1、2023屆高三數(shù)學一輪大題專練5導數(shù)（零點個數(shù)問題1）1設(shè)函數(shù)，（1）證明：當，時，；（2）判斷函數(shù)在上的零點個數(shù)解：（1）證明：令，在，上單調(diào)遞增注意到，存在唯一的使且當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；注意到，（2），當時，單調(diào)遞減，在上有一個零點當時，由（1）知，無零點當時，令，且當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，當時，也無零點綜上：在上有唯一的零點2已知函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為1（1）求實數(shù)，的值；（2）若函數(shù)有且僅有三個零點，求實數(shù)的取值范圍解：（1）函數(shù)，則，當時，令，可得或，此時函數(shù)的增區(qū)間為，的減區(qū)間為，由，（2），因為函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為1，則有，解得，；當

2、時，令，可得，此時函數(shù)的減區(qū)間為，的增區(qū)間為，由，（2），因為函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為1，則有，解得，綜上所述，或，；（2）當時，若函數(shù)有且僅有三個零點，實數(shù)的取值范圍為；當，時，若函數(shù)有且僅有三個零點，實數(shù)的取值范圍為3已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)沒有零點，求的取值范圍解：（1）因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，由，可得，由于，則在上恒成立，令，故在上單調(diào)遞增，所以只需即可，所以，所以的取值范圍是，（2）的定義域為，令，當時，單調(diào)遞增，故存在，使得，即，即，兩邊取對數(shù)得，而在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故，故，將代入上式得，化簡得，因為

3、，當且僅當，即時取等號，所以，故，即的取值范圍是4設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求的取值范圍；（）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足（注是自然對數(shù)的底數(shù)）解：（），當時，由于，則，故，此時在上單調(diào)遞增；當時，令，解得，令，解得，此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（）由（）知，要使函數(shù)有兩個不同的零點，只需即可，對任意均成立，令，則，即，即，即，對任意均成立，記，則，令（b），得，當，即時，易知（b）在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時（b），不合題意；當，即時，易知（b）在，單

4、調(diào)遞減，此時，故只需，即，則，即；綜上，實數(shù)的取值范圍為，；（）證明：當時，令，解得，易知，有兩個零點，不妨設(shè)為，且，由，可得，要證，即證，即證，而，則，要證，即證，即證，而，即得證5已知函數(shù)（）若，求曲線在點，（1）處的切線方程；（）當時，求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由解：（）當時，則切線的斜率（1），所以切線方程為，即，所以曲線在點，（1）處的切線方程為（）的定義域為，令，解得，當時，與在區(qū)間上的情況如下：100極大值極小值在上遞增，在上遞減，在上遞增此時，所以在上只有一個零點，當時，由，得，（舍，所以在上有一個零點；當時，與在區(qū)間上的情況如下：10極小值此時，若時，所以在上無零點，若時，所以在上有一個零點，若時，所以有兩個零點綜上所述，當或時，在上有一個零點；當時，在上有兩個零點；，當時，在上無零點6已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)無零點，求實數(shù)的取值范圍解：（1）當時，所以，令，得，所以當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增所以為函數(shù)的極小值點，極小值為；無極大值（2）由，得當時，此時函數(shù)沒有零點，符合題意；當時，所以函數(shù)單調(diào)遞減又，且，所以函數(shù)有零點，不符合