1、人民大學物理系 韓強第三章、相互作用量子系統第零節、二次量子化回顧三步完成二次量子化（捷徑、不必嚴謹）1，單粒子力學量的對角表象簡單的、特殊的2，數數counting3，表象變換一般化多粒子問題的一次量子化描述N粒子態矢與力學量：缺點1：缺點2：對于粒子數不守恒的系統處理不方便！引入多粒子問題的二次量子化描述態矢與力學量分別進行二次量子化的態矢空間(態空間)Fock空間其中：HN 代表粒子數為 N 的全同粒子系統的Hilbert空間1，Fock空間的基矢占據數表示，Fock表示回憶：N粒子波函數的構造：Fock空間：將各種粒子數的全同粒子系統的態(Hilbert)空間作直和，組成一個巨Hilb

2、ert空間舉例：3D箱中的無自旋單粒子或或基矢：坐標算符：x, y, z的共同本征態動量算符：px, py, pz的共同本征態有自旋單粒子注：態指標i依賴于力學量的選取！1.2、Fock空間基矢的占據數表示該基矢描述了任意單粒子態i上粒子的占據情況；是力學量完全集（一般情況下，無窮多）的共同本征態！：完備性！：力學量完全集！2，單體力學量的二次量子化單體力學量(一次量子化的定義)：N個粒子各自的力學量之和.例如總動量，總動能，總外勢能，總角動量、總自旋，粒子數例：理想氣體的哈密頓量：單粒子哈密頓量一次量子化：N粒子單體力學量：單粒子力學量問題：如何二次量子化？第一步：取單粒子哈密頓量的本征態矢

3、為基矢：h的對角表象！第二步：數數核心思想：(1) 對角表象 (2) 數數注：看起來似乎(過分)簡單、甚至平庸！推廣到任意單體力學量的二次量子化一次量子化：取 f 的本征態作為單粒子空間的基矢：N粒子單體力學量：單粒子力學量：f的對角表象！F的二次量子化(對角表象)：注：疑慮仍然存在，看起來雖然簡單但似乎并不普遍！單體力學量的二次量子化用產生消滅算符表達，選擇單粒子基矢是單粒子算符f的本征基矢！任意單粒子基矢情況：最后一步：表象變換利用單粒子基矢的表象變換：得到產生、消滅算符的表象變換：代入總結：任意單體力學量在任意單粒子基下的二次量子化hermitian conjugate 例：粒子數算符在

4、任意單粒子基下都是對角的任意單體力學量的一次量子化粒子數的一次量子化二次量子化兩個有用的公式：公式1：公式2：證明：利用單粒子基的完備性利用分部積分，可以得到其等價形式：直接由坐標表象的結果推廣到有磁矢勢的情況：等價形式：嚴格的推導：動量的一次量子化例：總動能算符的二次量子化形式 (3D箱)得到：存在磁矢勢的情況：例：箱中的電子系統，其自旋的二次量子化例2：對于以下幾種單粒子(電子， 自旋)密度量的二次量子化1，2，3，粒子數密度電流密度自旋密度選擇坐標表象：例：粒子數密度物理意義： R附近體積元中的粒子數！XYZ0容易驗證：單粒子力學量：注：不要與第一章中的密度算符混淆，盡管存在聯系！例：自

5、旋密度算符例：電流密度算符一次量子化二次量子化一次量子化二次量子化推廣到有磁矢勢的情況：考察哈密頓量的含磁矢勢的部分：與磁矢勢對應的廣義力即為電流密度算符的積分！取f的單粒子本征矢作為基矢：同一單粒子態上的粒子之間的相互作用能不同單粒子態上的粒子之間的相互作用能相互作用在對角表象中的二次量子化數數二次量子化(過程略去)：下一步：表象變換其中：二體力學量的二次量子化完成！例：三維箱中的相互作用勢能的二次量子化（動量空間）一次量子化：通項二次量子化(坐標表象)：問題：如何化到動量表象？方法1：利用場算符的表象變換方法2：利用公式采用方案2：變量代換重要公式：最后一步，用到了互作用勢的傅里葉變換！匯

6、總：排斥勢常用形式！吸引勢常用形式！相互作用的物理過程散射：散射過程（忽略自旋）：初態是H0的任一本征態！第零節、練習題1）短程二體勢：2）長程二體勢：Fourier變換得到Fourier變換得到有外場的三維箱中的相互作用全同粒子系TOE其中：習題：零溫情況，3D箱，寫出以下基態的二次量子化形式1，N個玻色子(無自旋，有質量)處于基態2，N個電子處于基態例題：理想玻色氣體中的非對角長程序考察單粒子約化密度矩陣：單粒子約化密度算符在動量空間是對角的！考察本征值：是否存在非對角長程序？非對角長程序！完成對k的積分，有注意：例題：理想費米氣體中的Friedel Oscillation零溫下費米氣體中

7、的Friedel Oscillation思考題：溫度對Friedel Oscillation的影響（可以考慮高溫極限，即玻尓茲曼分布）第一.1節、二次型哈密頓量的對角化：線性代數里面的二次型函數Bilinear, Quadratic：上一節的哈密頓量的具有類似的形式一般的單體Hamiltonian厄密算符厄密性目標：將二次型哈密頓量對角化！找到本征能量與本征基！即：哈密頓量的矩陣形式：U：Unitary Matrix厄密矩陣的(形式)對角化哈密頓量的對角化對角化完成找到了(單粒子)本征能量與本征基！滿足代數：注1單粒子基的變換注2粒子數算符始終是對角的注3逆變換注4無相互作用多粒子問題再討論巨

8、配分函數：易證：練習題：利用注3！舉例1：耦合二能級（態）系統的對角化單粒子基：可以化為耦合二能級系統的問題：H2，磁場中的電子自旋，聚乙烯，Graphene(石墨烯)等等！總粒子數！的對角化！本征能量：變換矩陣U的解法本征方程的求解本征函數的求解過程：決定了u,v之間的相對位相！決定了u,v的幅度！一般約定 u 為正的實數，即位相為0！定出v的位相以下討論僅限于 t為負實數！不妨令：本征方程求解完畢！Hamiltonian的對角化：“成鍵態”與“反鍵態” ：+e-e+e單電子hamiltonian的一次量子化形式！難以嚴格對角化！H2中的電子問題(忽略相互作用)首先建立在雙質子勢場中的電子H

9、amiltonian的二次量子化形式其中：單粒子基的選取：二能級簡化！代表中心在R點的氫原子本征態矢！即：為基態矩陣元的計算：Tight Binding近似反鍵態！成鍵態！舉例2：H2的推廣一維分子鏈，能帶123N-1N1D鏈 周期邊條件晶格常數：a=1格點數：N鏈長：L=Na=N單粒子基：在位能：躍遷能：-t消滅算符：ii+1i-1ii+1周期性！如何對角化？利用Hamiltonian的平移對稱性本征態應是平面波！類比連續體系：利用場算符的Fourier變換！或1維分立體系(周期性邊條件)的平面波函數：幺正變換！態矢易證：利用：逆變換：代入Hamiltonian中的1項利用取厄密共軛，推出：

10、對角化完成！-22N = 20單粒子態密度的計算：舉例3：一維閉鏈的推廣二維正方網格 (周期邊條件)NN(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n+1)(m,n-1)第一.1節、練習1請對角化該哈密頓量，得到本征能譜，并分析其能帶寬度與 t 和 t 的關系。123N-1N一維閉鏈近鄰與次近鄰跳遷i+1i+2ii-1i-2第一.1節、練習21232N-12N周期邊條件！請對角化該哈密頓量，得到本征能譜，并作圖(N趨于無窮)注：一維閉鏈二聚化！123. . .N-1N1D開鏈開放邊條件哈密頓量的對角化思考題：1二維三角網格的哈密頓量的對角化思考題：2注：每個格點有6個最近鄰二維蜂巢網格的哈密頓

11、量的對角化Graphene思考題：3碳60分子：思考題：4碳納米管：思考題：5第一.2節、Bloch-de Dominisis 定理已對角化的單體廣義哈密頓量！目的：計算“偶數”個產生消滅算符乘積的系綜平均（Wick定理）定義 兩個算符乘積的“收縮”：定義： 2s 個算符乘積的“完全收縮系”：將乘積分成 s 對，并將每一對算符代之以相應的收縮，在費米統計下還須乘以(-1)P，其中P代表全部算符從原來位置變到各自收縮中相鄰位置時，所必需的對換數。其中P為由序列(123456)變到(152346)時的對換數，所以P = 3。2s 個算符的乘積可以構成Bloch-de Dominisis 定理：對于

12、已對角化的單體哈密頓量，產生消滅算符乘積的統計平均值等于這個乘積所有可能的完全收縮系之和。可以算出：意義：把一系列算符乘積的平均化成最小單位“二元”平均的乘積之和Bloch-de Dominisis 定理推論對于可對角化的單體哈密頓量，產生消滅算符乘積的統計平均值等于這個乘積所有可能的完全收縮系之和。引理 1：證明：Bloch-de Dominisis 定理的證明：引理 2：運動方程解法！引理 3：綜合引理2、3：對于產生或消滅算符 A引理 4：證明：下面只針對玻色統計，有歸納法：引理 5！對上式左右兩邊取統計平均：注解 1：利用引理 4，注解 2：2s2(s-1)重復以上過程，針對玻色統計情

13、況的Bloch-de Dominisis定理得證！作業：證明對于費米統計，思考：Bloch-de Dominisis定理與Wick定理的聯系與區別？為什么引入平均場方法？無相互作用的多粒子系統，只要知道單粒子態（本征能量、本征態矢），就可以知道多粒子系統的統計性質！（難度：單粒子哈密頓量的對角化）(b) 有相互作用的多粒子系，占據數表象不再是系統的本征表象（系統的本征能量 不再是單個能級上的粒子能量之和），因此需要知道整個系統的量子態！ 而不僅僅是單粒子態！（難度：多粒子哈密頓量的對角化）第一.3節、Hartree-Fock“自洽”平均場方法平均場方法化二體算符為單體算符的近似方法！有相互作用

14、時的Hamiltonian|n代表的是多粒子能量本征態統計力學變分原理：已知Hamiltonian：密度矩陣：熱力學勢：做任意分解：密度矩陣：其中：意義：對于一個難以對角化的哈密頓量，可以嘗試將其分解出一個容易對角化的部分，嘗試得到巨勢的較好的估計！證明：利用第一章引理Hartree-Fock近似將難以對角化的二體項近似為容易對角化的單體項的一種辦法，T=0 K時，二體項可以利用Wick定理進行分解：常數項！4個單體項！Hartree-Fock近似：T=0K時，代表基態平均！T0K時，代表系綜平均（密度矩陣待定）！HartreeDirectFockExchangeHartree平均場Fock平

15、均場注意：平均場哈密頓量中的系綜平均如何進行仍未可知！顯然綜合：Hartree-Fock“自洽”平均場方法！Hartree-Fock自洽方程（組）：其中：兩端都含有未知量更一般的：Hartree-Fock-Bogoliubov自洽平均場Hartree-Fock-Bogoliubov自洽方程（組）：特例：坐標空間的Hartree-Fock近似費米子自能的概念self energy：粒子間相互作用對單粒子能量的貢獻！HartreeDirectFockExchange第一.4節、金屬巡游鐵磁理論Hubbard模型的平均場解法電子間的相互作用(庫侖排斥)會導致自發磁化鐵磁：Fe：Tc=1043K Ni

16、：Tc=628KCo：Tc=1388K理想（無相互作用）電子氣的Pauli順磁性：FerromagnetismParamagnetism練習！單帶Hubbard模型：平均場近似：注意：區別于描述“局域”自旋的模型Heisenberg模型考慮空間均勻的情況：即平均值與空間位置無關已對角化！“理想”電子氣體！但是：m: 描述鐵磁-順磁相變的序參量！由相互作用導致的“等效” “自洽”的磁場Pauli順磁是由外磁場引起的，而鐵磁性是存在相互作用的情況下的“自發磁化”現象！Pauli順磁相比：建立自洽方程：0其中N代表格點總數，f(E)為費米分布函數關于平均場m,n的自洽方程組！求和化積分：用一個近似：

17、當費米能量在能帶底部附近時，可以將電子色散關系近似為拋物線型，從而態密度近似為3D自由電子態密度！結合Pauli順磁的知識，求解該方程組并不困難！ T=0K 的情況Stoner判據Stoner判據！圖解法！練習題：U至少要多大才能在零溫時達到飽和磁化！居里溫度Tc的確定：利用T-Tc時，m-0, 將右邊展開到m的線性項要求：二維正方晶格上Hubbard模型的反鐵磁(自旋密度波)態(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n+1)(m,n-1)Hartree平均場近似練習：1), 利用產生消滅算符的傅里葉變換將上述哈密頓量在動量空間中表達；2), 將變換后的哈密頓量對角化；3), 給出序參量m

18、的自洽方程，并在半滿(格點平均電子數=1)的情況下進行討論。自旋(電荷)密度波，超導等實驗現象建立模型哈密頓量平均場哈密頓量對角化序參量自洽方程，平均場自由能，熱力學量等Hartree-Fock近似二次型(單體)哈密頓量二體哈密頓量第二節、超導理論中的二次型“哈密頓量”的對角化二能級系統費米子代數：可見：目標是求巨配分函數：在1.1節中由于可以同時對角化！僅僅把 H 對角化無助于問題的解決！注意與1.1節的區別！需要把這個量對角化！廣義哈密頓量！常數不會帶來困難：Nambu 表示為什么Nambu表示？(Fermion) particle-hole transformation!回到1.1節的二

19、能級系統！c仍是費米子算符!本征能量：本征向量：令本征能量與本征向量對角化完成 ！稱為：Bogoliubov準粒子算符！Bogoliubov準粒子變換！Bogoliubov準粒子是粒子與空穴的線性組合！反對易關系驗證：Bogoliubov逆變換討論1：體系的基態能量(嚴格說應該是巨熱力學勢)T=0K代表Bogoliubov準粒子的數目對角化之后的討論基態“能量”與基態波函數討論2：體系的基態波函數準粒子真空態！二能級費米系統的Fock空間的基：或基態波函數的構建：利用準粒子真空的條件，確定疊加系數x!歸一化的波函數！直接驗證其他思路！本征態：薛定諤方程：等等！練習題1：求任意溫度下的平均粒子數

20、提示：利用練習題2：驗證任意溫度下序參量第三節、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對角化：二能級系統玻色子代數：Intuition：Nambu once again?Fail! Because no particle-hole transformation for boson!Whats this?Who knows!Solution：Bogoliuvbov quasiparticle transformation again!Bogoliubov 準粒子算符：粒子產生-消滅算符的線性組合！容易得到逆變換：u, v由一下條件確定1）準粒子滿足的對易關系2）使哈密頓量對角化逆變換！Bogoliuv

21、bov quasiparticle inverse-transformation!u, v的確定目標：對角化！要求：將代入以上哈密頓量，合并同類項聯立？對角化完成！將代入哈密頓量玻色超流費米超導總結：變換逆變換討論1：體系的基態能量，T=0K代表Bogoliubov準粒子的數目對角化之后的討論基態“能量”與基態波函數討論2：體系的基態基態是準粒子真空態！二能級玻色系統Fock空間的基：基態波函數的構建：利用準粒子真空的條件，確定疊加系數C(na,nb)!利用公式合并同類項即：12遞推關系！由遞推關系聯系的點構成線！如圖所示：同理，由001020由遞推關系，以及可知：綜合：相干態！對于費米超導二

22、次型哈密頓量的基態：問題：玻色超流哈密頓量的基態可以表達成相干態的形式，那么費米超流問題呢？練習題：單能級玻色超流哈密頓量1）、已知玻色子廣義哈密頓量：引入Bogoliubov變換其中 u, v 0練習：2）、上題中玻色子哈密頓量若含有線性項，即其中C為實常數，將該哈密頓量對角化思考題1：請計算玻色超流基態波函數的歸一化因子C(0,0)思考題2：對玻色超流體系，嘗試建立一種矩陣對角化方法？第二節補充、(電子)超導理論中的二次型哈密頓量的對角化更一般情況的討論2n能級系統n=1 時，回到第二節！Nambu表示：用計算機將2n*2n的厄密矩陣對角化即可！2n*2n維方程！稱為Bogoliubov-

23、de Gennes(BdG)方程！BdG方程第三節補充、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對角化更一般情況的討論n能級系統n=2 時，回到第三節！n=1時回到第三節習題！可以證明：引入廣義Bogoliubov準粒子變換：Bogoliubov準粒子變換的矩陣形式：分塊！由Bogoliubov變換引入的準粒子產生消滅算符須滿足矩陣形式：類似于歸一化條件！類似于正交條件！逆矩陣！代入Bogoliubov變換:得到逆變換：逆變換！參數 u, v 應使哈密頓量對角化：由此可以得到參數 u, v 滿足的方程。首先考察準粒子產生消滅算符滿足的運動方程：其次考察原粒子產生消滅算符滿足的方程：變換參數 u, v

24、所滿足的本征方程？將逆變換代入上式：并考慮到準粒子算符的運動方程，得到比較準粒子產生、消滅算符的系數本征方程！矩陣形式：決定本征值的方程！問題 1：本征值是 實數 嗎？考察內積：兩端取厄密共軛，并利用問題 2：久期方程是 2n 維的，應該有 2n 個本征態，但是最初裸玻色子只有n個能級，因此應該從2n的本征態中選擇n個！如何選取？引理：若存在本征值 E, 則E 也是本征值！由其中，E對應的本征態為-E 對應的本征態為：因此，久期方程的 2n 個本征值可分為 n 對 (E,-E)，為保證結果的正定性，應取大于0的 n 個本征值！第四節、玻色超流體的宏觀(Landau)與微觀(Bogoliubov

25、)理論1、液He4的超流現象回顧He4 氣體在4.2 K時變成液體，再降低溫度至=2.17 K，它突然變成沒有粘滯性的“超流體”。稱為相變，因為此時測量He4的比熱-溫度曲線像希臘字母。這是1938年蘇聯的卡皮察與美國的阿侖和邁斯納兩個研究組同時發現的。液He II液He I溫 度壓 強液He4相圖固體理想玻色氣體BEC“簡并”幾個月后，倫敦提出一個定性解釋：He4原子是由2個質子和2個中子形成的He4原子核加上核外2個電子組成的，這樣He4原子就是玻色子：具有交換對稱性。對于這樣一個玻色子系統，依照氦原子的質量和密度計算，玻色-愛因斯坦凝聚發生在溫度為3.14K1.925超流更加復雜！2、L

26、andau超流理論元激發方法元激發(elementary excitation)：宏觀多體系統基態附近的低能激發態可以看做是獨立的最小的激發單元的集合，這些最小激發單元就是元激發，往往具有確定的能量、動量、自旋等性質，有時稱為準粒子。因此低能激發態可以看做是準粒子(元激發)構成的理想氣體。舉例：固體中的聲子phonon，金屬中的準電子，準空穴，磁性材料中的磁振子magnon。Landau 1941年首次引入元激發（準粒子）的新概念比基態能量高的激發態。具有一定能量、質量和速度的“準粒子”， 描述系統基態因相互作用或溫度激起的集體運動模式。朗道認為，基態代表超流體，低能激發態對基態的偏離相當于在

27、基態背景(超流體成分)上產生了由準粒子組成的理想氣體(正常流體成分)。在溫度T是絕對零度時，不存在準粒子；在0T時，He-II中存在由兩類的準粒子(聲子和旋子)組成理想氣體。溫度超過，氦液體是正常液，這就是He-相。朗道預言了兩種準粒子(聲子和旋子)的能量、速度關系 Landau元激發方法的物理意義：(b) 有相互作用的多體系，占據數表象不再是系統的本征表象（系統的本征能量 不再是單個能級上的粒子能量之和），因此需要知道整個系統的量子態！ 而不僅僅是單粒子態！（難度：多粒子薛定諤方程的解）無相互作用的多體系統，只要知道單粒子態（本征能量、本征態矢），就可以知道多體系統的統計性質！（難度：單粒子

28、薛定諤方程的解）(c) 把有相互作用的多體系“想象”成是由無相互作用的“準粒子”構成的理想氣體。 “準粒子”的能動量關系等性質可以根據實驗給予合理假設。1964 年授予朗道諾貝爾物理學獎的理由也是“他對于凝聚態物質特別是液氦的先驅性理論”- 這個理論并沒有冗長繁雜的數學推演，有些甚至是靠物理直覺“ 猜”出來的1958年，蘇聯原子能研究所為慶賀Landau五十歲生日，送給他的刻有其在物理學上最重要的10成果的大理石板朗道十誡 1) 密度矩陣(1927年)；2)自由電子抗磁理論(1930年)；3)二級相變理論(1936-1937年)；4)鐵磁磁疇理論(1935年)；5)超導體的混合態理論(1934

29、年)；6)原子核統計理論(1937年)；7)液氦超流理論(1940-1941年)；8)基本粒子的電荷約束理論(1954年)；9)費米液體的量子理論(1956年)；10)弱相互作用的CP不變性(1957年)。 Landau唯象理論給出的主要結果： Donnelly et al., J. Low Temp. Phys. (1981) Glyde et al., Euro Phys. Lett. (1998)超流臨界速度的Landau判據：T = 0K 時，體系處于基態超流體，保持宏觀靜止，一個障礙物在超流體中以某一初速度v運動，如圖：超流體M障礙物的動量：障礙物的能量：若障礙物與超流體相互作用，產

30、生1個準粒子(聲子)：則障礙物狀態變為：根據能量守恒、動量守恒：類似的效應：Cherenkov radiation（切倫科夫輻射）高速帶電粒子在非真空的透明介質中穿行，當粒子速度大于介質中的光速時所產生的一種特殊輻射。 3、 稀薄玻色氣體的Bogoliubov平均場理論聲子激發的微觀理論“近”理想簡并玻色氣體：“近”理想：弱相互作用綜合：3個尺度的關系稀薄氣體量子效應廣義哈密頓量：含相互作用的哈密頓量（非二次型），一般情況下無法嚴格求解。需要引入近似！以下僅在 T=0K下展開討論！T=0K, 采用 Ritz 變分原理試探波函數的思想性質：A)N: 粒子數平均值！BEC的相干態描述！B)互作用項

31、：導致粒子的散射！即使在零溫下粒子也不再完全處于k=0的單粒子能級上！試探波函數：N0代表仍然凝聚在k=0上的平均粒子數，待定優化參數！N0 O(N), 與N同數量級！如何處理相互作用項？考察：常數項！化學勢修正項粒子數不守恒項：待解哈密頓量！如何對角化？鋪墊：第三節、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對角化對角化的結果：基態波函數：基態熱力學勢（一部分）：“組裝”總的波函數：熱力學勢：N0的確定（1）（化學勢與N0的關系）：再代入準粒子色散關系：其中聲速的定義：1，從微觀上驗證了Landau的猜測2，臨界超流速度與相互作用有關！N0的確定（2）：積分：非線性方程，迭代求解：零級近似：BEC凝聚

32、！1級近似：總結：通過平均場方法（變分）和Bogoliubov變換，把相互作用的玻色體系化為無相互作用的（理想）準粒子（玻色）氣體！相互作用的玻色子無相互作用（理想）的準粒子裸粒子準粒子單粒子色散單粒子色散化學勢化學勢平均粒子數平均準粒子數依賴于溫度（準粒子不守恒）討論：通過對一個微觀哈密頓量在平均場近似下的研究，Bogoliubov給出了線性準粒子（聲子）激發譜，從而可以解釋低溫比熱的T3的行為。這給朗道唯象理論提供了微觀基礎！但該模型是在弱相互作用條件下（稀薄玻色氣體）成立的，真正的He4超流體是強相互作用的（玻色液體），這一點要注意！實驗已經證實，He4超流體在零溫下凝聚在k=0上的玻色

33、子數目，本征能量是關于nk的多元線性函數則費米液體的本征態同樣可以用nk標記，即|nk，其本征能量為E(nk)，是關于nk的多元(非線性)函數。朗道基本假設思想：絕熱銜接 adiabatic continuity工具：絕熱定理 adiabatic theorem瞬時能量本征態：朗道基本假設的論證舉例：在無限深勢井中足夠緩慢的引入拋物線型勢，從而給出能量本征態之間的一一對應！并且標記本征態的量子數不變！受此啟發，朗道設想（思想實驗）可以無窮慢的引入費米子之間的相互作用力, 那么理想費米氣體的能量本征態將一對一的演化為費米液體的能量本征態，且標記它的量子數保持不變！理想費米氣體費米液體幺正算符！解

34、薛定諤方程，得到時間演化算符：負無窮遠時刻，系統處于瞬時本征態按照絕熱定理，從負無窮遠時刻的瞬時本征態(費米氣體H0)演化到0時刻的瞬時本征態(費米液體H=H0+Hint)！費米液體的本征態！容易驗證：準粒子算符是費米子算符！Dressed particle (區別于Bare particle)其中，我們定義了Dressed Particle(準粒子)根據 絕熱定理：費米液體的能量本征態可以按照理想費米氣體同樣的原則構造，即它們都可以用同一組“量子數”nk（nk=0,1）標記，本征能量是nk的函數。其本征能量為E(nk)，是一個關于nk的多元函數。注意本征能量的形式是未知的！推論1：粒子數與準

35、粒子數相同推論2：粒子的總動量與準粒子的總動量相同推論2：粒子的總自旋與準粒子的總自旋相同理想費米氣體與費米液體的基態的對應：1T=0K 時理想費米氣體中裸粒子的分布1T=0K 時 費米液體中準粒子的分布推論3：費米面的繼承，費米液體基態準粒子費米海、費米面可以看出：費米氣體與費米液體具有同樣的費米動量（繼承）！費米液體中元激發準粒子，準空穴元激發費米液體中準粒子-準空穴激發態！對費米海的最小偏離！1總之：盡管費米子間有相互作用的存在，但只要把粒子改成準粒子（dressed），1，對本征態的描述方法（占據數表示）不變！其量子數不變2，準粒子遵從費米統計3，費米面不變，費米波矢與費米動量不變！4

36、，準粒子數與裸粒子數相同(費米面包圍的面積不變)，等等。推論4（朗道基本假設）：費米液體的內能是分布的多元函數（當k連續時，內能是分布函數的泛函）因此可以將U(nk) （多元函數）在零溫分布nk0附近Taylor展開！因此考察的是對準粒子費米海的偏離！注：在連續極限下，分布是k的連續函數，U是分布的泛函，相應的展開就是泛函展開！小量！多元函數的泰勒展開（2階）！參考二元函數的泰勒展開：引入：零溫時準粒子的“能量”“元激發”間的相互作用元激發：分布相對于費米海的偏離！總結朗道費米液體理論以準粒子代替裸粒子，并假設費米液體低能激發態與費米氣體低能激發態存在一一對應關系。費米氣體：費米液體：嚴格的！

37、根據假設可知內能是分布的多元函數(泛函)在基態分布附近做Taylor展開得到的以上公式！朗道費米液體參數考慮到費米液體中準粒子的色散與費米氣體的相似性：m*：準粒子的有效質量朗道參數！回憶He-II推論5：費米液體的熵是分布的多元函數費米氣體的熵：根據對應關系，費米液體的熵與費米氣體具有同樣的形式。推論6：費米液體的巨勢是分布的多元函數非零溫時準粒子的分布利用：非零溫時準粒子的分布滿足極值條件:利用：看起來與理想氣體的平衡態分布一致，但也要留意相互作用帶來的區別聯立的方程組！準粒子能量1)，有效質量的確定理想氣體裸粒子色散：費米能附近態密度：準粒子色散：費米能附近態密度：2)，朗道參數fk,k

38、的確定，多級展開用到了近似：對于低能量激發k,k在費米波矢kF附近，因此相互作用近似只依賴于方向角用Legendre函數展開！一般來說只需要低級展開！考察液體的動量：2.1)，f1與有效質量m*的關系準粒子群速度：分部積分對k的求和化為積分，并采用球坐標；另外只有z方向(k方向)的分量積分不為零！代入：2.2)，f0a與磁化率關系，費米液體對外場的響應有自旋費米子的內能公式：相互作用的分解：外場B，Pauli順磁：平均場近似（多次發明的理論）：與自旋有關的相互作用！區別FD分布的符號f與相互作用的符號f平衡態分布：磁化強度：1階Taylor展開！對零溫，零場分布非偏離與k,k的相對方向有關分布各向同性，與k長度有關，與方向無關！與費米氣體的結果相比，分子上有來自m*的修正，分母上有來自元激發相互作用的修正！Wilson Ratio比熱系數：磁化率費米氣體的結果元激發相互作用的修正對于費米液體，Wilson比值近似是個常數，但又不同于費米氣體！關鍵是費米液體不是準粒子理想氣體！2.3)，f0s與壓縮率的關系，費米液體對“電勢”的響應有自旋費米子的內能公式：相互作用的分解：“電勢”：平衡態分布與費米氣體的結果相比，分子上有來自m*的修正，分母上有來自相互作用的修正！無自旋情況：He3的朗道費米液體參數P