1、- WORD 格式整理版 1 函數(shù)解析式的特殊求法 例 1 已知 fx 是一次函數(shù) , 且 ffx=4x 1, 求 fx 的解析式 例 2 如 f x 1） x 2 x , 求 fx 例 3 已知 f x 1 x 2 x ,求 f x 1 例 4 已知：函數(shù) y x2 x 與 y g x 的圖象關(guān)于點(diǎn) 2,3 對稱,求 g x 的解析式 例 5 已知 fx 中意 2 f x 1 f 3x x ,求 f x 2 函數(shù)值域的特殊求法 例 1. 求函數(shù) y x 22x 5, x 1,2 的值域； 例 2. 求函數(shù) y 1 x x 2 x 1 2 的值域； 例 3 求函數(shù) y=x+1/x+2 的值域

2、y 例 4. 求函數(shù) x e 1 ex 1 的值域； 例 1 以下各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為相同的函數(shù)？ y1 x 3 x 5 y2 x 5 y1 x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 y2 學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考 第 1 頁,共 7 頁- - WORD 格式整理版 f1 x 2x 5 2f x 2x 5 4 的反函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn) 2 如函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過 0, 1 ,那么 f x A 4, 1 B 1, 4 C 4, 1 D 1, 4 例 3 已知函數(shù) f x 對任意的 a,b R 中意： f a b f a f b 6, 當(dāng) a 0 時(shí) , f a 6 ； f 2 12 ； （ 1）求： f 2

3、的值； （ 2）求證： f x 是 R 上的減函數(shù)； （ 3）如 f k 2 f 2 k 3,求實(shí)數(shù) k 的取值范疇； 例 4 已知 A x, y | x n, y an b, n Z , B x, y | x m, y 2 3m 15, m Z , C x, y | x 2y 2 14 , 問 是 否 存 在 實(shí) 數(shù) a, b , 使 得 1 A B ,2 a,b C 同時(shí)成立 . 證明題 學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考 第 2 頁,共 7 頁- - WORD 格式整理版 2 1x 2x 1x 2x 1, x 2） . 1. 已知二次函數(shù) f x ax bx c 對于 x , R,且 時(shí) 1 f x f x

4、1 f x 2 有不等實(shí)根,且必有一根屬于區(qū)間（ f x 1 f x ,求證：方程 2 答案 1 解：設(shè) fx=kx+b 就 kkx+b+b=4x 2 1 就 2 k 4 1 k 2 1 或 k k 1b b b 1 3 f x 2x 1 2x 1 或 f x 3 2 換元法：已知復(fù)合函數(shù) f g x 的表達(dá)式時(shí),仍可以用換元法求 f x 的解析式；與配湊法一樣, 要留意所換元的定義域的變化； 解法一（換元法）：令 t= x 1 就 x=t 21, t 1 代入原式有 f t 2 t 1 2t 1 t 21 f x x 21 （x1） 解法二（定義法）： x 2 x x 1 21 f x 1

5、x 1 21 x 11 f x x2 1 x 1 4 代入法： 求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時(shí),一般用代入法； 解：設(shè) M x, y 為 y 2g x 上任一點(diǎn),且 M x , y 為 M x, y關(guān)于點(diǎn) 2,3 的對稱點(diǎn) x x x x 4 2 y y 3就 2 ,解得： y 6 y , 點(diǎn) M x , y 在 y g x 上 y x 2x 學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考 第 3 頁,共 7 頁- - WORD 格式整理版 x x 4 把 y6 y 代入得： 整理得 y 2 x 7x 6 g x x 27x 6 例 5 構(gòu)造方程組法： 如已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約,就可以對變量進(jìn)行置換,設(shè)法構(gòu)造方

6、程組, 通過解方程組求得函數(shù)解析式； 已知 2 f x 1 f 3x , 1 時(shí), y max 8 故函數(shù)的值域是：4,8 x 1 得 2 f 1 f x 3, 將中 x 換成 x 6x x x 2 x 1 . 2- 得 3 f x 3 f x x x 值域求法 y 例 1 解：將函數(shù)配方得： x 2 1 4 y min 4 ,當(dāng) x x 1,2 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng) x=1 2. 判別式法例 2 y 1x 2. 解：原函數(shù)化為關(guān)于 x 的一元二次方程 y 1 x 0 （1）當(dāng) y 1 時(shí), x R 2 1 4 y 1 y 1 0 1 y 3 解得：2 2 0 1 1 , 3 故函數(shù)的值域

7、為 3 1 , 2 2 （2）當(dāng) y=1 時(shí), x ,而 2 2 當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí),就其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域； 例 3 求函數(shù) y=x+1/x+2 的值域； 點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù),再求出其定義域； 解：明顯函數(shù) y=x+1/x+2 的反函數(shù)為 :x=1 2y/ （ y 1 ）, 其定義域?yàn)?y1 的實(shí)數(shù) , 故函數(shù) y 的 值域?yàn)?yy1,y R； 點(diǎn)評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)；這種方法表達(dá)逆向思維 的思想,是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一； 練習(xí)：求函數(shù) y=10 x+10-x/10 x 10-x 的值域；（答案：函數(shù)的值域?yàn)?yy1 5. 函數(shù)

8、有界性法 直接求函數(shù)的值域困難時(shí),可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性,反客為主來確定函數(shù)的值域； y x e 1 e xy 1 例 4. 求函數(shù) ex 1 的值域；解：由原函數(shù)式可得： y 1 xe 0 1 0 y y 1解得： 1 y 1 第 4 頁,共 7 頁- - 學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考 第 5 頁,共 7 頁- - WORD 格式整理版 故所求函數(shù)的值域?yàn)?1,1 0 , f x1 0 y 2 14 聯(lián)立,然后爭辯聯(lián)立的 例 1（定義域不同）（定義域不同） （定義域,值域都不同）例 3 解: （1） f a b f a f b 6, 令 a b 0 ,得 f 0 6 令 a 2, b 2 ,得 f 2

9、0 （2）證明：設(shè) x1, x 2 是 R 上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且 x1 x2 ,即 x2 x1 從而有 f x 2 x 1 6 , 就 f x2 f x1 f x 2 x1 x 1 f x 1 f x 2 x1 f x 1 6 f x2 x1 6 0 f x 2 f x 1 即 f x 是 R 上的減函數(shù) （3） f a b f a f b 6, 令 a 1,b 1 ,得 f 1 3 f k 2 f 2 k 3 f k 2 3 f 2 k ,又 f 1 3 , f 2 即有 f k 2 f 1 f 2 k f 2 f k 2 f 1 6 f 2 k f 2 6 f k 2 1 f 2 k 2

10、又 f x 是 R 上的減函數(shù) k 2 1 2 k 2 即 k 3 A 實(shí)數(shù) k 的取值范疇是 k 3 例 4 分析：假設(shè)存在 a,b 使得 1 2 成立,得到 a 與 b 的關(guān)系后與 x 不等式組 . A A1 y 解 ： 假 設(shè) 存 在 實(shí) 數(shù) a, b ,使得 A B , a,b C 同時(shí)成立,就集合 x, y | x n, y an b, n Z 與集合 B x , y |x m , y 23m 1Z5m,分 別 對 應(yīng) 集 合 B 1 x, y | y 2 3x 15, x 1 1 x, y | y ax b, x Z 與 Z, A 與 B 對應(yīng)的直線 y ax b 與拋物線 2 3

11、x 15 至少有一個(gè)公共點(diǎn),所以方程組 y ax b 有解,即方程 3x 215 ax b 必有解 . y 2 3x 15 因此 2 a 1215 b 0 a 2 12b 180 , 又 a2 b2 14 由相加, 2 b 得 12b 36 ,即 b 6 2 0 . b 6 . 學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考 第 6 頁,共 7 頁- - WORD 格式整理版 將 b 6 代入得 a2 108 , 再將 b 6 代入得 a2 108 ,因此 a 6 3 , 2 2將 a 6 3 , b 6 代入方程 3x 15 ax b 得 3x 6 3x 9 0 , 解得 x 3 Z. 所以不存在實(shí)數(shù) a, b ,使得 1

12、, 2 同時(shí)成立 . 證明題 1 1 解：設(shè) F（ x ） f x 1 f x 1 f x 2 , 2 1 就方程 f x f x 1 f x 2 2與方程 F（ x ） 0 等價(jià) 1 1 F（ x 1） f x 1 f x 1 f x 2 f x 1 f x2 2 2 1 1 F（ x 2） f x 2 f x 1 f x2 f x1 f x 2 2 2 F（ x 1） F（ x 2） 1 f x 1 f x 2 ,又 2f x 1 f x 2 4 F（ x 1） F（ x 2） 0 故方程必有一根在區(qū)間（ x 1, x 2）內(nèi) . 由于拋物線 y F（ ）在 軸上,下方均有分布,所以此拋 物線與 x 軸相交于兩個(gè)不同的交點(diǎn),即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,從而方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,且必 有一根屬于區(qū)間（ x , x 2 ） . 1 點(diǎn)評