1、二項(xiàng)式定理一、二項(xiàng)式定理：a b n =C0an ClaAb . C： anjV C： bn（ N ”）等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做a b的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)Ck （k =0,1,2,3.n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)。對(duì)二項(xiàng)式定理的理解：（1）二項(xiàng)展開式有n 1項(xiàng)（2）字母a按降幕排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1到0；字母b按升幕排列，從第一 項(xiàng)開始，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1到n（3） 二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a, b，等式都成立，通過對(duì)a,b取不同的特 殊值，可為某些問題的解決帶來方便。在定理中假設(shè)a = 1, b二x，則1 X n =C Xn C X C： Xn（ n N ”）；: n（

2、4） 要注意二項(xiàng)式定理的雙向功能：一方面可將二項(xiàng)式（a + bf展開，得到一個(gè)多項(xiàng)式；另一方面，也可將展開式合并成二項(xiàng)式a bn二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：丁二C： aZbk二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk 1二Ckanbk（k=0,1,2,3.n）是二項(xiàng)展開式的第k 1項(xiàng)，它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開式的某些特定項(xiàng)（如含指定幕的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等）及其系數(shù)等方面有廣泛應(yīng)用對(duì)通項(xiàng) Tk1 二C： anbk（k=0,1,2,3.n）的理解：（1）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同（2）a與b的次數(shù)之和為n（3）在通項(xiàng)公式中共含有a,b, n,k

3、,Tk1這5個(gè)元素，知道4個(gè)元素便可求第5個(gè)元素例1 C： +3C； +9C+.+3ndC：等于A.A.4n Bo 3 4： Co - -1 D. 4例2. (1 )求(12x) 7的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù);-1 93(2)求(X ) 9的展開式中X3的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)+X三、二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì):對(duì)稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即nn1 2n_2k n _k ,Cn - Cnn -Cn Cn -Cn Cn -Cn 增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。n如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即n偶數(shù)：C： m

4、ax ；iaxn 如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大，即Ckmax二CF二CF二項(xiàng)展開式的各系數(shù)的和等于2n，令a=1, b=1即cO+C； +.+C； = (1+1) n =2n ； 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，令a = 1， b=-1即Cn：/ ECnCn2例題：寫出(x-y)禰展開式中:(1 )二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；(3 )項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng);二項(xiàng)式系數(shù)的和;各項(xiàng)系數(shù)的和四、多項(xiàng)式的展開式及展開式中的特定項(xiàng)(1 )求多項(xiàng)式(印 aA an)n的展開式，可以把其中幾項(xiàng)結(jié)合轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再利用 二項(xiàng)式定理展開。

5、1例題：求多項(xiàng)式(乂22 -2)3的展開式x(2)求二項(xiàng)式之間四則運(yùn)算所組成的式子展開式中的特定項(xiàng)，可以先寫出各個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)再分析。例題：求(1 X)2 (1-X)5的展開式中X3的系數(shù)X 2八例題：(1例題：(1)如果在的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)。(2 )求x|+-2的展開式的常數(shù)項(xiàng)。x【思維點(diǎn)撥】求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題時(shí)，常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定k五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來定例題：已知(1 -2x)7 = a0 - a1x - a2x2 a7x7,求: a. b a2 a| I (

6、a7；(2)a.a3a5a7； (3)|ao| |a.| 1 ( | a71.2 整除性問題或求余數(shù)的處理方法解決這類問題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把幕的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)k的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，這里的 k通常為一 1，若k為其他數(shù)，則需對(duì)幕的底數(shù)k再次構(gòu)造六、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用:1、二項(xiàng)式定理還應(yīng)用與以下幾方面：（1）進(jìn)行近似計(jì)算（2）證明某些整除性問題或求余數(shù)（3） 證明有關(guān)的等式和不等式。如證明：22n（n 3, n wN）取2n = （1 +1的展開式 中的四項(xiàng)即可。2、各種問題的常用處理方法（1 - X）n的近似值。（1 -

7、 X）n的近似值。當(dāng)n不是很大，| x |比較小時(shí)可以用展開式的前幾項(xiàng)求例題：（1.05）2 3 4 5 6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是（）A. 1.23B. 1.24C. 1.33D. 1.34例題：若n為奇數(shù)，則7n C： 7nC27n，.C： J 7被9除得的余數(shù)是（）和或差的形式再展開，只考慮后面（或者是某項(xiàng)）一、二項(xiàng)就可以了 要注意余數(shù)的范圍，對(duì)給定的整數(shù)a,b （b = 0），有確定的一對(duì)整數(shù)q和r,滿足a =bq r, 其中b為除數(shù)，r為余數(shù)，r b,|b】，利用二項(xiàng)式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意轉(zhuǎn)換成正數(shù)例題：求201363除以7所得的余數(shù)A. 0 Bo 2C

8、o 7D.81例題：當(dāng) n N 且 n 1,求證 2 (1)n:3n【思維點(diǎn)撥】這類是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測(cè)試、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只x 6 *的系數(shù)為D. 9C； ox 6 *的系數(shù)為在x _ 31。的展開式中,A-27C：。B.27C oC.-A-27C：。B.27C oC.-9Co已知 a b 0,b = 4a,有一項(xiàng)是符合題目要求的abn的展開式按a的降幕排列,其中第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)相A. 4B.C.10的展開式的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比為3 的展開式的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比為3 r2 ,x a11 :

9、2,則A. 10等，那么正整數(shù)n等于B.11A. 10等，那么正整數(shù)n等于B.11C.1213A. 1B.C.已知(已知(.a(1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確至U0.01的近似值是A. 1.23B.531。被8除的余數(shù)是1.24CA. 1.23B.531。被8除的余數(shù)是1.24C.1.331.34A. 1B.C.1 1設(shè)(3x 3+x2 )n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為們其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h,若 t+h=2 72則展開式的X2項(xiàng)的系數(shù)是A.BA.B. 1C. 2&在(1 X-X2)6的展開式中X5的系數(shù)為A. 4B. 5C. A. 4B. 5C. 6D. 79.(七+5侍y展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和等于

10、1024，則所有項(xiàng)的系數(shù)中最大的值是A. 330B. 462D. 79010. C、XA. 40B. 10C. 40D. 45且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為11.二項(xiàng)式(1+sinX) n的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為貝IJX在0 , 2 n 內(nèi)的值為A.或二63兀 土或冗2n或12 .在(1+x) 5+(1+x) 6+(1+x) 7的展開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n 5的D.第24項(xiàng)A.第2項(xiàng)B.第11項(xiàng)C.D.第24項(xiàng)二、填空題：本大題滿分16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結(jié)果13. (X2 -)9展開式中X9的系數(shù)是.2x=a14.若(2x =a乜必+.+玄么乂 4,則(a。+a4 f -仙+a3 f的值為/3_2 n15.若(x)的展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 16.對(duì)于二項(xiàng)式(1-x) 1999，有下列四個(gè)命題:1000 999 ，展開式中T1000 = C1999 X ;展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1; 展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1000項(xiàng)和第1001項(xiàng); 當(dāng)X=2000時(shí)，（1-X） 1999除以2000的余數(shù)是1.其中正確命題的序號(hào)是 .（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）三、解