1、有限元基礎有限單元法簡介一、有限單元法得以發展的原因必要性：現代工程建設的規模越來越大，場地條件也越來越復雜，采用傳統的解析法求解偏微分方程是不可能的。可能性：計算機技術的發展推動了數值方法的發展。數值方法的優點：能夠較好地考慮諸如介質的各向異性、非均質特性及其隨時間的變化、復雜邊界條件和介質不連續性等復雜工程和地質條件。攀枝花宜賓樂山二灘電站金沙江金沙江岷江大渡河長江雅礱江YibingPanzhihuaLeshang成都 昆明宜賓大理樂山攀枝花麗江瀾滄江金沙江雅礱江大渡河岷 江向家壩白鶴灘小灣溪洛渡 中國西南地區位于青藏高原東部，地質條件極其復雜。伴隨高原的隆升，金沙江、瀾滄江等深切成谷。印

2、度洋板塊塔里木盆地青藏高原柴達木盆地四川盆地四川盆地長江三峽工程地質工程問題研究高邊坡二灘大壩與水庫完工后的地下廠房地下廠房洞室群地下廠房洞室群的三維有限元計算交通基礎設施建設鐵路工程建設橋梁基礎的承載力與穩定性地下礦開采的井巷系統地下采礦的深度超過3000m地下采礦的分中段逐步進行地下采礦過程中既涉及巖體穩定，也涉及巖體破碎，還涉及散體的運動，如放礦。地下采礦引起的地表沉降與塌陷露天礦開采的全景露天開采深度也達300500m采石場邊坡二、常用的數值方法有限單元法：Ansys、Adina、2D-sigma、 3D-sigma、geo-slope、 SAP、 Compass、Algor、Cosm

3、os/m、 Strand等離散單元法：UDEC、其它自主開發的DEM程序邊界單元法：有限差分法：Flac-2D、Flac-3D無界元法：有限單元法：從50年代開始盛行，它將所考慮的區域分割成有限大小的小區域（單元），這些單元僅在有限個節點上相連接，根據變分原理把微分方程變換成變分方程，它是通過物理上的近似，把求解微分方程的問題變換成求解關于節點未知量的代數方程組的問題。 1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空學會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應力問題。他們把結構劃分成一個個三角形和矩形的“單元

4、”，利用單元中近似位移函數，求得單元節點力與節點位移關系的單元剛度矩陣。 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜志上發表了一組能量原理和結構分析論文。 1960年，Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（Finite Element）這一術語。 數學家們則發展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權余量法。三、有限單元法 在1963年前后，經過J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.H.Pian

5、（卞學磺）等許多人的工作，認識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發展了用各種不同變分原理導出的有限元計算公式。 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發現能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學有限元法的相同步驟求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權余量法特別是Galerkin法，導出標準的有限元過程來求解非結構問題。 我國的力學工作者為有限元方法的初期發展做出了許多貢獻，其中比較著名的有：陳伯屏（結構矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是

6、，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受到阻礙。四、有限元的應用范圍工程地質現象機制的研究工程區巖體應力邊界條件或區域構造力的反演工程巖（土）體位移場和應力場的模擬巖（土）體穩定性模擬巖土支護工程分析有限元法已經成功地應用在以下一些領域：固體力學，包括強度、穩定性、震動和瞬態問題的分析；傳熱學；電磁場；流體力學；巖土工程；工程地質等。有限元在巖土工程的應用：有限單元法適用于求解連續介質的小變形問題，可以考慮多種作用力的耦合。E礦坑及巖脈崩落體礦體交通系統重力型破壞應力型破壞E露天礦坑邊坡穩定性分析公路隧道圍巖穩定性評價中的應用最大主應力分色圖壩基開挖階段施加工程荷載堆石壩壩基開挖與大壩

7、填筑數值模擬Double lines boat channel170m大型巖石工程開挖過程模擬有限單元法的分析實例Lxdxq如圖所示受其自重作用的等截面直桿，上端固定，下端自由。設單位桿長的重力為q，桿長為L，橫截面面積為A，材料彈性模量為E，試求直桿各橫截面上的應力。xo材料力學解從直桿任一截面取一微段dx，并令該微段截面上的內力為N(x)，則該微段的伸長量為：1234R1R2R3xR4ijeuiuj有限元解其中成直線關系，它們反映了單元的位移形態，所以稱為形函數。單元的位移函數取則記則令寫成矩陣形式位移列向量則由幾何方程得：由于所以若記矩陣B反映了單元應變與節點位移之間得關系，稱之為應變矩陣由物理方程得：若記則其中矩陣G反映了單元應力與節點位移之間得關系，稱之為應力矩陣如果知道節點位移就可以求出單元應力和應變，如何求節點位移？可以利用虛功方程來分析單元得節點受力與節點位移得關系對于單元來說，節點力為外力外力所作得虛功為內力所作得虛功為根據虛功原理，單元虛功方程為由于而假定單元虛應變與節點位移具有如下關系則由于節點虛位移是任意的，所以若記則單元平衡方程其中矩陣Ke反映了單元的節點力與節點位移之間得關系，稱為單元剛度矩陣其中（r，si，j；rs時取“”；r s時取“”）則利用節點平衡方程，可以建立包括整個結構的以節點位移為未知量的線性代數方程組。節點1節點3節