1、8.4索末菲和埃倫費斯特的貢獻8.4.1玻爾理論的局限性1913年玻爾一舉對氫原子光譜和類氫離子光譜的波長分布規律作出完滿解 釋，隨后又得到多種渠道的實驗驗證，使盧瑟福-玻爾原子模型以及能級、定態 躍遷等概念逐漸得到了人們的承認。然而，從玻爾的理論卻無法計算光譜的強度， 對其它元素的更為復雜的光譜，包括氦原子光譜在內，往往理論與實驗分歧很大。 至于塞曼效應，光譜的精細結構等實驗現象，玻爾理論更是無能為力。顯然，事 情正如玻爾所料，他的理論還很不完善，原子中電子的運動不可能象他所假設的 那樣簡單，但是就在處理這一最簡單的模型中，找到了一條將量子理論運用于原 子結構的通道。他的初步成功吸引了不少物

2、理學家試圖改進他的理論，并推廣到 更復雜的體系中去。8.4.2推廣玻爾理論的初步嘗試在沒有建立量子力學和發現電子自旋之前，所有這些努力往往是在經典力學 上加某些量子條件而已，并未能根本擺脫玻爾理論所面臨的困境。時至今日，某 些理論已經只有歷史意義，早已被量子力學代替，但是回顧舊量子論這一段發展 歷史，可以幫助我們認識經典物理學到量子力學的過渡，并了解至今仍在應用的 某些概念的起源。早在玻爾的原子理論出現之前，物理學家就認識到將量子假說推廣到多自由 度的體系的必要性。普朗克的量子假說就建立在線性諧振子的基礎之上，只有一 個自由度。1911年在第一屆索爾威會議上，當討論普朗克題為黑體輻射定律 和基

3、本作用量子假說的報告時，彭加勒提出過這樣的問題，他問普朗克處理諧 振子的量子條件怎樣才能用于多于一個自由度的體系。普朗克在回答中表示有信 心在不久的將來做到這一點。果然不出4年，這一工作由好幾個人作了出來，除了普朗克外，還有著名理 論家索末菲(他當時也參加了索爾威會議)以及英國的威爾遜(William Wilson， 18751965)和日本的石原純(Ishi-wara，18811947)，他們有的立即用之 于玻爾原子理論，有的與玻爾理論沒有直接聯系。索末菲則全面推廣和發展了玻 爾的原子理論。普朗克一直在考慮如何將量子假說推廣到多自由度，他曾在1906年提出相 空間理論。1915年他在德國物理

4、學會上發表了具有多自由度的分子的量子假 說的論文。他考慮有f個自由度的原子體系，用由整數規定的一組曲面F (p , q)=const，把相空間*分割成一些小區域，他認為定態就相當于這些曲面的f 維交點。他也曾討論過電子在正核的庫侖場中運動的情況，但沒有用于玻爾原子 理論，因為他不相信分立態的基本假設。威爾遜是英國國王學院的助教、他在1915年發表的論文輻射的量子理論 和線光譜中表示希望能夠用單一形式的量子理論推導出普朗克和玻爾的結果。 他的方法奠基于兩個假設：一是動力體系(原子)和以太的相互作用以不連續的 方式發生，二是在不連續變化之間體系可用哈密頓力學描述，但需滿足下式：其中n為正整數，積分

5、路徑遍及力學變量p及q的所有值。由此，威爾遜 推出了普朗克的諧振子平均能量公式，接著又得到了玻爾的電子動能公式和玻爾 的頻率公式即巴耳末公式。日本物理學家石原純，早年在德國求學，曾受教于愛因斯坦和索末菲，對相 對論和量子論都很有興趣。1915年，他回到日本任教，在東京數學物理學報 上發表題為作用量子的普遍意義的論文，文中寫道“假設有一小塊物質實體，或一組數量極大的小物體，正處于穩定的周期運 動狀態或正處于統計平衡，令其狀態完全由坐標q、q q和相應的動量p、p p決定。在自然界中，運動往往以這樣的方式發生，即：每一狀態面q、p可以 以同樣的幾率分解成一些區域，這些區域在相空間的某一給定點上的平

6、均值：等于一普適常數。”不過，由于石原純將兩個自由度用于圍繞核旋轉的電子的運動，他推出的巴 耳末公式竟要求氫原子帶兩個正電荷，因而中性的氫原子該含兩個電子。對此石 原純并不介意，他似乎比較贊成尼科爾松的原子理論。普朗克、威爾遜和石原純雖然都沒有得到具體成果，但他們的努力對于量子 論的發展起到了促進作用。8.4.3索末菲全面推廣玻爾理論和上述理論家的工作幾乎同時，索末菲在1915年獨立地提出了自己的理論。 索末菲是德國慕尼黑大學的著名理論物理教授，他擅長理論分析。早年在博士論 文工作中就發展了新的數學方法一一復變函數方法。后來在應用這個方法中取得 多項成就。20世紀初他曾對電子理論作過系統研究。

7、很早他就在論戰中站在相 對論一邊。1911年，索末菲開始卷入量子論的工作，也嘗試用一種新的量子假說來解 釋非周期過程，不過沒有取得實際成果。不久，帕邢和拜克(Ernst Back)研究 強磁場作用下的塞曼效應，他們的發現(即帕邢-拜克效應)吸引索末菲把洛侖 茲彈性束縛電子理論推廣到反常塞曼效應。正好這時，他收到了玻爾在哲學雜 志1913年7月那一期上發表的第二篇論文的抽印本。他立即給年輕的玻爾寫 信，信中寫道“謝謝您寄贈大作，我已在哲學雜志上讀過了。我曾長期考慮如何用普 朗克常數表示里德伯-里茲常數的問題，幾年前我曾跟德拜討論這個問題。盡管 我對各種原子模型仍然有某種懷疑，但無疑這一常數的計算

8、是一很大成就。”索末菲在1914年冬季開設系列講座：塞曼效應和光譜線。這一講座成 了講述玻爾理論的課程，就在這一課程中，索末菲廣泛討論了玻爾理論的推廣， 其中包括橢圓軌道理論和相對論修正。他的講稿遲至1915年底才交付出版，部 分原因是想等愛因斯坦的意見。因為這時正值愛因斯坦發展了廣義相對論，他不 知道愛因斯坦的新理論會不會影響對玻爾原子理論的修正，直至接到愛因斯坦答 復說不影響時，他才正式向巴伐里(Bavarian)科學院提交這方面內容的報告。索末菲首先把氫原子中電子的開普勒運動看成是二維問題，引入平面極坐 標，在軌道平面內以矢徑r和方位角中表示這個運動。他假設不僅中，而且r， 都要服從量子

9、條件，即：小 pdr二n h，與小 p d =kh，內n為輻向量子數，k為方位量子數。索末菲還推出：k/ (k+n) =b/a，內a、b分別為橢圓的長半徑和短半徑，并證明相應的定態軌道能量為：E=-Rhc/ (k+n) 2對類氫原子，Z1，貝UE = -RhcZ?/ (k+n) 2其中k=0相當于電子以直線軌道穿過原子的核，應除去。于是k+n的系 列值就與玻爾公式：E=-Rhc/n2 中的 n 一致。由此可見，盡管橢圓軌道比圓軌道復雜，卻沒有引起任何附加能級。索末菲接著又把這個問題看成是三個自由度的體系，為此他引入了極坐標r、。與，以核為原點，r表矢徑，0表緯度，平表方位，取量子條件：小pdr

10、二n，h，小pd甲二nh，小p d0 =n h比較用r、0、平表示的動能和用r、W表示的動能，發現:中102k = n +n索末菲得出：n =kcosa，或 cosa =n/ (n+n )在分怵這薰極需量這如篇軸示端怫懦也磁場和 外電場而確定了方向，則這個關系具有明確的物理意義。空間量子化是索末菲提 出的一個重要概念，可以對斯塔克效應和塞曼效應提供相當滿意的描述。后來， 朗德(AlfredLande)和斯梅卡爾(Adolf Smekal )甚至還用之于解釋X射線譜， 討論氦光譜等等。及至1922年，斯特恩(Otto Stern)和蓋拉赫(Walther Gerlach) 用他們的銀原子束在不均

11、勻磁場中證實了空間量子化的實際存在。然而，空間量子化并不能解釋氫光譜的精細結構。索末菲將相對論用于電子 的周期運動，證明電子在有心力的作用下將作玫瑰花環形的運動，或者作近日點 緩慢進動和以原子核為集點之一的橢圓運動。他用分離變量法求解哈密頓-雅可 比微分方程，再用傅里葉級數展開，得到能量：如取n=k，Z=1，就是玻爾理論的最初結果。上式中的第二項是相對論修正，由此證明能量是n、k的函數，能級確是多 重的。就這樣，索末菲對氫譜線的精細結構作出了理論解釋。從上式可以看到，附 加項與Z4成正比，氦光譜應比氫光譜更容易觀測到精細結構。果然，1916年帕 邢報導說，他的氦譜精密測量與索末菲的預見定量相符

12、，相差不超過10-3?。附帶指出一點，帕邢的氦譜精密測量對愛因斯坦的狹義相對論也起了間接驗 證的作用，因為根據阿伯拉罕的“剛性電子”理論推導出的氦譜分裂，與帕邢的 觀測結果根本不符。1919年，索末菲出版了原子結構與光譜線一書，系統地闡述了他的理 論。1920年他進一步對堿金屬的譜線作出解釋。索末菲開創的用相對論處理原 子問題的方法后來又經過許多人的研究，繼續有所進展，但仍然存在許多障礙， 例如光譜強度問題、反常塞曼效應問題等等，看來根本的出路在于建立一套適合 于微觀體系的嶄新理論，靠修補是無濟于事的。在這里，要說明一個重要問題。不論是普朗克、威爾遜、石原純還的理論根據是什么？能不能給出證明？

13、索末菲曾申明，這些條件是無法證明 的。應該說，他是正確的，因為直到1926年，當量子力學出現后，才能借WKB 法經近似展開后推導出這一關系。20世紀20年代之前當然只能作為假設提出。其實，這一量子條件的提出和推廣并不是偶然的，它有深刻的物理涵義。其 理論支柱就是“浸漸原理”(Adiabatic Principle)。8.4.4埃倫費斯特和他的浸漸原理如果說，玻爾的對應原理是在經典物理學和量子力學之間架起的一座橋梁， 那么，埃倫費斯特(Paul Ehrenfest，18801933)的浸漸原理則是兩者之間的 又一座橋梁。“浸漸(Adiabatic)”表示無限緩慢的變化過程，也可譯“絕熱”，但意

14、義不夠準確。這個概念起源于玻爾茲曼和克勞修斯企圖將熱力學第二定律還原為 純力學的嘗試。玻爾茲曼在1866年證明，假如制約力學體系行為的定律服從最 小作用原理，則周期為t的簡單周期性體系的動能為：1871年，克勞修斯重申了這一論點，并且指出研究漸變過程的重要性。后 來，赫姆霍茲和H.赫茲對浸漸變化續有研究。1902年瑞利指出，某些簡諧振動 系統，例如擺長緩慢縮短的單擺，或正在作橫向振動并緩慢被一窄環遮蔽的弦， 或緩慢收縮的空腔中的駐波，就會產生這類“浸漸運動”。他還證明在這類過程 中，能量和頻率之比保持不變。1911年，洛侖茲提出過這樣的問題：一個量子化的擺，當他的弦縮短時， 是否仍處于量子狀態

15、？對此，愛因斯坦回答說：“如果擺長無限緩慢地變化，則 擺的能量將保持等于hv，如果它原來是hv的話。”就在這個時候，埃倫費斯特已經認識到浸漸不變性概念對量子理論的重要 性。他大約是在1906年開始研究普朗克輻射定律的統計力學基礎時，就對這個 理論的邏輯缺陷感到極大的疑慮。為此，曾于1912年專程走訪愛因斯坦。愛因 斯坦對他的思想給予很高評價，1914年稱埃倫費斯特的原理為“浸漸假說”。埃倫費斯特是奧地利人，生于1880年，在維也納大學聽過玻爾茲曼講授熱 的分子運動論。1904年獲博士學位后從事統計物理學研究。鑒于他出色的理論 素養，洛侖茲在1912年推薦他接任自己在荷蘭萊頓大學的教授職務。此后

16、，埃 倫費斯特一直在萊頓大學主持工作。1912年底，埃倫費斯特在與洛侖茲的通信中提出一個重要思想，他寫道 “一個被鏡面器壁限制的體積，里面充滿了輻射，正在作無限緩慢的壓縮，對所 有振動模式來說，有一個量E/v應保持常數，故可寫為6 (E/v )=0 (內 6 為浸漸、可逆變量)”，他問道：“假如從簡諧振動變換到別的周期運 動，什么量(可以代替E/v )在浸漸可逆過程中保持常數呢？”1913年，埃倫費斯特的論文經洛侖茲介紹發表在荷蘭的阿姆斯特丹科學院 學報上，題為玻爾茲曼的力學理論及其與能量子理論的關系，他提出一條原 理：兩相互以浸漸變換聯系的體系A、B之間存在如下關系：無限緩慢變化的一個或幾個

17、參量，可以使不同體系在它們之間相互導出。這 些參量，埃倫費斯特稱為浸漸不變量。浸漸原理揭示了量子化條件的奧秘。因為玻爾在不久前提出的量子化條件 (8.2)式：2W/3 =nh及由此推出的角動量量子化條件M=nh/2n都是埃倫費斯特 的浸漸不變量。而索末菲的結果，在埃倫費斯特看來，也是理所當然的，因為作 圓形軌道的氫原子和橢圓形軌道的氫原子是通過浸漸過程互相玻爾充分肯定埃倫費斯特的貢獻，承認在自己后來的工作中浸漸原理起了很 重要的作用。1918年，他給埃倫費斯特的信中寫道：“您可以看到，這些內容 （指玻爾當時發表的論文）在很大程度上是基于您的重要原理浸漸不變性原 理。不過根據我的理解，我是從多少有點不同的觀點來考慮問題。因此我沒有用 您的原始論文所用的那些詞匯。在我看來，定態之間運動的連續轉變條件可以看 成是保證這些狀態穩定性的直接結果，其主要問題在于如何判斷將普通力學 用于計算體系的連續轉變效應的正確性。因為我似乎以為，不太可能把這一判斷 完全置于熱力學的考慮，而很自然地應從用普通力學計算定態與實驗的一致性上 進行判斷。”轉弓I 自 J.Mehra， H.Rechenberg， The Historical Development of Quantum Theo-ry vol.1， Parti， Springer-Verlag， 1982p.210.