1、第五節 橢 圓備考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1.把握橢圓的定義、幾何圖1.橢圓的定義、標準方程和幾何性質是高考的重點考查內形、標準方程及簡潔性質容,三種題型均有可能顯現,如2022 年山東 T10 等2.明白圓錐曲線的簡潔應用2.直線與橢圓位置關系問題始終是高考的重點,多以解答題3.懂得數形結合的思想. 形式考查,難度相對較大,如2022 年陜西 T19 等. 歸納 學問整合 1橢圓的定義 1滿意以下條件的點的軌跡是橢圓 在平面內；與兩個定點 F1、F 2 的距離之和等于常數；常數大于 |F1F2|. 2焦點：兩定點3焦距：兩焦點間的距離探究 1.在橢圓的定義中,如2a |F 1F 2

2、|或 2a|F1F2|,就動點的軌跡如何？的提示： 當 2a|F1F2|時動點的軌跡是線段 F1F2；當 2ab0 21ab0a圖形范疇axa bx b bybay a性質探究 對稱性對稱軸： x 軸、 y 軸對稱中心： 0,0 頂點A1a,0,A2a,0A10, a,A20,aB10, b,B20,b B1b,0,B2b,0 軸長軸 A1A2 的長為 2a 短軸 B1B2 的長為 2b焦距|F 1F 2|2c離心率ec a,e0,1 a,b,c 的關系c2a 2b 22.橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關系？提示： 離心率 ec a越接近 1, a 與 c 就越接近,從而ba 2c

3、2就越小,橢圓就越扁平；同理離心率越接近0,橢圓就越接近于圓自測 牛刀小試 2 21橢圓x 16y 81 的離心率為 A,B 兩點,在A.1 3B.1 2C.3D.232解析： 選 D a 216,b28,c 28,e c a2 2 . 2 22已知 F 1,F2是橢圓 x 16y 91 的兩焦點,過點F2 的直線交橢圓于 AF 1B 中,如有兩邊之和是10,就第三邊的長度為 A6 B5 C4 D3 解析： 選 A依據橢圓定義,知 AF1B 的周長為4a16,故所求的第三邊的長度為16 106. 3橢圓 x 2my 21 的焦點在 y 軸上,長軸長是短軸長的兩倍,就 m 的值為 1 1A. 4

4、 B. 2C2 D4 解析： 選 A 由題意知 a 21 m,b 21,且 a2b,就1 m4,得 m1 4. 2 24如橢圓 16 y m 21 過點 2,3,就其焦距為 A2 3 B2 5 C4 3 D4 5 解析： 選 C 把點 2,3的坐標代入橢圓方程得 m 24,所以 c 2 164 12,所以 c2 3,故焦距為 2c 4 3. 2 25設 F1、F2分別是橢圓 x 25 y 161 的左、右焦點,P 為橢圓上一點,M 是 F1P 的中點, |OM |3,就 P 點到橢圓左焦點的距離為 _解析： 由題意知 |OM |1 2|PF2|3,就 |PF2|6.故|PF 1|2 564.

5、答案： 4 橢圓的定義、標準方程例 12 1已知 ABC 的頂點 B、C 在橢圓x 3y 21 上,頂點A 是橢圓的一個焦點,2 .雙曲線 x3 2y 21 的且橢圓的另外一個焦點在BC 邊上,就ABC 是周長是 A2 3B6 C43 D12 22022山東高考 已知橢圓C：2 xa 22 yb 21ab0的離心率為漸近線與橢圓C 有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,就橢圓C 的方程為 2 2 2 2A. x 8y 21 B. x 12y 61 2 2 2 2C.x 16y41 D. x20y51 自主解答 1依據橢圓定義, ABC 的周長等于橢圓長軸長的 2 倍,即 4 3.

6、 2由離心率為 2得, a 3 2 4b 2,排除選項 B,雙曲線的漸近線方程為 yx,與橢圓的四交點組成的四邊形的面積為 16 可得在第一象限的交點坐標為 2,2 ,代入選項 A 、C、D,知選項 D 正確答案 1C2D 用待定系數法求橢圓方程的一般步驟1作判定：依據條件判定橢圓的焦點在x 軸上,仍是在y 軸上,仍是兩個坐標軸都有可能；2設方程：依據上述判定設方程2 xa 22 yb 21ab0或2 xb 22 ya 21ab0；3 找關系：依據已知條件,建立關于a、b、c 或 m、n 的方程組；4 得方程：解方程組,將解代入所設方程,即為所求 . 留意： 用待定系數法求橢圓的方程時,要“

7、先定型,再定量”,不能確定焦點的位置時,可進行分類爭論或把橢圓的方程設為 mx 2ny 21 m0,n0 . 1已知橢圓 G 的中心在坐標原點,長軸在 x 軸上,離心率為 2 3,且橢圓上一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為 12,就橢圓 G 的方程為 _2 2解析： 設橢圓方程為xa 2y b 21ab0,依據橢圓定義 2a12,即 a6,又c a2,32 2得 c3 3,故 b 2a 2c 236279,故所求橢圓方程為 36y 91. 2 2答案：x 36y 91 2 22已知 F 1,F2是橢圓 C： x a 2yb 2 1ab0的左、右焦點,P 為橢圓 C 上一點,且PF 1 PF 2.

8、如 PF 1F2 的面積為 9,就 b_. 解析： 設橢圓的焦點坐標為 c,0依據橢圓定義和 PF1F 2 是一個面積等于9 的直角三角形,|PF1|PF 2|2a,有 |PF1| |PF 2|18,|PF1| 2|PF 2| 24c 2. 式兩端平方并把 、兩式代入可得 4c 2364a 2,即 a 2c 29,即 b 29,故 b3. 答案： 3 橢圓的幾何性質及應用例 22 22022 安徽高考 如圖, F 1,F2分別是橢圓 C：x a 2y b 21ab0的左、右焦點,A 是橢圓 C 的頂點, B 是直線 AF2與橢圓 C 的另一個交點,F 1AF 260. 1求橢圓 C 的離心率；

9、2已知 AF 1B 的面積為 40 3,求 a,b 的值自主解答 1由題意可知, AF 1F2為等邊三角形,a2c,所以 e1 2. 2法一： a 2 4c 2,b 23c 2,直線 AB 的方程可為 y3xc將其代入橢圓方程 3x 24y 212c 2,得 B 8 5c,35 c . 3所以 |AB|1 38 5c0 16 5 c. 由 S AF 1B1 2|AF 1| |AB|sin F 1AB1 2a16 5 c22 3 5 a 240 3,解得 a10,b5 3. 法二： 設|AB|t. 由于 |AF 2|a,所以 |BF 2|ta. 由橢圓定義 |BF1| |BF 2|2a 可知,

10、|BF 1|3a t. 再由余弦定理 3at 2a 2t 22atcos 60 可得,t8 5a. 由 S AF 1B1 2a8 5a22 3 5 a 240 3知,a10, b5 3. 橢圓離心率的求法求橢圓的離心率或范疇 時,一般是依據題設得出一個關于a,b, c 的等式 或不等式,利用 a2b2c2消去 b,即可求得離心率或離心率的范疇2 2x y3橢圓 a 2b 21ab0的兩頂點為 Aa,0,B0,b,且左焦點為 F, FAB 是以角B 為直角的直角三角形,就橢圓的離心率 e 為 A.312 B. 51215 3 1C. 4 D. 4解析： 選 B 依據已知 a 2b 2a 2ac

11、2,即 c 2aca 20,即 e 2e10,解得 e 12 5,故所求的橢圓的離心率為 512 . 2 24橢圓 xa 2y51a 為定值,且 a 5的左焦點為 F,直線 xm 與橢圓相交于點 A,B, FAB 的周長的最大值是 12,就該橢圓的離心率是 _解析： 設橢圓右焦點為 F,由圖及橢圓定義知,|AF|AF|BF|BF|2a. 又 FAB 的周長為 |AF |BF| |AB|AF|BF| |AF| |BF| 4a,當且僅當 AB過右焦點F時等號成立,此時4a12,就 a3,故橢圓方程為2 2x 9y 51, 所以 c2,所以 ec a2 3. 答案：23直線與橢圓的綜合2 2x y

12、1例 3 如圖,橢圓 C：a 2b 21ab0的離心率為 2,其左焦點到點 P2,1的距離為 10.不過原點 O 的直線 l 與 C 相交于 A,B 兩點,且線段AB 被直線 OP 平分1求橢圓 C 的方程；2求 ABP 面積取最大值時直線 l 的方程自主解答 1設橢圓左焦點為 Fc,0,就由題意得2c 2110,c1,解得a1 2,a2.2 2所以橢圓方程為 x 4y 31. 2設 Ax1,y1,Bx2,y2,線段 AB 的中點為 M. 當直線 AB 與 x 軸垂直時,直線AB 的方程為x0,與不過原點的條件不符,舍去故可設直線AB 的方程為 ykxmm 0,由ykxm,消去 y,整理得2k

13、m 34k 2. 3x 24y21234k2x 28kmx4m2120,就 64k2m 2434k 24m2120,x1 x2 8km 3 4k2,x1x2 4m 34k 2122 .所以線段 AB 的中點 M 4km 34k 2,3m2 . 34k由于 M 在直線 OP：y1 2x 上,所以3m 234k得 m0舍去 或 k3 2. 此時方程 為 3x23mxm230,就x1x2m,312m 20,x1x2m 233.12m2. 所以 |AB|1 k 2 |x 1x2|39 6設點 P 到直線 AB 距離為 d,就d|82m| 3 22 22|m4| 13 . 設 ABP 的面積為 S,就S

14、1 2|AB| d63 m4 2 12m 2 . 其中 m2 3,00,2 3令 um12m 2m42,m2 3,2 3 ,um 4m4m 22m6 4m4m17m17所以當且僅當 m17時, um取到最大值故當且僅當 m 17時, S 取到最大值綜上,所求直線 l 方程為 3x 2y2 72 0. 直線與橢圓相交時的常見問題的處理方法涉及問題 弦長 中點弦或弦的中點處理方法 根與系數的關系、弦長公式 點差法5 2022 洛陽模擬 已知橢圓2 xa 22 yb 2 1ab0 的離心率為2 2,短軸的一個端點為M0,1,直線 l ：ykx13與橢圓相交于不同的兩點 A,B. 1如|AB|4 9

15、26,求 k 的值；2求證：不論 k 取何值,以 AB 為直徑的圓恒過點 M. 解： 1由題意知c a2,b1. 2由 a 2b 2c 2可得 c b1,a2,2橢圓的方程為x 2y 21. 1由 ykxx2y 221,3,得2k 21x 24 3kx1690. 16 9 k 2 42k 2116916k 264 9 0 恒成立設 Ax1,y1, Bx2,x2,就 x1x24k 3 2k 21,x1x216 9 2k 21,1k 2 9k 2 43 2k 214 26 9,|AB|1k2|x1x2|1k 2x1x224x1x24化簡得 23k4 13k 2100,即 k2123k 2100,解

16、得 k1. 2證明： MA x1,y11, MB x2,y2 1, MA MB x1x2y11 y21 1k 2x1x24 3kx1 x216216 1k 9 2k 21 2 9 2k 16k 21 160. 不論 k 取何值,以 AB 為直徑的圓恒過點 M. 1 個規律 橢圓焦點位置與 x 2、y 2 系數之間的關系給出橢圓方程2 2my n1 時,橢圓的焦點在x 軸上 . mn0；橢圓的焦點在y 軸上. 0mn. 1 種思想 數形結合思想在橢圓幾何性質中的運用求解與橢圓幾何性質有關的問題時要結合圖形進行分析,即使不畫出圖形,摸索時也要聯想到圖形當涉及到頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時

17、,要理清它們之間的關系,挖掘出它們之間的內在聯系2 種方法 求橢圓標準方程的方法1定義法：依據橢圓定義,確定a2,b2 的值,再結合焦點位置,直接寫出橢圓方程2待定系數法：依據橢圓焦點是在 x 軸仍是 y 軸上,設出相應形式的標準方程,然后依據條件確定關于 a、 b、c 的方程組,解出 a 2、 b 2,從而寫出橢圓的標準方程3 種技巧 與橢圓性質、方程相關的三種技巧1橢圓上任意一點 M 到焦點 F 的全部距離中,長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離,且最大距離為 ac,最小距離為 a c. 2求橢圓離心率 e 時,只要求出 a,b, c 的一個齊次方程,再結合 b 2a 2 c 2

18、就可求得 e0e0” 是“ 方程 mx 2ny21 的曲線是橢圓” 的 A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析： 選 B 由于當 m0,n0,n0, mn0. 2已知橢圓：2 x10my21 的焦距為 4,就 m 等于 m2A4 B8 C4 或 8 D以上均不對解析： 選 C由10m0,得 2m0,由題意知 10mm 24 或m210m4,解得 m4 或 m8. 3矩形 ABCD 中, |AB|4,|BC|3,就以 A,B 為焦點,且過 C,D 兩點的橢圓的短軸的長為 A2 3 B2 6 C4 2 D4 3 解析： 選 D 依題意得 |AC|5,所以橢圓的

19、焦距為 2c|AB|4,長軸長 2a|AC|BC|8,所以短軸長為2b2a 2c2216443. 42022 汕尾模擬 已知 P 為橢圓2 225 y 161 上的一點, M,N 分別為圓 x 3 2y 21 和圓 x3 2y 24 上的點,就 |PM |PN|的最小值為 A5 B7 C13 D15 解析： 選 B 由題意知橢圓的兩個焦點 F 1,F 2 分別是兩圓的圓心,且 |PF 1|PF 2|10,從而 |PM|PN|的最小值為 |PF1|PF 2| 127. 5以橢圓上任意一點與焦點所連接的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關系是 如圖,設線段是B相交A內切C相離D無法確定解析：

20、選 APF1,O1 是線段 PF 1 的中點,連接 O1O,PF2,其中 O 是橢圓的中心,F2 是橢圓的另一個焦點,就在 PF1F2 中,由三角形中位線定理可知,兩圓的連心線的長是|OO 1|1 2|PF 2|1 22a|PF 1|a1 2|PF 1| Rr. P 為直12 2c,e 的2 62022 新課標全國卷 設 F1,F2是橢圓 E：x a 22 yb 21ab0的左、右焦點,線 x3a 2上一點,F2PF 1 是底角為 30的等腰三角形,就E 的離心率為 A.1 2B.2 33 C. 4D.45解析： 選 C依據題意直線PF2 的傾斜角是 3,所以 3 2ac1 2|PF2|1 2

21、|F1F2|解得 e3 4. 二、填空題 本大題共 3 小題,每道題5 分,共 15 分 7如橢圓2 xa 22 yb 21ab0與曲線 x2y2a2b2 恒有公共點,就橢圓的離心率取值范疇是 _解析： 由題意知,以半焦距c 為半徑的圓與橢圓有公共點,故bc,所以 b 2c 2,即a 22c 2,所以 2c a.又 a1,所以 c2eb0的左、右頂點分別是 A,B,左、右焦點分別是 F 1,F2.如 |AF 1|,|F1F2|,|F1B|成等比數列,就此橢圓的離心率為 _解析： 依題意得 |F 1F 2| 2|AF 1| |BF 1|,即 4c 2ac aca 2c 2,整理得 5c 2a 2

22、,得 eca5 . 5答案：552 2x y 39已知橢圓 C：a 2b 21ab0的離心率為 2 .過右焦點 F 且斜率為 kk0的直線與橢圓 C 相交于 A,B 兩點如 AF 3 FB ,就 k _. 解析： 依據已知c a3 2,可得a24 3c 2,就b 21 3c 2,故橢圓方程為3x22 3yc 2 1,即24c3x 212y24c 20.設直線的方程為xmyc,代入橢圓方程得3m212y 26mcyc20.設 Ax1,y1, Bx2,y2,就依據AF3FB,得 cx1, y1 3x2c,y2,由此得 y123y2,依據韋達定理 y1 y2m 2cm24, y1y23 m c24,

23、把 y1 3y2代入得, y22m cm2 4, 3y 223 m c2 4,故 9m 2m 24,故 m 21 2,從而 k 22,k 2. 又 k0,故 k2. 答案：2 三、解答題 本大題共 3 小題,每道題 12 分,共 36 分 10已知 P 點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上,點 P 到兩焦點的距離分別為 4 53和2 53,過 P 點作焦點所在軸的垂線,它恰好過橢圓的一個焦點,求橢圓方程解： 設兩焦點為 F 1,F 2,且 |PF 1|4 53,|PF 2|23 . 5由橢圓定義知 2a|PF 1|PF2|2 5,即 a5. 由|PF1|PF 2|知, |PF 2|垂直焦點所在的對稱軸

24、,所以在 Rt PF2F 1 中, sinPF 1F 2|PF2| |PF1|1 2. 可求出 PF 1F2 6,2c|PF 1| cos 62 5,從而 b2a2c210 3 . 2,0斜率為1 的所以所求橢圓方程為2 x2 23y 1 或3x10 102y 51. 511已知橢圓2 G：x a 2y b26,右焦點為 2321ab0的離心率為直線 l 與橢圓 G 交于 A,B 兩點,以 AB 為底邊作等腰三角形,頂點為P3,21求橢圓 G 的方程；2求 PAB 的面積解： 1由已知得 c2 2,c a6 3,解得 a23,又 b2a2c24. 2 2所以橢圓 G 的方程為x 12y 4 1

25、. 2設直線 l 的方程為 yxm. 由yxm,得 4x 26mx3m2 120.2 212y 41,設 A,B 的坐標分別為 x1,y1, x2,y2x1b0,右焦點為ab因 AB1B2 是直角三角形,又|AB1|AB2|,c故B1AB2 為直角,因此 |OA|OB2|,得 b2. 結合 c 2a 2b 2 得 4b 2 a 2b 2,故 a 25b 2,c 2 4b 2,所以離心率 ec a2 5 5. 在 Rt AB 1B2中, OAB1B2,故S AB1B21 2|B1B2| |OA |OB2| |OA|c 2bb2. 0,故可設直線l 的方程由題設條件S AB 1B24,得 b 2

26、4,從而 a 25b 220. 因此所求橢圓的標準方程為x22y 41. 202由1知 B1 2,0, B22,0由題意知直線l 的傾斜角不為為 xmy2.代入橢圓方程得m 2 5y24my 160. 設 Px1,y1, Qx2,y2,就 y1,y2 是上面方程的兩根,因此 y1y2m 4m2 5,y1y2m 25,16又 B P x12, y1,B Q x22,y2,所以B P B Q x12x22y1y2my14my24y1y2m 21y1y24my1y2 16 16 mm 25 2116mm 2516 216m m 25 264,B P B Q 0,即 16m 2640,由 PB2QB2

27、,得解得 m2. 所以滿意條件的直線有兩條,其方程分別為x2y 20 和 x2y20. 1設 e1,e2分別為具有公共焦點 F1 與 F 2 的橢圓和雙曲線的離心率,P 為兩曲線的2 2一個公共點,且滿意 PF 1 PF 20,就e e1e2 1e 22的值為 _解析： 設橢圓的長半軸長為 a1,雙曲線的實半軸長為 a2,|F 1F 2|2c,由題意得 |PF 1|PF 2|2a1, |PF1|PF 2|2a2, |PF1| 2|PF 2| 22a 2 12a 22. 又 PF 1 PF 2 0,PF 1PF 2. |PF1| 2 |PF2| 2|F 1F2| 2,即 2a 2 1 2a 2 24c 2. a1 c 2a2 c 22,即1e 1 1 2 2,即 e e1e2 2 1 e 222 2. 答案： 2 2 22已知 F 1,F2為橢圓 x 100y 210b10的左、右焦點,1求|PF 1| |PF 2|的最大值；2如 F 1PF 260且 F1PF 2的面積為 64 3 3,求 b 的值P 是橢圓上一點解析： 1由題