1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：數(shù)學(xué)歸納法人教試驗(yàn)版（【本講訓(xùn)練信息 】B）一. 教學(xué)內(nèi)容：高三復(fù)習(xí)專題：數(shù)學(xué)歸納法二. 教學(xué)目的把握數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用四. 學(xué)問(wèn)分析【學(xué)問(wèn)梳理】數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n 的命題的一種方法,在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途,因而成為高考的熱點(diǎn)之一；近幾年的高考試題,不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論,而且加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考查,既要求歸納發(fā)覺(jué)結(jié)論,又要求能證明結(jié)論的正確性,因此,初步形成“ 觀看歸納猜想證明” 的思維模式,就顯得特殊重要；一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n 有關(guān)的命題,可按以下步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明

2、當(dāng)n 取第一個(gè)值n = n 0時(shí)命題成立；nk1時(shí)命題（2）（歸納遞推）假設(shè)n = k（kn 0,kN*）時(shí)命題成立,證明當(dāng)也成立；只要完成這兩個(gè)步驟,就可以肯定命題對(duì)從n 開頭的全部正整數(shù)n 都成立；上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)歸納法是推理規(guī)律,它的第一步稱為奠基步驟,是論證的基礎(chǔ)保證,即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn), 這個(gè)基礎(chǔ)必需真實(shí)牢靠；它的其次步稱為遞推步驟,是命題具有后繼傳遞性的保證, 即只要命題對(duì)某個(gè)正整數(shù)成立,就能保證該命題對(duì)后繼正整數(shù)都成立,兩步合在一起為完全歸納步驟,稱為數(shù)學(xué)歸納法,這兩步各司其職,缺一不行,特殊指出的是,其次步不是判定命題的真?zhèn)?而是證明命題是否具有傳遞性,假

3、如沒(méi)有第一步, 而僅有其次步成立,命題也可能是假命題；【要點(diǎn)解析】1、用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵在其次步,即 nk1 時(shí)為什么成立,nk1 時(shí)成立是利用假設(shè) nk 時(shí)成立,依據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出 nk1 時(shí)成立,而不是直接代入,否就nk1 時(shí)也成假設(shè)了,命題并沒(méi)有得到證明；用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題,但并不是全部的正整數(shù)問(wèn)題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明的,學(xué)習(xí)時(shí)要詳細(xì)問(wèn)題詳細(xì)分析；2、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤（1）對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤,特殊是查找 弄錯(cuò)；nk 與 nk1 的關(guān)系時(shí),項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被（2）沒(méi)有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必需要用的,假設(shè)是起橋梁作用的,橋

4、梁斷了就 通不過(guò)去了；（3）關(guān)鍵步驟模糊不清, “ 假設(shè) nk 時(shí)結(jié)論成立,利用此假設(shè)證明 nk1 時(shí)結(jié)論也 成立” ,是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步,也是證明問(wèn)題最重要的環(huán)節(jié),對(duì)推導(dǎo)的過(guò)程要把步驟寫完整,留意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性；【典型例題】例 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：n N * 時(shí),1 1 1 n；1 3 3 5 2 n 1 2 n 1 2 n 1解析： 當(dāng) n 1 時(shí),左邊 1 1,右邊 1 1,左邊 =右邊,所以等式成立；1 3 3 2 1 1 3假設(shè) n k k 1 時(shí)等式成立,即有 1 1 1 k,就當(dāng)1 3 3 5 2 k 1 2 k 1 2 k 1n k 1 時(shí),1 1 1 1 k

5、 11 3 3 5 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 3 2 k 1 2 k 1 2 k 3k 2 k 3 1 2 k 2 3 k 12 k 1 2 k 3 2 k 1 2 k 3k 1 k 1,2 k 3 2 k 1 1所以當(dāng) n k 1 時(shí),等式也成立；由,可知,對(duì)一切 n N * 等式都成立；點(diǎn)評(píng)：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式,命題關(guān)鍵在于“ 先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項(xiàng),項(xiàng)的多少與 n 的取值是否有關(guān),由 n k到 n k 1 時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng),增加怎樣的項(xiàng)；（2）在本例證明過(guò)程中, （ I）考慮“n 取第一個(gè)值的命題形式”

6、時(shí),需仔細(xì)對(duì)待,一般情形是把第一個(gè)值代入通項(xiàng),考察命題的真假,（II ）步驟在由nk到nk1的遞推過(guò)程中,必需用歸納假設(shè),不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法；此題證明nk11時(shí)如利用數(shù)列求和中的拆項(xiàng)相消法,即111113352k12k12k12 k31111112112112k13233352 kkk1 211k1,就這不是歸納假設(shè),這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證；2k2k3（3）在步驟的證明過(guò)程中,突出了兩個(gè)湊字,一“ 湊” 假設(shè),二“ 湊” 結(jié)論,關(guān)鍵是明確nk1時(shí)證明的目標(biāo),充分考慮由nk到nk1時(shí),命題形式之間的區(qū)分和聯(lián)系；例 2. 11112111n1121；234n2 n1n2n解析

7、：（1）當(dāng)n1時(shí),左邊1111 ,命題成立；2,右邊22（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立,即11111112342 k2kk11k121,2 k那么當(dāng)nk1時(shí),左邊1111k1112112k122342k12kk1111k1k1212k2k12 k21112；3k2k2k12kn上式說(shuō)明當(dāng)時(shí)命題也成立；由（ 1）（2）知,命題對(duì)一切正整數(shù)均成立；例 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1 的自然數(shù) n,不等式1 1 1 1 1 1 2 n 1成立；3 5 2 n 1 2解析： 當(dāng) n 2 時(shí),左 = 1 1 4,右 5 ,左 右,不等式成立；3 3 2假設(shè) n k k 2 且 k N * 時(shí),不等式成

8、立,即1 1 1 2 k 11 1 1,3 5 2 k 1 2那么當(dāng) n k 1 時(shí),1 11 11 13 5 2 k 11 2 k 1 2 k 2 2 k 2 1 2 k 1 1 2 2 k 1 2 2 k 14 k 2 8 k 4 4 k 2 8 k 3 2 k 3 2 k 12 2 k 1 2 2 k 1 2 2 k 12 k 1 1,2n k 1 時(shí),不等式也成立；由,知,對(duì)一切大于1 的自然數(shù) n,不等式都成立；點(diǎn)評(píng)：（ 1）此題證明 n k 1 命題成立時(shí),利用歸納假設(shè),并對(duì)比目標(biāo)式進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)目s小來(lái)實(shí)現(xiàn),也可以用上歸納假設(shè)后,證明不等式 k 1 2 k 1 1成立；2 k 1 2

9、（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)要留意兩個(gè)步驟缺一不行,第步pn0成立是推理的基礎(chǔ),第步pkpk1是推理的依據(jù)（即n0成立,就n 01成立,n 02成立, ,從而肯定命題對(duì)全部的自然數(shù)均成立）；另一方面,第步中,驗(yàn)時(shí)證nn0中的n 未必是 1,依據(jù)題目要求,有時(shí)可為 02,3 等；第步中,證明nk1命題也成立的過(guò)程中,要作適當(dāng)?shù)淖冃?設(shè)法用上歸納假設(shè)；例 4. 如不等式n11n12n1311a對(duì)一切正整數(shù)n 都成立,求正整數(shù)3 n24a 的最大值,并證明你的結(jié)論；解析： 取n1,11111231126；124令26a,得a26,而aN,2424所以取a25,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

10、,n11n123 n1125,1時(shí)24（1）n1時(shí),已證結(jié)論正確（2）假設(shè)nkkN時(shí),11125k1k23 k124就當(dāng)nk1時(shí),有111111k11k123k13k23 k33k111111111k1k23k13 k23 k33k4k1253 k123k14321,24k由于3k123 k149k6k18321,218kk所以3k123 k143210,k所以k11k13k1125,112124即nk1時(shí),結(jié)論也成立,由（ 1）（2）可知,對(duì)一切nN,都有n11n1231125,n24故 a 的最大值為25；例 5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：3n17n1nN*能被 9 整除；解析： 方法一：令fn

11、3n17n1nN*,（1）f131171127能被 9 整除；（2）假設(shè)fkkN*能被 9 整除,就fk1fk3k47k113k17k192k37kfk1fk92k37k能被 9 整除；由（ 1）（2）知,對(duì)一切nN*,命題均成立；方法二：（1）n1,原式47127能被 9 整除,（2）如nkk,1kN*,3k17k1能被 9 整除,就nk3k117k113k13167k13k17k13k167k217k3k17k118 k7k277knk1時(shí)也能被 9 整除；由（ 1）,（2）可知,對(duì)任何nN*,3 n17n1能被 9 整除；點(diǎn)評(píng)：證明整除性問(wèn)題的關(guān)鍵是“ 湊項(xiàng)”,而采納增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因

12、式分解等手段湊出 n k 時(shí)的情形,從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題獲證；n 1 2 n 1 2例 6. 求證：a a 1 能被 a a 1 整除,n N；解析：（ 1）當(dāng) n 1 時(shí),a 1 1 a 1 2 1 1a 2 a 1,命題明顯成立；（2）設(shè) n k 時(shí),a k 1a 1 2 k 1能被 a 2a 1 整除,就當(dāng) n k 1 時(shí),a k 2 a 1 2 k 1a a k 1 a 1 2a 1 2 k 1a a k 1 a 1 2 k 1 a 1 2a 1 2 k 1a a 1 2 k 1a a k 1 a 1 2 k 1 a 2 a 1 a 1 2 k 1；由歸納假設(shè),上式中的兩項(xiàng)均能被 a

13、 2 a 1 整除,故 n k 1 時(shí)命題成立；由（ 1）（2）可知,對(duì) n N,命題成立；例 7. 平面內(nèi)有 n 個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓都交于兩點(diǎn),且無(wú)三個(gè)圓交于一點(diǎn),求證：這 n 個(gè)圓將平面分成 n 2 n 2 個(gè)部分；解析： n 1 時(shí), 1 個(gè)圓將平面分成 2 部分,明顯命題成立；假設(shè) n k 時(shí), k 個(gè)圓將平面分成 k 2 k 2 個(gè)部分,當(dāng) n k 1 時(shí),第 k+1 個(gè)圓 C k 1 交前面 k 個(gè)圓于 2k 個(gè)點(diǎn),這 2k 個(gè)點(diǎn)將圓 C k 1 分成 2k 段,每段將各自所在區(qū)域一分為二,于是增加了 2k 個(gè)區(qū)域,所以這 k+1 個(gè)圓將平面分成 k 2 k 2 2 k 個(gè)2部分,

14、即 k 1 k 1 2 個(gè)部分；故 n k 1 時(shí),命題成立；由,可知,對(duì) n N * 命題成立；點(diǎn)評(píng)： 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是“ 找項(xiàng)” ,即幾何元素從 k 個(gè)變成 k+1 個(gè)時(shí),所證的幾何量將增加多少,這需用到幾何學(xué)問(wèn)或借助于幾何圖形來(lái)分析,在實(shí)在分析不出來(lái)的情形下,將 n=k+1 和 n=k 分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說(shuō)明即可,這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧；f例8. 設(shè)fnf111nf1, 是 否 存 在 關(guān) 于 自 然 數(shù)n 的 函 數(shù)gn, 使 等 式23n1f2n1gn1對(duì)于n2的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論；解析： 當(dāng)n2

15、時(shí),由f1g2f21,1112,1,得g2ff12112當(dāng)n3時(shí),由f1fg3f32得g3f13f2111 23,f11111猜想gnnn2；23下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n 2 時(shí),等式 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 恒成立；當(dāng) n 2 時(shí),由上面運(yùn)算知,等式成立；假設(shè) f 1 f 2 f k 1 k f k 1 k 2 成立,那么當(dāng) n k 1 時(shí),f 1 f 2 f k 1 f kfk k 1 f k k 1 f k kk 1 f k 1 1 kk 1k 1 f k 1 1當(dāng) n k 1 時(shí),等式也成立；由知,對(duì)一切 n 2 的自然數(shù) n,等式都成立；故存在函數(shù) g n n

16、,使等式成立；點(diǎn)評(píng)：（ 1）歸納、猜想時(shí),關(guān)鍵是查找滿意條件的 g n 與 n 的關(guān)系式,猜想的關(guān)系未必對(duì)任意的 n n N * 都滿意條件,故需用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）通過(guò)解答歸納的過(guò)程供應(yīng)了一種思路：可直接解出 g n,即f 1 f 2 f n 1g nf n 1n 1 n 2 1 n 3 1 n n 1 12 3 n 1f n 11fn n n 1n n n 2 , n N *；f n 1【模擬試題】1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“ 當(dāng)n 為正奇數(shù)時(shí),xnyn能被xy整除” 時(shí),其次步歸納假設(shè)應(yīng)寫成A. 假設(shè)n2 k1n*N*時(shí),命題成立N*,假設(shè)nk時(shí)成立,當(dāng)nk1 時(shí),左B. 假設(shè)n2k1n

17、N*時(shí),命題成立C. 假設(shè)n2 knN時(shí),命題成立D. 假設(shè)nknN*時(shí),命題成立2. 證明11112n11nn2342端增加的項(xiàng)數(shù)是A. 1 項(xiàng)B. k1 項(xiàng)C. k 項(xiàng)D. k 2 項(xiàng)（n）1時(shí)該3. 記凸 k 邊形的內(nèi)角和為fk,就凸k1邊形的內(nèi)角和fk1fkkA. 2B. C. 3D. 224. 某個(gè)命題與自然數(shù)n 有關(guān),如nkkN*時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí),該命題不成立,那么可推得A. 當(dāng)n6時(shí),該命題不成立B. 當(dāng)n6時(shí),該命題成立C. 當(dāng) n=4 時(shí),該命題不成立D. 當(dāng) n=4 時(shí),該命題成立5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明n11n12n13n1n11nN*時(shí),

18、由nak到24nk1時(shí),不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是A. 211B. 2112 k12C. 11212k11kk2 kkn的D. 11212k11k122 kk6. （5 分）在數(shù)列an中,a11,且S ,Sn1,2S 成等差數(shù)列（S 表示數(shù)列前 n 項(xiàng)和）,就S ,S ,S 分別為 _；由此猜想S n_；N*都成7. （5 分）已知123332433n3n13nnabc對(duì)一切n立,那么 a=_,b=_ ,c=_；8. （14 分）由以下各式：11,1111,11111113,11112, 你22323456722315能得出怎樣的結(jié)論？并進(jìn)行證明；9. （16 分）設(shè)數(shù)列an滿意a12,an1an1n,12,3；1fan,數(shù)列an（1）證明：a n2n1對(duì)一切正整數(shù)n 均成立；（2）令bnann,1,2,3,判定b 與bn1的大小,并說(shuō)明理由；n10. （14 分）已知函數(shù)fxx3x1,設(shè)數(shù)列an滿意a11,anx1bn滿意bn|an3|,Snb1b2bnnN*；（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明bn31n2n1（2）證明：Sn233；11. （ 16 分）（2022 年,江西）已知數(shù)列an滿意：a13,且2an23nann11n,2nN*；an1（1）求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式