類等同點，不能構(gòu)成密堆六方點陣23第23頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四密堆六方,Hex(H)密堆六方結(jié)構(gòu)有兩種表示方法:三個單位平行六面體晶胞拼成的密堆六方:將結(jié)構(gòu)中的一個單位平行六面體和一個2/3,1/3,1/2處的

9、原子作為一個結(jié)構(gòu)基元，形成一個簡單六方點陣24第24頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四金剛石結(jié)構(gòu)金剛石為共價鍵，立方結(jié)構(gòu)晶胞中有8個原子，有4個 位于000；1/2，1/2，0； 1/2，1/2，0；0，1/2，1/2，它們屬于同一類共同點另4個在1/4，1/4 ，1/4；3/4，3/4，1/4；3/4，1/4，3/4；1/4，3/4，3/4，它們屬于另一類等同點取結(jié)構(gòu)基元為頂點+面心+對角線原子，組成面心立方點陣 25第25頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四CsCl結(jié)構(gòu)離子鍵，立方結(jié)構(gòu)Cs+離子坐標為000Cl-離子位于1/2，1/2，1/2兩

10、類原子不是同一種等同點取結(jié)構(gòu)基元為頂點+體心原子，組成面心立方點陣 26第26頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣的關(guān)系由上面的分析可知，有些晶體的實際結(jié)構(gòu)可能完全不同，但是，它們的空間結(jié)構(gòu)卻完全相同這是從晶體的周期性和對稱性考慮X射線衍射分析的結(jié)果，能了解晶體的空間點陣，具體的原子位置還需要另作考察晶體結(jié)構(gòu)=空間點陣+結(jié)構(gòu)基元27第27頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四點陣常數(shù)陣胞的大小和形狀用相交于某一頂點的三個棱邊上的點陣周期a,b,c以及它們的夾角,來描述b,c的夾角為a,c的夾角為a,b的夾角為28第28頁，共142頁，

11、2022年，5月20日，1點36分，星期四晶向和晶面指數(shù)29第29頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶面指數(shù)晶面的特性同一方向上的陣點平面 （1）相互平行 （2）等距 （3）各平面上的陣點分布情況完全相同不同方向上的陣點平面有不同的特性用了陣點平面的方向數(shù)表示Miller指數(shù)30第30頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶面指數(shù)的表示在一組平行的晶面中，任選一個晶面，量出它在三個坐標軸上的截距，并用點陣周期a,b,c為單位來度量寫出三個截距的倒數(shù)將三個倒數(shù)乘以分母的最小公倍數(shù)，把它們化簡為整數(shù)，并用園括號括起來，即為該組平行晶面的晶面指數(shù)31第31

12、頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四計算實例某晶面在坐標軸上的截距分別為1a，2b，3c其倒數(shù)為1，1/2，1/3化成整數(shù)為6，3，2該晶面的Miller指數(shù)為（632）32第32頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四立方體中的幾個主要晶面指數(shù)33第33頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶面指數(shù)與晶面族泛指某一晶面指數(shù)時，用(hkl)表示如果晶面與某坐標軸的負方向相交時，在其指數(shù)上加一個負號，如（1，-2，4）晶面與某坐標軸平行（不相交）時，其截距為無窮大，倒數(shù)為0，如（100）有些晶面雖不平行，但通過對稱變換后與另一組晶面平行

13、，等距，原子分布相同，這些晶面組成晶面族，用hkl表示34第34頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶向與晶向指數(shù)空間點陣中無論 哪個方向都可以畫出許多互相平行的、等同周期的陣點直線不同方向上的陣點直線的差別也取決于它們的取向35第35頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶向指數(shù)的確定方法在一族平行的點陣直線中引出過原點的陣點直線在該直線上任選一個陣點，量出它的坐標值并用點陣周期a,b,c來度量將三個坐標值乘或除以一個數(shù)，使之全部化成整數(shù)并用方括號括起來。如11136第36頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶向指數(shù)的一般表示當

14、泛指某晶向指數(shù)時，用uvw表示如果陣點的某個坐標值為負數(shù)，在相應(yīng)的指數(shù)上加負號，如1，-2，3有對稱關(guān)聯(lián)的等同晶向用表示37第37頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四立方晶體中的幾個主要晶向38第38頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四六方點陣的指數(shù)三軸表示的缺陷六方晶系的晶面指數(shù)用三軸表示時，不能反映其六次對稱性 例如：六個柱面表示為(100)、(010)、(-110)、(-100)、(1-10），從晶面指數(shù)中不能反映出它們屬于一個晶面族晶向指數(shù)同樣存在這個問題在六方晶系中一般使用四軸坐標法，稱為密勒-布拉菲指數(shù)39第39頁，共142頁，2022年

15、，5月20日，1點36分，星期四四軸表示法取a1,a2,a3在同一水平面上，它們的夾角為120,c與這個水平面垂直晶面指數(shù)用(hkil)表示h+k=-I晶向指數(shù)用uvtw表示u+v=-t40第40頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四兩種表示的換算用四軸表示的六個柱面指數(shù)為(10-10),(01-10),(-1100),(-1010),(0-110),(1-100)。它們明顯地表示出六次對稱和等同晶面的特征使用四軸表示雖然很好地反映了這種六次對稱性，但使用起來不直觀，通常情況下需要使用三軸表示法，因此，應(yīng)建立它們之間的換算關(guān)系41第41頁，共142頁，2022年，5月20日

16、，1點36分，星期四換算關(guān)系四軸轉(zhuǎn)三軸三軸轉(zhuǎn)四軸42第42頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶帶定義在晶體結(jié)構(gòu)或空間點陣中，與某一晶向平行的所有晶面均屬于同一個晶帶同一晶帶的所有晶面的交線互相平行，其中通過坐標原點的那條直線稱為晶帶軸，晶帶軸的晶向指數(shù)即該晶帶的指數(shù)晶帶軸中的晶面不一定是等同面，因為晶帶定義的唯一要求是它們有共同的交線（晶帶軸）43第43頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶帶定律同一晶帶中所有晶面的法線（hkl）都與晶帶軸uvw垂直，因此有hu+kv+lw=0 晶帶定律44第44頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，

17、星期四晶帶定律的應(yīng)用（1）若已知某晶帶uvw中的兩個晶面的晶面指數(shù)為(h1,k1,l1),(h2,k2,l2)可分別寫出晶帶定律，聯(lián)立解方程可得晶帶指數(shù)45第45頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶帶定律的應(yīng)用（2）如果某個晶面（hkl）同時屬于兩個晶帶u1v1w1,u2v2w2，同樣可計算出該晶面的晶面指數(shù)46第46頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶面間距d晶面間距是指相鄰的兩個平行晶面之間的距離，用dhkl表示，簡寫為d面間距越大的晶面，其晶面指數(shù)越低，晶面上的結(jié)點密度越大晶面指數(shù)、晶面間距與晶面上結(jié)點密度的關(guān)系47第47頁，共142頁，2

18、022年，5月20日，1點36分，星期四立方晶系正方晶系六方晶系面間距d48第48頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶面間距計算公式 49第49頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四晶面夾角晶面的夾角用它們的法線方向的夾角表示，即它們的晶面指數(shù)的乘積立方系中正方系中六方系中50第50頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易點陣引出倒易點陣概念的目的雖然用空間點陣來描述晶體的周期性和對稱性既方便又直觀，但是，在衍射實驗中直接引用晶體點陣結(jié)構(gòu)不方便。為了使衍射理論簡單化，同時為了把晶體結(jié)構(gòu)、點陣結(jié)構(gòu)、衍射實驗聯(lián)系起來，在晶體點陣的基

19、礎(chǔ)上，按照一定的方法，建立晶體點陣的另一種表示方法，稱為倒易點陣倒易點陣是研究晶體衍射不可缺少的工具51第51頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易點陣倒易點陣的定義是在晶體點陣的基礎(chǔ)上按一定對應(yīng)關(guān)系建立起來的空間幾何圖形，是晶體點陣的另一種表達形式倒易點陣參數(shù)： a* 、b*、 c*； *、*、* 52第52頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易點陣與正點陣的基本關(guān)系 倒易點陣與正點陣之間存在基本對應(yīng)關(guān)系a*b = a*c = b*a = b*c = c*a = c*b =0a*a = b*b = c*c =1這個關(guān)系給出了倒易基矢量的方向和長

20、度a*垂直b,c所構(gòu)成的平面（100面）b*垂直a,c所構(gòu)成的平面（010面）c*垂直a,b所構(gòu)成的平面（001面）倒易基矢量的長度與正點陣基矢量長度成反比例 53第53頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易基矢量的表示（1） 由倒易點陣與正點陣之間的基本對應(yīng)關(guān)系，可得式中、和分別是a*和a,b*和b,c*和c之間的夾角（在立方、正方等晶系中，夾角均為0，所以倒易點陣基矢量的長度為正點陣基矢量長度的倒數(shù)）54第54頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易基矢量的表示（2） 實際上，OP=ccos =d001，它是正點陣c基矢量在倒易點陣的c*軸上的

21、投影同理，acos =d100,b cos =d010由此可得：55第55頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易基矢量的表示（3） 倒易點陣可用統(tǒng)一的矢量方程表示倒易點陣的方向由正點陣的兩個基矢量的乘積決定，式中V為正點陣的單胞體積56第56頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易基矢量的表示（4） 倒易點陣可用統(tǒng)一的矢量方程表示由于V=abc=bca=cab,上式可寫成57第57頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四互為倒易的關(guān)系（1）從倒易點陣的定義和它們的關(guān)系式可以看出，它們是完全對稱的，可以得到V*=a*b*c*=b*c

22、*a*=c*a*b*58第58頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四互為倒易的關(guān)系（2）由上面的關(guān)系式可以得到同時也可以得出: (b*)*=b,(c*)*=c59第59頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四互為倒易的關(guān)系（3）利用a*a=1，可以得到利用矢量的復合積公式可得 (bc)(b*c*)=(bb*)(cc*)-(bc*)(cb*)=1 可得VV*=160第60頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四互為倒易的關(guān)系（4）倒易點陣基矢量的長度與正點陣的基矢量長度互為反比例某個基矢量的方向由另一個空間的其它兩個基矢量的矢量積方向確定正

23、點陣的倒易是倒易點陣，倒易點陣的倒易是正點陣。它們互為倒易關(guān)系倒易點陣與正點陣單胞體積互為倒易61第61頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易點陣的夾角由倒易點陣基矢量的統(tǒng)一表示式和矢量計算方法可得到62第62頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易點陣參數(shù)總結(jié)63第63頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四正點陣與倒易點陣的關(guān)系圖正點陣倒易點陣64第64頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易矢量與晶面的關(guān)系從倒易點陣原點向任意一個倒易陣點（H，K，L）所連接的矢量稱為倒易矢量，用符號r*表示 r* =

24、Ha* + Kb* + L c* 式中，H，K，L為整數(shù)倒易矢量的兩個基本性質(zhì)：（1）倒易矢量r*垂直于正點陣中的（HKL）面（2）倒易矢量的長度r*等于正點陣中（HKL）晶面的面間距的倒數(shù) r*=1/dHKL65第65頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四r*垂直（HKL）晶面OA=a/H,OB=b/K,OC=c/LAB=OB-OA=b/K-a/HBC=OC-OB=c/L-b/Kr*AB=(Ha*+Kb*+Lc*)(b/K-a/H)=1-1=0r*BC=(Ha*+Kb*+Lc*)(c/L-b/K)=1-1=0兩個矢量的點積為0，說明r*同時垂直AB和BC，即r*垂直（HK

25、L）晶面66第66頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四r*的長度=/1dHKL用n表示r*方向的單位矢量，即n= r*/|r*|令ON=（HKL）面的晶面間距dHKL由于ON是OA（OB，OC）在r*上的投影，有ON= dHKL=OAn=a/H r* /|r*| =a/H(Ha*+Kb*+Lc*)/ |r*|=1/ |r*| 因此有， |r*|=1/dHKL67第67頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易矢量與晶面的關(guān)系如果正點陣與倒易點陣具有共同的坐標原點，則正點陣中的晶面在倒易點陣中可用一個倒易矢量表示倒易陣點的指數(shù)用它所代表的晶面的面指數(shù)（干

26、涉指數(shù)）標定晶體點陣中晶面取向和晶面間距這兩個參量在倒易點陣中用倒易矢量r*綜合地表示出來68第68頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四倒易點陣與正點陣的關(guān)系利用倒易點陣與正點陣的對應(yīng)關(guān)系，由任何一個正點陣建立起相應(yīng)的倒易點陣，反過來，由任何一個倒易點陣也可以建立相應(yīng)的正點陣69第69頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四正點陣的矢量與倒易點陣平面的對應(yīng)關(guān)系根據(jù)正點陣與倒易點陣互為倒易的關(guān)系，可知：正點陣的點陣矢量r=ua+vb+wc垂直于同指數(shù)的倒易陣點平面（uvw)*，點陣矢量的長度r等于該倒易陣點平面（uvw）*的面間距d*uvw的倒數(shù)倒易陣點平

27、面的指數(shù)用與其垂直的正點陣矢量系數(shù)uvw表示70第70頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四衍射矢量方程與倒易矢量當一束X射線被晶面P反射時，假定N為晶面P的法線方向，入射線方向用單位矢量S0表示，衍射方向用單位矢量S表示，S-S0稱為衍射矢量71第71頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四衍射矢量方程與倒易矢量由布拉格方程可知，衍射矢量實際上相當于倒易矢量r*矢量方程72第72頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四反射球當一束X射線以一定的方向投射到晶體上時，可能會有若干個晶面族滿足衍射條件，即在若干個方向上產(chǎn)生衍射線73第73頁，

28、共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四反射球滿足布拉格條件的那些晶面（倒易陣點）一定位于以波長的倒數(shù)1/為半徑的球面上這個球稱為反射球，凡是與反射球面相交的倒易陣點都能滿足布拉格方程而產(chǎn)生衍射74第74頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四一個小晶體對X射線的衍射材料晶體結(jié)構(gòu)材料晶體結(jié)構(gòu)不可能是尺寸無限大的理想完整晶體。實際上是一種嵌鑲結(jié)構(gòu)鑲嵌結(jié)構(gòu)模型認為，晶體是由許多小的嵌鑲塊組成的，每個塊大約10-4cm，它們之間的取向角差一般為1-30”。每個塊內(nèi)晶體是完整的，塊間界造成晶體點陣的不連續(xù)性晶體的TEM照片75第75頁，共142頁，2022年，5月20日

29、，1點36分，星期四一個小晶體對X射線的衍射材料晶體結(jié)構(gòu)在入射線照射的體積中可能包含多個嵌鑲塊。因此，不可能有貫穿整個晶體的完整晶面X射線的相干作用只能在嵌鑲塊內(nèi)進行，嵌鑲塊之間沒有嚴格的相位關(guān)系，不可能發(fā)生干涉作用整個晶體的反射強度是各個晶塊的衍射強度的機械疊加TEM照片76第76頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四一個小晶體對X射線的衍射假定：小晶體形狀為平行六面體，晶體結(jié)構(gòu)為簡單點陣它的三個棱邊為N1a、N2b、N3c，其中N1，N2，N3分別為晶軸a,b,c方向上的晶胞數(shù)。晶體的體積為V=N1N2N3只在頂點上有一個原子，晶胞間的相干散射和原子間的相干散射類似。其

30、位相差可表示為：77第77頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四假定： 式中，r=ma+nb+pc 晶胞的坐標矢量倒易點陣中的流動矢量對于簡單點陣，一個晶胞的相干散射振幅等于一個原子的相干散射振幅Aefa對于復雜陣胞，一個晶胞的相干散射振幅應(yīng)為AeFHKL一個小晶體的相干散射振幅為：一個小晶體對X射線的衍射78第78頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四把相位公式代入可得AM=AeFHKLG散射強度IM與振幅的平方成正比，所以：|G|2稱為干涉函數(shù)一個小晶體對X射線的衍射79第79頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四由G將G乘以其共

31、軛復數(shù)得到|G|2，并寫成三角函數(shù)形式為：干涉函數(shù)是一個空間分布函數(shù)，表示了衍射強度I在空間的分布情況一個小晶體對X射線的衍射80第80頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四|G|2可以分解為三個方向的分量一個小晶體對X射線的衍射|G|2的函數(shù)曲線81第81頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四一個小晶體對X射線的衍射函數(shù)分析整個函數(shù)由主峰和副峰組成，兩個主峰之間有N1-2個副峰副峰強度比主峰強度弱得多，當N11000時，幾乎全部強度都集中在主峰，副峰強度可忽略不計由羅比塔法則對|G1|2的分子和分母分別求導，可得最大值為N12 82第82頁，共142頁

32、，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體散射干涉函數(shù)的每個主峰就是倒易空間中的一個選擇反射區(qū)，它的有值范圍為選擇反射區(qū)的中心是嚴格滿足布拉格定律的倒易陣點，即：干涉函數(shù)的物理意義是描述衍射線自身的強度分布函數(shù)一個小晶體對X射線的衍射83第83頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體散射反射球與選擇反射區(qū)的任何部位相交都能產(chǎn)生衍射。干涉函數(shù)在倒易空間中對應(yīng)倒易體元（選擇反射區(qū)）選擇反射區(qū)的大小和形狀是由晶體的尺寸決定的。因為干涉函數(shù)主峰底寬與N成反比，所以，選擇反射區(qū)的大小和形狀與晶體尺寸成反比一個小晶體對X射線的衍射84第84頁，共142頁，2022年，5月2

33、0日，1點36分，星期四小晶體散射一個小晶體對X射線的衍射85第85頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體散射選擇反射區(qū)的大小、形狀與晶體尺寸的關(guān)系一個小晶體對X射線的衍射86第86頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體散射一個小晶體對X射線的衍射87第87頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體散射選擇反射區(qū)大小和形狀與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系反射球與不同形狀的選擇反射區(qū)相交，便會得到不同特征的衍射花樣?？梢愿鶕?jù)衍射花樣的這種異常特征來研究晶體中的各種不完整性例如：晶粒的細化和微觀應(yīng)力使選擇反射區(qū)變大，衍射花樣就會變寬再如：應(yīng)

34、力的改變都會改變衍射花樣的形狀一個小晶體對X射線的衍射88第88頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體衍射的積分強度小晶體的散射強度為：小晶體的衍射強度就是指單位時間內(nèi)衍射線的總能量。也就是求主峰下的面積所代表的積分強度。在數(shù)學上，就等于將上式對整個選擇反射區(qū)積分，求出積分面積一個小晶體對X射線的衍射89第89頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體衍射的積分強度當某選擇反射區(qū)與反射球相交時，在角內(nèi)都是強度有值范圍，其積分強度為：為了使整個選擇反射區(qū)都能有充分的機會與反射球相交產(chǎn)生衍射，必須使晶體繞垂直入射線且過反射面的軸轉(zhuǎn)動當晶體繞軸轉(zhuǎn)動時，

35、就意味著倒易矢量r*繞軸轉(zhuǎn)動。當整個選擇反射區(qū)掃過反射球面時，倒易矢量r*的角度變化范圍為一個小晶體對X射線的衍射90第90頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體衍射的積分強度整個選擇反射區(qū)都參加衍射時的積分強度為：d 角在反射球面上所截取的面積為dS= d / 2當晶體轉(zhuǎn)動時，dS也移動一個相應(yīng)的距離，dS所移動的軌跡形成一個體元dV*當晶體轉(zhuǎn)動d角時，dS沿CP方向的位移為NP=PQcos。而PQOPd=2sindd /3 所以：一個小晶體對X射線的衍射91第91頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四一個小晶體對X射線的衍射小晶體衍射的積分強度

36、dV*= =92第92頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體衍射的積分強度式中V*和V0分別表示倒易空間點陣和正點陣的陣胞體積代回積分式可得：一個小晶體對X射線的衍射93第93頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體衍射的積分強度（4-30）式中，對|G|2的三重積分可寫為：在倒易空間中，選擇反射區(qū)最大變化范圍只能在1/2之間，因此把上式中的各積分極限均取1/2。以第一項為例進行積分一個小晶體對X射線的衍射94第94頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體衍射的積分強度一個小晶體對X射線的衍射95第95頁，共142頁，2

37、022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體衍射的積分強度一個小晶體對X射線的衍射96第96頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四小晶體衍射的積分強度現(xiàn)在所得到的公式還不能作為實際應(yīng)用的計算公式，因為在各種具體的實驗方法中還存在一些與實驗方法有關(guān)的影響因素各種不同實驗方法都有自己的衍射強度公式實際工作中很少需要計算勞厄法和轉(zhuǎn)動晶體法的衍射強度，但多晶粉末法衍射強度的測量和計算卻具有很重要的意義。在下一節(jié)中，我們將討論多晶粉末法的衍射強度一個小晶體對X射線的衍射97第97頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性

38、一個粉末多晶體試樣是由許多微小的晶粒組成。各晶粒的取向是任意分布的?？梢约俣總€粉末顆粒就是一個小晶體對于某個（HKL）晶面而言，在各晶粒中都能找到與之相同的晶面，但是，它們的取向卻是任意分布的。即這些晶面的倒易矢量分布在倒易空間的各個方向上98第98頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性由于試樣中晶粒的數(shù)目是足夠多的，所以，可以認為這些晶面的倒易陣點是均勻分布在半徑為r*的球面上，通常把這個球面稱為倒易陣點球面，簡稱為倒易球根據(jù)厄瓦爾德圖解原理，粉末多晶體衍射的厄瓦爾德圖解應(yīng)如圖所示。倒易球與反射球的交線是一個圓，從這個交線圓

39、向反射球心連線形成衍射線圓錐，錐頂角為4從交線圓向倒易球心連線形成反射面法線圓錐，半錐頂角為90-，入射線為兩個圓錐的公共軸 99第99頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性如果在與入射線垂直的位置放一張照相底片，則在底片上記錄的衍射花樣為強度均勻分布的衍射圓環(huán)100第100頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導從干涉函數(shù)的分析中知道，每條衍射線的強度都有一定的角度。當某（HKL）晶面滿足衍射條件時，衍射角有一定的波動范圍，反射面法線圓錐的頂角也有

40、一定的波動范圍。因此，反射面的法線圓錐與倒易球面相交成一個具有一定寬度的環(huán)帶只有那些法線穿過環(huán)帶的晶面才能滿足衍射條件，其余方向上的晶面則不能參加衍射101第101頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導所以，可以用環(huán)帶的面積S與倒易球的面積S之比來表示參加衍射晶面數(shù)的百分比。而指數(shù)一定的晶面數(shù)與晶粒數(shù)是一一對應(yīng)的，即有一個晶面參加衍射，就意味著有一個晶粒參加衍射。所以，參加衍射晶面數(shù)的百分比等于參加衍射晶粒數(shù)的百分比102第102頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強

41、度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導用q代表參加衍射的晶粒數(shù)，用q代表試樣中被X射線照射體積中的晶粒總數(shù)，則：倒易球面積為4（r*)2。環(huán)帶面積等于環(huán)帶的周長2r*sin(90-)乘環(huán)帶寬r*d因此有： 103第103頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導多晶體衍射中同一晶面族HKL各等同晶面的面間距相等，根據(jù)布拉格方程，這些晶面的衍射角2都相同。因此，等同晶面族的反射強度都重疊在一個衍射圓環(huán)上104第104頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍

42、射強度公式推導把同一族晶面HKL的等同晶面數(shù)P稱為衍射強度的多重因子105第105頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導每個衍射圓環(huán)中，實際參加衍射的晶粒總數(shù)應(yīng)為：粉末多晶體衍射圓環(huán)的總積分強度是以單晶體強度乘以參加衍射的晶粒數(shù)Q，反射球掃過整個選擇反射區(qū)，就相當于對d積分 106第106頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導粉末多晶體衍射圓環(huán)的總積分強度為：107第107頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉

43、末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導因為qV=V，表示被X射線照射的粉末試樣體積：在實際工作中所測量的并不是整個衍射圓環(huán)的積分強度，而是衍射圓環(huán)單位長度上的積分強度。如果衍射圓環(huán)上強度分布是均勻的，則單位長度上的積分強度I應(yīng)等于I環(huán)被衍射圓環(huán)的周長除108第108頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導假定圓環(huán)到試樣的距離為R，則衍射圓環(huán)的半徑為Rsin2，衍射圓環(huán)的周長為2Rsin2 式中的 稱為角因子。它由兩部分組成109第109頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四

44、粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導一部分是在單電子散射時所引入的偏振因子 ；另一部分是由衍射幾何特征而引入的 ，稱為洛倫茲因子。所以整個因子稱為洛倫茲偏振因子110第110頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導角因子與的關(guān)系洛倫茲因子是由具體的衍射幾何而引入的，所以各種不同衍射方法的角因子表達式也各不相同111第111頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導溫度對強度的影響固體物質(zhì)中的原子始終在不斷地振動溫

45、度升高時，振動幅度增大晶體中原子的中心一直不在其平衡位置上，而是向各個方向偏移室溫下Al的平均位移為0.17原子的熱振動使點陣中原子排列的周期性受到破壞，使晶體和衍射條件也受到破壞，衍射強度減弱112第112頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導溫度對強度的影響溫度因子溫度因子等于存在原子熱振動影響時的衍射強度IT與不存在原子熱振動的理想情況下衍射強度I之比根據(jù)固體比熱理論，溫度因子為：113第113頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公

46、式推導溫度對強度的影響溫度因子也可以表示為：f0為絕對0度時的原子散射因子114第114頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導溫度對強度的影響溫度越高，f值越小e-2M為校正原子散射因子的溫度因子，它是由Debye.P.首先研究出來的，后又經(jīng)過Waller.L.校正。所以也稱為Debye因子或Debye-Waller因子115第115頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導溫度對強度的影響溫度越高，f值越小M的表達式為：h:普朗克常數(shù)

47、，ma：原子質(zhì)量;k:玻爾曼常數(shù);:半衍射角;：X射線波長。：特征溫度平均值=hm/k 116第116頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導溫度對強度的影響為固體彈性振動頻率，(x)的數(shù)值列表4-4中117第117頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導溫度對強度的影響118第118頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體試樣特性衍射強度公式推導溫度對強度的影響對于一定的角，T越

48、高，M越大，而e-2M越小，即原子熱振動對衍射強度影響越大當T一定時，越大，M越大，e-2M越小，即在同一個衍射花樣中，角越大，原子熱振動對衍射強度的影響越大119第119頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度M的第二種表示法用原子偏離其平衡位置的均方位移來表示如果均方位移是各向同性的，則（4-42）（4-43）120第120頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度M的第二種表示法比較（4-41）式和（4-42）式，可得：（4-44）當T，即當x= /T1時，從表4-4可以看出，括號中的數(shù)值略等于1。

49、則有：121第121頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度M的第二種表示法特征溫度可以根據(jù)同一條衍射線在不同溫度下的強度變化來求出，因此，可以通過（4-44）式來計算原子的均方位移122第122頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度相干漫散射的產(chǎn)生原子熱振動除了使衍射線強度減弱外，另一個影響是產(chǎn)生相干漫散射相干漫散射的的作用是：使衍射花樣的背底升高，升高的程度隨角的增大而增大這種漫散射稱為熱漫散射，它的能量等于原子熱振動引起衍射線強度降低的能量123第123頁，共142頁，2022年，5月20日，1

50、點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度圓柱試樣對X射線的吸收124第124頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度圓柱試樣對X射線的吸收如果試樣的半徑r和線吸收系數(shù)都較大時，則X射線進入試樣的一定深度后就被全部吸收了，實際上只有試樣表層物質(zhì)參加衍射125第125頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度圓柱試樣對X射線的吸收衍射線在通過試樣時也被強烈吸收，因此透射的衍射線束強度衰減得很厲害但是，由試樣背反射的衍射線束受吸收的影響并不太大當試樣的r和一定時，角越大，試樣的吸收影響越小126第126頁，

51、共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度圓柱試樣對X射線的吸收在衍射強度公式中乘以一個系數(shù)A（）用來校正吸收對衍射強度的影響。它表示試樣吸收對衍射強度影響的百分數(shù)當沒有吸收的影響時， A（）。影響越大， A（）越小127第127頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度圓柱試樣對X射線的吸收A（）與、r的關(guān)系曲線如下圖附錄7中列出了圓柱試樣的吸收因子數(shù)據(jù)128第128頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體衍射絕對強度和相對強度在考慮了原子熱振動和吸收影

52、響之后，粉末多晶體的衍射強度公式為：在一般情況下，主要是比較衍射強度的相對變化，并不需要計算衍射強度的絕對值。在同一個衍射花樣中，儀器參數(shù)是相同的，相對強度用五個因子的乘積表示129第129頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四粉末多晶體衍射強度的積分強度粉末多晶體相對強度公式由于溫度因子和吸收因子都受角的影響，而且，它們的影響剛好相反。當角增大時，吸收因子增大而溫度因子卻減小。在角相近且精度要求不高時，可以認為它們可以互相抵消。最簡化的相對強度公式為：130第130頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四消光效應(yīng)對衍射強度的影響基本假設(shè)導致的結(jié)論在推導衍射強度公式時，不考慮X射線的多次反射、不考慮經(jīng)多次反射后反射線與入射線之間的相干作用導致的結(jié)論是： 衍射強度與參與衍射的試樣體積成正比：131第131頁，共142頁，2022年，5月20日，1點36分，星期四消光效應(yīng)對衍射強度的影響消光效應(yīng)當一束X射線照射到具有一定尺寸的晶體上時發(fā)生：試樣對X射線的吸收晶面多次反射的反射線之間的相干作用入射線與反射線的相干作用下層晶體的入射線強度比上層晶體的入射線強度弱當晶體具有相當?shù)暮穸葧r，使入射線強度衰減到0這種由于晶面多次反射和入