1、高三數學 -復習資料復習筆記 高中數學復習筆記 （整理于 2022-8 ） 一, 函數圖象 1,對稱： （ x）與（）關于 y 軸對稱,例如： x y a與 y a x （ a 0 且 1）關于 y 軸對稱 a （ x）與 f （ x）關于 x 軸對稱,例如： 1 1y x 2 與 y x 2 關于 x 軸對稱 （ x）與 f （）關于原點對稱,例如： 1 1y x 2 與 y （ x）2關于原點對稱 （ x）與 1 （ x）關于對稱,例如： 10 x 與關于對稱 （ x）與 f 1 （ x）關于 x 對稱,如： 10 x 與 （ x）關于 x 對稱 0 解出 x, 21 得： 1=2 注：

2、偶函數的圖象本身就會關于 y 軸對稱,而奇函數的圖象本身就會關于原點對稱,例如： y 2 x 圖象本身就會關于 y 軸對稱, y 3 x 的圖象本身就會關于原點對稱； （ x）與（ ax）關于 a對稱（ x ax a） 222注： 求（ x）關于直線 0（留意此時的系數要么是 1 要么是 -1 ）對稱的方程,只需由 y 再代入（ x）即可,例如：求 21 關于直線 1=0 對稱的方程,可先由 1=0 解出 1, 1,代入 （ 1）整理即得： 23=0 2,平移： （ x） f （ ）先向左（ 0）或向右（ 0）或向左（ 0）或向右（ 12時,就 f （ x）在 a, +）上單調遞增 （ a）

3、+1 （ 2）當 x a 時, f （ x） 1=（ x 2 12） 2 3 4如 a 1 時,就 2f （ x）在（, 2 a 單調遞減,（ a） +1 當 a 1 時,就 2f （ x）在（, a上最小值為 f （ 1 ） 3 2 41 綜上所述,當 a 2時, f （ x）的最小值為 3a 4當 1 a 1 時, f （ x）的最小值為 2 22 a+1 2 / 17 第 2 頁,共 17 頁高三數學 -復習資料復習筆記 當 a 1 時, f （ x）的最小值為 23 42, 利用均值不等式 典例：已知 x, y 為正數,且 22 y 1,求 x 12 y 的最大值 2y 2 21 ）

4、2分 析 ： 12 y 2 2x（1 y ） 2x（1y 2） （ 即 設 法 構 造 定 值 222 x（2 1 y ） 22 x 2 1 y 32故最大值為 3222244注： 此題亦可用三角代換求解即設 , y 求解,（解略） 23, 通過求導,找極值點的函數值及端點的函數值,通過比較找出最值； 4, 利用函數的單調性 典例：求 t 232 t 12的最小值（分析：利用函數 x 1在（ 1, + ）的單調性求解,解略） x 5, 三角換元法（略） 6, 數形結合 例：已知 x, y 中意 x 2 y 2 4 ,求 y x 6 5 的最值 5,抽象函數的周期問題 已知函數（ x）中意 f

5、（ 1）= f （ x）,求證： f （ x）為周期函數 證明：由已知得 f （ x） = f （ x 1）,所以 f （ 1） = f （ x）= （ f （ x 1） = f （ x 1）即 f （ t ）（ t 2）,所以該函數是以 2 為最小正周期的函數； 解此類題目的基本思想：靈敏看待變量,積極構造新等式聯立求解 二,圓錐曲線 1, 離心率 圓（離心率 0）,橢圓（離心率 0e1）； 2, 焦半徑 橢圓： 1 0 , 2 0 （左加右減） （其中 P 為橢圓上任一點, F1 為橢圓左焦點, F 2 為橢圓右焦點） 2 注： 橢圓焦點到其相應準線的距離為 a c c 雙曲線： 1 0

6、, 2 0 （左加右減） （其中 P 為雙曲線上任一點, F1 為雙曲線左焦點, F 2 為雙曲線右 焦點） 3 / 17 第 3 頁,共 17 頁高三數學 -復習資料復習筆記 注： 雙曲線焦點到其相應準線的距離為 c a2c 拋物線：拋物線上任一點到焦點的距離都等于該點到準線的距離（解題中常用） 圓錐曲線中的面積公式： （F 1 , F 2 為焦點） 設 P 為橢圓上一點, F1 PF2 = ,就三角形 122 的面積為： b tan 2三角形中利用余弦定理整理即可 注： 122 22 為定值 F1 PF2 = ,就三角形 1 2 2 的面積為： b cot 2設 P 為雙曲線上一點, 注：

7、 122 22 為定值 附：三角形面積公式： 1底 高 1abc 1（ ） = （ R 為 外 接 圓 半 徑 , r為 內 切 圓 半 徑 ） 224R 2= l l al bl cl 為三角形周長的一（這就是著名的海倫公式） 半 三,數列求和 裂項法：如 an 是等差數列,公差為 d（ ai 0 ）就求 sn bbb時可用裂項法 a1a 2 a2 a 3 an an 1求解,即 b sn = d（ 1a1 111111） = bn 1a2 a2 a3 an an a1an 求導法： （典例見高三練習冊 p86 例 9） 分析：可分解為一個等差數列和一個等比數列然后分 倒序求和：（典例見世紀

8、金榜 p40 練習 18） 分組求和：求和： 1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6- 組求和 求通項：構造新數列法典例分析：典例見世紀金榜 p30 例 4構造新數列 1即可 an 四,向量與直線 向量（ a, b）,（ c, d）垂直的充要條件是 0向量（ a, b）,（ c, d）平行的充要條件是 0附：直線 1 1 1 0 與直線 2220 垂直的充要條件是 A1 2 B 1 20直線 1 1 1 0 與直線 2220 平行的充要條件是 A1 B 221 0 向量的夾角公式： 4 / 17 第 4 頁,共 17 頁高三數學 -復習資料復習筆記 a b | a | | b | 注

9、1： 直線的“到角”公式： l1 到 l2 的角為 k2 k1 k2 k1 ；“夾角”公式為 k2 k1 11k2 k1 （“到角”可以為鈍角,而“夾角”只能為 0,2之間的角） 注 2： 異面直線所成角的范疇： （0, 2 注 3： 直線傾斜角范疇 0 , ） 注 4： 直線和平面所成的角 0 , 2 注 5： 二面角范疇： 0 , 注 6： 銳角：（0, 2） 注 7： 0 到 2的角表示（ 0, 2 注 8： 第一象限角（ 2k , 2 2） 附：三角和差化積及積化和差公式簡記 S + S = S CS + S = CS C + C = C C C C = S S 五,集合 1,集合元素

10、個數的運算 （ A B C）（ A）+ （ B）+ （ C）（ A B ）（ B C）（ ）（ ）（結合圖形進行判定可 更為快速） 2,從集合角度來懂得充要條件：如 ,就稱 A 為 B 的充分不必要條件, （即小的可推出大的）此時 B 為 A 的必要不充分條件,如,就稱 A 為 B 的充要條件 經緯度 六,二項開放式系數： 0 1 2 n nn 2 （其中 02 C4 + n 1 1=2 ； Cn 35=2 n 1 ） n n n nn n nn例：求（ 2+3x） 100 開放式中 1,全部項的系數和 2,奇數項系數的和 3,偶數項系數的和 方法：只要令 x 為 1 或 1 即可 5 / 1

11、7 第 5 頁,共 17 頁高三數學 -復習資料復習筆記 七,離散型隨機變量的期望與方差 E（ ） ； E（b） D（ ） 2； D（ b） =0 2 2（ E ） 特殊分布的期望與方差 （ 0, 1） 分布：期望： ；方差 二項分布： 期望 ；方差 注： 期望表達平均值,方差表達穩固性,方差越小越穩固； 八,圓系,直線系方程 經過某個定點（ x0, y0 ）的直線即為始終線系,可利用點斜式設之（ k 為參數） 一組相互平行的直線也可視為始終線系,可利用斜截式設之（ b 為參數） 經過圓 f （ x,y）與圓（或直線） g（ x,y）的交點的圓可視為一圓系,可設為： f （ x,y） （ x,

12、 y） =0（此方程不能代表 g（ x,y）=0）；或 f （ x, y）（ x,y）=0（此方程不能代表 f （x, y） =0） 附：回來直線方程的求法：設回來直線方程為 y a,就 b n xi yi n xy i12n2 xi n x i 1 a y b x 九,立體幾何（一） 1,歐拉公式： 2（只適用于簡潔多面體） 利用歐拉公式解題的關鍵是列出 V, F, E 之間的關系式 棱數 1（每個頂點動身的棱數之和） = 1（每個面的邊數之和） （常用） 2 2 2,長方體的三度定理 長方體的一條對角線的長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和 推論 A, 如對角線與各棱所成的角為 2,

13、, ,就： 2221222B, 如對角線與各面所成的角為 , , ,就： 6 / 17 第 6 頁,共 17 頁高三數學 -復習資料復習筆記 222222213,三角形“四心” 重心：三邊中線交點 垂心：三邊高線 交點 內心：角平分線交點（內切圓圓 心） 外心：垂直平分線交點（外接圓 圓心） 如三角形為正三角形,就以上“四心”合稱“中心” 引申： 如三棱錐三個側面與底面所成的角相等,就該棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的內心 如三棱錐三條側棱與底面所成的角相等,就該棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的外心 如三棱錐三條側棱兩兩垂直,就該棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的垂心 如該三棱 錐為

14、正三棱錐,就其頂點在底面的射影為底面三角形的中心 4,經度緯度 九,立體幾何（二） 一,“共”的問題 1多點共線：先證其中兩點確定一條直線,然后其余點均在該直線上；舉例：正方體 中,設線段 A1C 與平面 1D1交于 Q,證： B, Q, D1共 2多線共點：先證兩直線共點,其余的過該點；舉例：三個平面兩兩相交于三條直線,求證：三 線； A1B1C1D1條交線共點,或相互平行； 3多線共面：先找到兩條確定一個平面,然后證其它的均在平面內；舉例：四條直線兩兩相交不 共點,求證：四條直線共面； 二,“角”的問題 1異面直線所成角（ 0 ,90 ：接受平移轉化法,構造一個含 的三角形,由余弦定理求得

15、 請 自己補充例子,這個很重要 ； 2直線與平面所成角 0 ,90 ：關鍵是找射影,最終通過垂線,斜線,射影來求所成角；舉例： 求正四周體的側棱與底面所成的角； 3二面角 0 ,180 ：關鍵是作二面角,方法有定義法,作棱的垂面,三垂線定理和公式法 .S ；舉例：求正四周體的相鄰兩側面所成角 1/3. 三,“距離”的問題 1點面距：可通過定義法或等體積法；舉例：邊長為 的距離 3 a ； 3a的正方體 A1B1C1D1中,求 A 點到平面 A1 2線面距：轉化為點面距； 舉例：邊長為 a 的正方體 A1B1C1D1 中,求 A1B 到平面 B1 1 的距離 3a ； 37 / 17 第 7 頁

16、,共 17 頁高三數學 -復習資料復習筆記 3異面直線間距離 一些較特殊的,難度不要太大 ,比如求正四周體對棱間的距離 2a ；舉 2例：邊長為 a的正方體 A1B1C1D1中,求 A1B 與 B1D1的距離 3 a ； 34. 球面距： 它是球面上兩點間的最短距離,求解的步驟： （ 1）運算線段的長 （ 2）運算 A, B 所對的球心角（用弧度角表示） （ 3）運算球大圓在間的劣弧 舉例：設地球半徑為 R,在北緯 45圈上有 A,B 兩地,沿此緯度圈上 A,B 兩地間的劣弧長為 2R, 4求間的球面距； （ R） 3留意： 1；在求距離過程中,要表達先證角 把所要的角給找出來 ,后求角這兩個

17、步驟； 2 要靈敏把握點面距,線面距,線線距 留意：兩異面直線間的距離就等于分別過這兩條 直線的平行平面間的距離 ,面面距間的轉化使用； 四,“垂直”的問題 1. 平面內證明兩直線垂直的方法 a. 勾股定理 b. 等腰三角形的三線合一 c. 直徑所對的圓周角 d. 垂徑定理 e直二角的性質 f. 棱形,正方形的對角線相互垂直 g. 平行直線中一條垂直于第三條直線, 2. 線面垂直的判定 就另一條也與第三條垂直 （ 1）線線垂直 - 線面垂直： mnnP, k m, k n,m , n k （ 2） 線面垂直 - 線面垂直： m n, m , l , m , m lm（ 3）直二面角的性質： （

18、 4）三垂線定理 留意： 以上幾種方法,實質乃是轉化思想,在解題中,要把握它們相互間的轉化應用,切不行死 記硬背；舉例：在正方體 A1B1C1D1中,E,F 分別是 1,D1B1的中點,求證：平面 B1. 例子自己再補充 3. 面面垂直 （ 1）定義法,求證二面角為 90 （ 2）一平面過另一平面的垂線 舉例：直線 a, b 是異面直線, a平面 , b平面 , a b,求證：4. 三垂線定理 （ 1） . （ 2）相當于斜線與平面所成角 8 / 17 第 8 頁,共 17 頁高三數學 -復習資料復習筆記 （ 3）相當于二面角 （ 4） l AC ,l 平面 ABC lAP （定理） （ 5）

19、 l AP,l 平面 ABC lAC （逆定理） （ 6）垂線段最短（前提是自平面外同一個點引的全部線段中） （ 7）最小角定理（涉及到不等問題時要想到這里） 五,“個數”的問題 （ 1）空間中到四周體的四個頂點距離都相等的平面個； （ 7 個） （ 2）過直線外一點有個平面與該直線平行（許多個） （ 3）始終線與一平面斜交,就平面內有條直線與該直線平行； （ 0） （ 4） 3 條兩兩相交的直線可以確定個平面（ 1 個或 3 個） （ 5）過空間一點,與兩異面直線都平行的平面有條（ 0 或 1） （ 6） 3 個平面可以把空間分個部分； （ 4 或 6 或 7 或 8） （ 7）兩兩相交的

20、4 條直線最多可以確定個平面（ 6 個） （ 8）兩異面直線成 60的角,問過空間一點與它們都成 30（ 45 ,60 ,80 ）的角的直線有 條；（1； 2； 3；4） 六,克服思維定勢,區分平面與空間的問題 1在空間中錯誤的命題 （ 1）垂直于同一條直線的兩直線平行 （ 2）平行于同始終線的兩平面平行 （ 3）平行于同一平面的兩直線平行 （ 4）過直線外一點只有一條直線與已知直線垂直（有許多條） （ 5）兩個不同平面內的兩條直線叫做異面直線 （正確：不同在任何平面內的兩條直線） （ 6）始終線與一平面內許多條直線垂直, 2. 正確的命題 （ 1）平行于同一條直線的兩條直線平行 （ 2）垂直

21、于同一條直線的兩個平面平行 就該直線與這個平面垂直 （許多條應改成全部的才是正確的） （ 3）兩平面平行,如第三個平面與它們相交且有兩條交線,就兩直線平行 （ 4）兩相交平面同時垂直于第三個平面,就它們的交線垂直于第三個平面 七,“正多面體”的問題 1正四周體（請把握相關的推導方法） （ 1）每對對棱都是成 90的異面直線,中點連線即為公垂線 （ 2）兩異面直線間的距離為 2 a（此時設 a 為正四周體棱長） 21 3（ 3）體積為 a （此時設 a 為正四周體外接正方體邊長；即四周體的四個頂點剛好和正方體的某四個 3 頂點重合）（結合課本 P53：第 8 題圖形） （ 4）外接球的半徑為（

22、6 a ）（ a 為四周體的邊長） 49 / 17 第 9 頁,共 17 頁高三數學 -復習資料復習筆記 （ 5）內切球的半徑為（ 6 a ）（ a 為四周體的邊長） 12 （ 6）相鄰兩面的二面角為（ arccos1 ） 3（ 7）以各棱中點為頂點可以得到正八面體,就正八面體的棱長為（ 1a）（a為正四周體邊長） 2 2正八面體 （ 1）如它是以正方體和各面中心為頂點得到的,就正方體的邊長為 2 a （a 為正八面體的邊長） （ 2）其體積為（ 2 a 3,即為外接正方體體積的 1）（ a為正八面體的邊長） 3 6（ 3）相鄰兩面所成的二面角為（ arccos 1） . 3 附：簡易規律之否

23、定詞： （所謂否定,即事物的對立面） 原詞 = 0 或 f x AB 對嗎 . 2 x, y sin x 的周期都是 , 但 32. 一般說來,周期函數加確定值或平方,其周期減半 （如 y sin y sin x cosx ） 33. 函數 y sin x 2 , y sin x , y cos x 是周期函數嗎？（都不是） 34. 正弦曲線,余弦曲線,正切曲線的對稱軸,對稱中心你知道嗎？ 35. 在 三 角 中 , 你 知 道 1的 變 形 嗎 ？ （ 2 1 sin x 2 cos x 2 sec x 2 tan x tanx cot x tan 4sin 2cos0 這些統稱為 1 的代

24、換 常數 “1”的代換有著廣泛的應用 , 36. 在 三 角 的 恒 等 變 形 中 , 要 特 別 注 意 角 的 各 種 變 換 （ 如 , 222等） 37. 你仍記得三角化簡題的要求是什么嗎？項數最少,函數種類最少,分母不含三角函數,且能求出值 的式子,確定要算出值來） 38. 你仍記得三角化簡的通性通法嗎？（從函數名,角,運算三方面進行差異分析,常用的技巧有：切 割化弦,降冪公式,用三角公式轉化出特殊角 . 異角化同角,異名化同名,高次化低次） 39. 你能說出全部特殊角的任意三角函數值嗎？幾個常用的角的三角函數值你知道嗎？ （ sin15 cos75 6 2,sin 75 cos1

25、5 6 2,sin18 5 1 ） 4 4 440. 你仍記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？ l r , S 扇形 1 lr 22 241. 幫忙角公式： a sin x bcosx a b sin x 其中 角所在的象限由 a, b 的符號確定, b角的值由 tan 確定 在求最值,化簡時起著重要作用 . a42. 在用反三角函數表示直線的傾斜角,兩向量的夾角,兩條異面直線所成的角等時,你是否留意到它 13 / 17 第 13 頁,共 17 頁高三數學 -復習資料復習筆記 們各自的取值范疇及意義？ 異面直線所成的角,線面所成的角,二面角的取值范疇依次是 0, 2, 0, 2, 0, .

26、 直線的傾斜角, l 1 到 l2 的角, l 1 與 l 2 的夾角的取值范疇依次是 向量的夾角的取值范疇是 0 , 0, , 0, , 0, 243. 如 ab存在 R,使 a b對嗎？（ b0）； a b, b c ac , a b =b c ac , a b =0 a =0 或 b =0, a bc = ab c 呢？哪些是對的,哪些是錯的； 44. 如 a x1 , y1 , b x2 , y2 ,就 a b , a 45. 共線向量模相等是否等價于向量相等？ b 的充要條件是什么？ 46. a2| a | 2 ；在已知向量長度求兩向量夾角時留意用此關系整體求得數量積 a b ； 4

27、7. 如 a 與 b 的夾角 ,且 為鈍角,就0 焦點的弦交拋物線于 Ax , Bx 22 ,就 y 1 2 y , x 1 2 x =., x 12 . 79. 如 Ax 11, Bx 22 是二次曲線 C： F=0 的弦的兩個端點,就 Fx 11=0 且 Fx 22=0 ；涉及弦的中點和 斜率時,常用點差法作 Fx 11x 22=0 求得弦的中點坐標與弦的斜率的關系； 80. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法,三垂線法,垂面法）三垂線法：確定平面,二作 垂線,三作斜線,射影可見 . 81. 求點到面的距離的常規方法是什么？（直接法,體積變換法,向量法） 82. 你知道三垂線定理的

28、關鍵是什么嗎？ 一面四直線,立柱是關鍵,垂直三處見； , 83. 立體幾何中常用一些結論： 正四周體的體積公式 2 3 a 記住了嗎？面積射影定理, “立平斜關系式” 12 最小角定理等你熟識嗎？ 84. 異面直線所成角利用“平移法”求解時,確定要留意平移后所得角是所求角或其補角； 85. 平面圖形的翻折,立體圖形的開放等一類問題,要留意翻折,開放前后有關幾何元素的“不變量” 與“不變性” ； 86. 棱錐的頂點在底面的射影何時為底面的內心,外心,垂心,重心？ 87. 解排列組合問題的依據是：分類相加,分步相乘,有序排列,無序組合 88. 解排列組合問題的規律是：元素分析法,位置分析法相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排 問題單排法；定位問題優先法；多元問題分類法；有序支配問題法；選取問題先排后排法；至多至少 問題間接法 89. 二項式定理中, “系數最大的項” ,“項的系數的最大值” ,“項的二項式系數的最大值”是同一個概 念嗎？ 90. 求二項開放式各項系數代數和的有關問題中的“賦值法” “結構分析法”你會用嗎？ 91. “兩個大事對立是這兩個大事互斥的充分不必要條件； ,“轉化法”,求特定項的“通