1、32/32圓的基本題型縱觀近幾年全國各地中考題，圓的有關概念以及性質等一般以填空題，選擇題的形式考查并占有一定的分值；一般在10分15分左右，圓的有關性質，如垂徑定理，圓周角，切線的判定及性質等綜合性問題的運用一般以計算證明的形式考查；利用圓的知識及其他知識點如代數函數，方程等相結合作為中考壓軸題將會占有非常重要的地位，另外及圓有關的實際應用題，閱讀理解題，探索存在性問題仍是熱門考題，應引起注意.下面究近年來圓的有關熱點題型，舉例解析如下。一、圓的性質及重要定理的考查基礎知識鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關系.(3)圓周角定理及推論 （4）圓內接四邊形性質【例1

2、】（江蘇鎮江）如圖，為O直徑，為弦，且，垂足為（1）的平分線交O于，連結求證：為弧ADB的中點；（2）如果O的半徑為，求到弦的距離；ABDEOCABDEOCH【解析】（1），又，又，為弧ADB的中點（2），為O的直徑，又， 作于，則3.【點評】 本題綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理及銳角三角函數求解問題的能力.運用垂徑定理時，需添加輔助線構造及定理相關的“基本圖形”.幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距,本題的弦心距就是指線段OD的長.在圓中解有關弦心距半徑有關問題時,常常添加的輔助線是連半徑或作出弦心距,把垂徑定理和勾股定理結合起來解題.如圖,O的半徑為,弦心距為,弦長之間的關系為.根據此公式,

3、在、三個量中,知道任何兩個量就可以求出第三個量.平時在解題過程中要善于發現并運用這個基本圖形.【例2】 （安徽蕪湖）如圖，已知點E是圓O上的點，B、C分別是劣弧的三等分點， ，則的度數為 【解析】由B、C分別是劣弧的三等分點知，圓心角AOB=BOC=COD,又，所以AOD=138.根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。從而有69.點評本題根據同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關系。【強化練習】【1】.如圖，O是ABC的外接圓，AD，CE分別是BC，AB上的高，且AD，CE交于點H，求證：AH=AO (1)如圖，在O中，弦ACBD，OEAB，垂足為E，求證：OE=eq f(1,2)CD(2)如圖，A

4、C，BD是O的兩條弦，且ACBD，O的半徑為eq f(1,2)，求AB2CD2的值。【2】（第25題）如圖，O是ABC的外接圓，弦BD交AC于點E，連接CD，且AE=DE，BC=CE（1）求ACB的度數；（2）過點O作OFAC于點F，延長FO交BE于點G，DE=3，EG=2，求AB的長二、直線及圓的位置關系基礎知識鏈接：1、直線及圓的位置關系有三種:如果一條直線及一個圓沒有公共點,那么就說這條直線及這個圓相離.如果一條直線及一個圓只有一個公共點,那么就說這條直線及這個圓相切,此時這條直線叫做圓的切線,這個公共點叫做切點.如果一條直線及一個圓有兩個公共點,那么就說這條直線及這個圓相交,此時這條直

5、線叫做圓的割線,這兩個公共點叫做交點.2、直線及圓的位置關系的判定；3、弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角；4. 和圓有關的比例線段（1）相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等；（2）推論如果弦及直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項；（3）切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線及圓交點的兩條線段長的比例中項；（4）推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線及圓的交點的兩條線段長的積相等。5. 三角形的內切圓（1）有關概念：三角形的內切圓、三角形的內心、圓的外切三角形、多邊形的內切圓、圓的外切多邊形；6、圓的切線的性

6、質及判定。【例1】（甘肅蘭州）如圖，四邊形內接于O，是O的直徑，垂足為，平分DECBDECBOA（2）若，求的長【解析】（1）證明：連接，平分，DECBODECBOA是O的切線（2）是直徑，平分，在中，在中，的長是1cm，的長是4cm【點評】證明圓的切線，過切點的這條半徑為必作輔助線.即經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【例2】（廣東茂名）如圖，O是ABC的外接圓，且AB=AC，點D在弧BC上運動，過點D作DEBC，DE交AB的延長線于點E，連結AD、BD（1）求證：ADB=E；（2）當點D運動到什么位置時，DE是O的切線？請說明理由（3）當AB=5，BC=6時，求O的半徑（4分

7、）【解析】（1）在ABC中，AB=AC，ABC=CDEBC，ABC=E，E=C又ADB=C， ADB=E（2）當點D是弧BC的中點時，DE是O的切線理由是：當點D是弧BC的中點時，則有ADBC，且AD過圓心O又DEBC， ADED DE是O的切線（3）連結BO、AO，并延長AO交BC于點F， 則AFBC，且BF=BC=3又AB=5，AF=4設O的半徑為，在RtOBF中，OF=4，OB=，BF=3， 3（4）解得，O的半徑是【點評】 本題綜合運用了等腰三角形的性質，圓的切線判定，解題最關鍵是抓住題中所給的已知條件，構造直角三角形，探索出不同的結論.【例4】 已知：如圖7，點P是半圓O的直徑BA延

8、長線上的點，PC切半圓于C點，CDAB于D點，若PA：PC1：2，DB4，求tanPCA及PC的長。圖7證明：連結CB PC切半圓O于C點，PCAB PP，PACPCB AC：BCPA：PC AB是半圓O的直徑，ACB90 又CDAB ABADDB5 【例5】 已知：如圖8，在RtABC中，B90，A的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DEDC，以D為圓心，DB長為半徑作D。求證：（1）AC是D的切線； （2）ABEBAC分析：（1）欲證AC及D相切，只要證圓心D到AC的距離等于D的半徑BD。因此要作DFAC于F（2）只要證ACAFFCABEB，證明的關鍵是證BEFC，這又轉化為證EBDC

9、FD。 證明：（1）如圖8，過D作DFAC，F為垂足 AD是BAC的平分線，DBAB，DBDF 點D到AC的距離等于圓D的半徑 AC是D的切線 （2）ABBD，D的半徑等于BD， AB是D的切線，ABAF 在RtBED和RtFCD中，EDCD，BDFD BEDFCD，BEFC ABBEAFFCAC小結：有關切線的判定，主要有兩個類型，若要判定的直線及已知圓有公共點，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線及已知圓的公共點沒有給出，可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類【例6】 已知：如圖9，AB為O的弦，P為BA延長線上一點，PE及O相切于點E，C為中點，連CE交

10、AB于點F。求證：分析：由已知可得PE2PAPB，因此要證PF2PAPB，只要證PEPF。即證PFEPEF。證明一：如圖9，作直徑CD，交AB于點G，連結ED， CED90 點C為的中點，CDAB，CFGD PE為O切線，E為切點 PEFD，PEFCFG CFGPFE，PFEPEF，PEPF PE2PAPB，PF2PAPB 證明二：如圖91，連結AC、AE圖91 點C是的中點，CABAEC PE切O于點E，PEAC PFECABC，PEFPEAAEC PFEPEF，PEPF PE2PAPB，PF2PAPB【例7】 （1）如圖10，已知直線AB過圓心O，交O于A、B，直線AF交O于F（不及B重合

11、），直線l交O于C、D，交BA延長線于E，且及AF垂直，垂足為G，連結AC、AD圖10 圖101求證：BADCAG； ACADAEAF（2）在問題（1）中，當直線l向上平行移動，及O相切時，其它條件不變。 請你在圖101中畫出變化后的圖形，并對照圖10標記字母；問題（1）中的兩個結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由。 證明：（1）連結BD AB是O的直徑，ADB90 AGCADB90 又ACDB是O內接四邊形 ACGB，BADCAG 連結CF BADCAG，EAGFAB DAEFAC 又ADCF，ADEAFC ，ACADAEAF （2）見圖101 兩個結論都成立，證明如下

12、： 連結BC， AB是直徑，ACB90 ACBAGC90 GC切O于C，GCAABC BACCAG（即BADCAG） 連結CF CAGBAC，GCFGAC， GCFCAE，ACFACGGFC，EACGCAE ACFE，ACFAEC， AC2AEAF（即ACADAEAF）說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學生動手畫圖的能力，并通過探究式的提問加強了對學生證明題的考查，這是當前熱點的考題，希望引起大家的關注。【強化練習】【1】（第22題）如圖，O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是ACB的平分線及O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE（1）求AC、AD的長；（2）試判斷

13、直線PC及O的位置關系，并說明理由【2】（第23題）如圖，在ABC中，C=90，ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，O是BEF的外接圓（1）求證：AC是O的切線（2）過點E作EHAB于點H，求證：CD=HF【3】（第25題）如圖，在O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點，連接AD，BC，BD（1）求證：ABDCDB；（2）若DBE=37，求ADC的度數【4】（第24題）如圖，AB為O的直徑，PD切O于點C，交AB的延長線于點D，且D=2CAD（1）求D的度數；（2）若CD=2，求BD的長【5】（第27題）如圖，RtABC中，ABC=90，以AB為直徑作半圓O交AC

14、及點D，點E為BC的中點，連接DE（1）求證：DE是半圓O的切線（2）若BAC=30，DE=2，求AD的長三、圓及圓的位置關系的考查基礎知識鏈接：如果兩個圓沒有公共點,那么就說這兩個圓相離,如圖(1)、(2)、(3)所示其中(1)又叫做外離,(2)、(3)又叫做內含(3)中兩圓的圓心相同,這兩個圓還可以叫做同心圓如果兩個圓只有一個公共點,那么就說這兩個圓相切,如圖(4)、(5)所示其中(4)又叫做外切,(5)又叫做內切如果兩個圓只有兩個公共點,那么就說這兩個圓相交,如圖(6)所示【例1】（甘肅蘭州）如圖是北京奧運會自行車比賽項目標志，則圖中兩輪所在圓的位置關系是（）A內含B相交C相切D外離【解

15、析】圖中的兩圓沒有公共點，且一個圓上的所有點都在另一個圓的外部，故兩圓外離，選D.【點評】圓及圓的位置關系有五種:外離、外切、相交、內切、內含其關系可以用圓及圓公共點的個數及點及圓的位置關系來判定, 也可以用數量關系來表示圓及圓的位置關系：如果設兩圓的半徑為 、,兩圓的圓心距為d,則圓及圓的位置關系及數量關系如下表【例2】（赤峰市）如圖（1），兩半徑為的等圓O1和O2相交于兩點，且O2過點過點作直線垂直于，分別交O1和O2于兩點，連結（1）猜想點及O1有什么位置關系，并給出證明；（2）猜想的形狀，并給出證明；（3）如圖（2），若過的點所在的直線不垂直于，且點在點的兩側，那么（2）中的結論是否成

16、立，若成立請給出證明OO2O1NMBA圖（1）O2O1NMBA圖（2）OO2O1NMBA圖（1）【解析】解：（1）在上證明：O2過點，又O1的半徑也是，點在O1上（2）是等邊三角形證明：，O2O1NO2O1NMBA圖（2）即，在上，在上連結，則是的中位線，則是等邊三角形（3）仍然成立證明：由（2）得在O1中弧MN所對的圓周角為在O2中弧MN所對的圓周角為當點在點的兩側時，在O1中弧MN所對的圓周角，在O2中弧MN所對的圓周角，是等邊三角形注：（2），（3）是中學生猜想為等腰三角形證明正確給一半分【點評】相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，又且O2過點，構建對稱性知，O1過O2，再證NAB是等腰三角

17、形；（2）1是的基礎上發散探究，具有一定的開放性四、圓及多邊形的計算考查基礎知識鏈接：1、圓及正多邊形的關系的計算；2、弧長、扇形面積、圓錐側面積全面積的計算.【例1】（贛州）小芳隨機地向如圖所示的圓形簸箕內撒了幾把豆子，則豆子落到圓內接正方形（陰影部分）區域的概率是 【解析】設圓的半徑為1，則圓的面積為，易算得正方形的邊長為，正方形面積為2，則豆子落到圓內接正方形（陰影部分）區域的概率是.【點評】本題考查的是幾何概率，解題的關鍵是圓及圓內接正方形的面積，根據古典概型，可轉化為面積之比.【例2】兩同心圓，大圓半徑為，小圓半徑為，則陰影部分面積為【解析】根據大、小圓的半徑，可求得圓環的面積為8，

18、圖中的陰影面積為圓環面積的一半4.【點評】有關面積計算問題，不難發現，一些不規則的圖形可轉化為規則的圖形計算，本題就較好的體現了轉化方法和整體思想.五、圓的綜合性問題的考查基礎知識鏈接：圓的有關知識及三角函數、一次函數、二次函數等綜合應用。【例1】如圖，在平面直角坐標系中，圓M經過原點O，且及軸、軸分別相交于兩點（1）求出直線AB的函數解析式；（2）若有一拋物線的對稱軸平行于軸且經過點M，頂點C在M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數解析式；（3）設（2）中的拋物線交軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【解析】（1）設AB的函數表達

19、式為直線AB的函數表達式為 （2）設拋物線的對稱軸及M相交于一點，依題意知這一點就是拋物線的頂點C。又設對稱軸及軸相交于點N，在直角三角形AOB中，因為M經過O、A、B三點，且M的直徑，半徑MA=5，N為AO的中點AN=NO=4，MN=3CN=MC-MN=5-3=2，C點的坐標為（-4，2）設所求的拋物線為則所求拋物線為（3）令得D、E兩點的坐標為D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4又AC=直角三角形的面積假設拋物線上存在當故滿足條件的存在它們是【點評】 本題是一次函數、二次函數及圓的綜合性問題，解題的關鍵是抓住圖形中的點的坐標，運用待定系數數的方法求出解析式；【例2】（第27題）如圖

20、，在O的內接ABC中，ACB=90，AC=2BC，過C作AB的垂線l交O于另一點D，垂足為E設P是上異于A，C的一個動點，射線AP交l于點F，連接PC及PD，PD交AB于點G（1）求證：PACPDF；（2）若AB=5，=，求PD的長；（3）在點P運動過程中，設=x，tanAFD=y，求y及x之間的函數關系式（不要求寫出x的取值范圍）圓的綜合題（1）證明相似，思路很常規，就是兩個角相等或邊長成比例因為題中因圓周角易知一對相等的角，那么另一對角相等就是我們需要努力的方向，因為涉及圓，傾向于找接近圓的角DPF，利用補角在圓內作等量代換，等弧對等角等知識易得DPF=APC，則結論易證（2）求PD的長，

21、且此線段在上問已證相似的PDF中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應有的思路利用已知條件易得其他邊長，則PD可求（3）因為題目涉及AFD及也在第一問所得相似的PDF中，進而考慮轉化，AFD=PCA，連接PB得AFD=PCA=PBG，過G點作AB的垂線，若此線過PB及AC的交點那么結論易求，因為根據三角函數或三角形及三角形ABC相似可用AG表示PBG所對的這條高線但是“此線是否過PB及AC的交點”？此時首先需要做的是多畫幾個動點P，觀察我們的猜想驗證得我們的猜想應是正確的，可是證明不能靠畫圖，如何求證此線過PB及AC的交點是我們解題的關鍵常規作法不易得此結論，我們可以換另外的輔助線作法，先

22、做垂線，得交點H，然后連接交點及B，再證明HBG=PCA=AFD因為C、D關于AB對稱，可以延長CG考慮P點的對稱點根據等弧對等角，可得HBG=PCA，進而得解題思路（1）證明：，DPF=180APD=180所對的圓周角=180所對的圓周角=所對的圓周角=APC在PAC和PDF中，PACPDF（2）解：如圖1，連接PO，則由，有POAB，且PAB=45，APO、AEF都為等腰直角三角形在RtABC中，AC=2BC，AB2=BC2+AC2=5BC2，AB=5，BC=，AC=2，CE=ACsinBAC=AC=2=2， AE=ACcosBAC=AC=2=4，AEF為等腰直角三角形，EF=AE=4，F

23、D=FC+CD=（EFCE）+2CE=EF+CE=4+2=6APO為等腰直角三角形，AO=AB=，AP=PDFPAC，PD=（3）解：如圖2，過點G作GHAB，交AC于H，連接HB，以HB為直徑作圓，連接CG并延長交O于Q，HCCB，GHGB，C、G都在以HB為直徑的圓上，HBG=ACQ，C、D關于AB對稱，G在AB上，Q、P關于AB對稱，PCA=ACQ，HBG=PCAPACPDF，PCA=PFD=AFD，y=tanAFD=tanPCA=tanHBG=HG=tanHAGAG=tanBACAG=，y=x本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數等性質，前兩問思路還算簡單，但最后一問需要熟練的解題技巧

24、需要長久的磨練總結總體來講本題偏難，學生練習時加強理解，重點理解分析過程，自己如何找到思路【例3】（第24題）如圖，已知：在矩形ABCD的邊AD上有一點O，OA=，以O為圓心，OA長為半徑作圓，交AD于M，恰好及BD相切于H，過H作弦HPAB，弦HP=3若點E是CD邊上一動點（點E及C，D不重合），過E作直線EFBD交BC于F，再把CEF沿著動直線EF對折，點C的對應點為G設CE=x，EFG及矩形ABCD重疊部分的面積為S（1）求證：四邊形ABHP是菱形；（2）問EFG的直角頂點G能落在O上嗎？若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由；（3）求S及x之間的函數關系式，并直接寫出FG及O相切時，

25、S的值第3題圖考點：圓的綜合題；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性質；垂徑定理；切線的性質；切線長定理；軸對稱的性質；特殊角的三角函數值所有專題：壓軸題分析：（1）連接OH，可以求出HOD=60，HDO=30，從而可以求出AB=3，由HPAB，HP=3可證到四邊形ABHP是平行四邊形，再根據切線長定理可得BA=BH，即可證到四邊形ABHP是菱形（2）當點G落到AD上時，可以證到點G及點M重合，可求出x=2（3）當0 x2時，如圖，S=SEGF，只需求出FG，就可得到S及x之間的函數關系式；當2x3時，如圖，S=SGEFSSGR，只需求出SG、RG，就可得到S及x之間的函數關系式當FG

26、及O相切時，如圖，易得FK=AB=3，KQ=AQAK=22+x再由FK=KQ即可求出x，從而求出S解答：解：（1）證明：連接OH，如圖所示四邊形ABCD是矩形，ADC=BAD=90，BC=AD，AB=CDHPAB，ANH+BAD=180ANH=90HN=PN=HP=OH=OA=，sinHON=HON=60BD及O相切于點H，OHBDHDO=30OD=2AD=3BC=3BAD=90，BDA=30tanBDA=AB=3HP=3，AB=HPABHP，四邊形ABHP是平行四邊形BAD=90，AM是O的直徑，BA及O相切于點ABD及O相切于點H，BA=BH平行四邊形ABHP是菱形（2）EFG的直角頂點G

27、能落在O上如圖所示，點G落到AD上EFBD，FEC=CDBCDB=9030=60，CEF=60由折疊可得：GEF=CEF=60GED=60CE=x，GE=CE=xED=DCCE=3xcosGED=x=2GE=2，ED=1GD=OG=ADAOGD=3=OG=OM點G及點M重合此時EFG的直角頂點G落在O上，對應的x的值為2當EFG的直角頂點G落在O上時，對應的x的值為2（3）如圖，在RtEGF中，tanFEG=FG=xS=GEFG=xx=x2如圖，ED=3x，RE=2ED=62x，GR=GEER=x（62x）=3x6tanSRG=，SG=（x2）SSGR=SGRG=（x2）（3x6）=（x2）2

28、SGEF=x2，S=SGEFSSGR=x2（x2）2=x2+6x6綜上所述：當0 x2時，S=x2；當2x3時，S=x2+6x6當FG及O相切于點T時，延長FG交AD于點Q，過點F作FKAD，垂足為K，如圖所示四邊形ABCD是矩形，BCAD，ABC=BAD=90AQF=CFG=60OT=，OQ=2AQ=+2FKA=ABC=BAD=90，四邊形ABFK是矩形FK=AB=3，AK=BF=3xKQ=AQAK=（+2）（3x）=22+x在RtFKQ中，tanFQK=FK=QK3=（22+x）解得：x=3032，S=x2=（3）2=6FG及O相切時，S的值為6點評：本題考查了矩形的性質、菱形的性質、切線

29、的性質、切線長定理、垂徑定理、軸對稱性質、特殊角的三角函數值、30角所對的直角邊等于斜邊的一半、等腰三角形的性質等知識，綜合性非常強【例4】（第23題）如圖1，在O中，E是弧AB的中點，C為O上的一動點（C及E在AB異側），連接EC交AB于點F，EB=（r是O的半徑）（1）D為AB延長線上一點，若DC=DF，證明：直線DC及O相切；（2）求EFEC的值；（3）如圖2，當F是AB的四等分點時，求EC的值圓的綜合題.（1）連結OC、OE，OE交AB于H，如圖1，由E是弧AB的中點，根據垂徑定理的推論得到OEAB，則HEF+HFE=90，由對頂相等得HFE=CFD，則HEF+CFD=90，再由DC=

30、DF得CFD=DCF，加上OCE=OEC，所以OCE+DCE=HEF+CFD=90，于是根據切線的判定定理得直線DC及O相切；（2）由弧AE=弧BE，根據圓周角定理得到ABE=BCE，加上FEB=BEC，于是可判斷EBFECB，利用相似比得到EFEC=BE2=（r）2=r2；（3）如圖2，連結OA，由弧AE=弧BE得AE=BE=r，設OH=x，則HE=rx，根據勾股定理，在RtOAH中有AH2+x2=r2；在RtEAH中由AH2+（rx）2=（r）2，利用等式的性質得x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，則HE=rr=r，在RtOAH中，根據勾股定理計算出AH=，由OEAB得AH=BH，而

31、F是AB的四等分點，所以HF=AH=，于是在RtEFH中可計算出EF=r，然后利用（2）中的結論可計算出EC（1）證明：連結OC、OE，OE交AB于H，如圖1，E是弧AB的中點，OEAB，EHF=90，HEF+HFE=90，而HFE=CFD，HEF+CFD=90，DC=DF，CFD=DCF，而OC=OE，OCE=OEC，OCE+DCE=HEF+CFD=90，OCCD，直線DC及O相切；（2）解：連結BC，E是弧AB的中點，弧AE=弧BE，ABE=BCE，而FEB=BEC，EBFECB，EF：BE=BE：EC，EFEC=BE2=（r）2=r2；（3）解：如圖2，連結OA，弧AE=弧BE，AE=B

32、E=r，設OH=x，則HE=rx，在RtOAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在RtEAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（rx）2=（r）2，x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，HE=rr=r，在RtOAH中，AH=，OEAB，AH=BH，而F是AB的四等分點，HF=AH=，在RtEFH中，EF=r，EFEC=r2，rEC=r2，EC=r本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理和圓周角定理；會利用勾股定理進行幾何計算，利用相似三角形的知識解決有關線段等積的問題【例5】（第26題12分）如圖，O1及O2外切及點D，直線l及兩圓分別相切于點A、B，及直線O1O2相交于點M，且tanAM01=，MD=4（1）求O2的半徑；（2）求ADB內切圓的面積；（3）在直線l上是否存在點P，使MO2