1、第一章 三角函數(shù) 1com 弧度制 7com 任意角的三角函數(shù) 14com本關(guān)系 30com46com的性質(zhì) 52com象 63向量 96com運(yùn)算及其幾何意義com運(yùn)算及其幾何意義com運(yùn)算及其幾何意義com基本定理 121com的正交分解及坐標(biāo)表示 121com的坐標(biāo)運(yùn)算 130com量共線的坐標(biāo)表示 130com量積的物理背景及其含義 138com數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角 144com幾何中的向量方法 149com物理中的應(yīng)用舉例 157第三章 三角恒等變換 162com余弦公式 163com差的正弦余弦正切公式 171com正弦余弦正切公式 186角恒等變換 194數(shù) 象性質(zhì)及應(yīng)用三角函

2、數(shù)是高中教材中的一種重要函數(shù)與其他的函數(shù) 相比具有許多重要的特征它以角為自變量是周期函數(shù)三角函數(shù)是解 決其他問題的重要工具是高中階段學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù)是 深化函數(shù)性質(zhì)的極好素材本章的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)相 似形的有關(guān)知識(shí)特別強(qiáng)調(diào)了單位圓的直觀作用借助單位圓直觀地認(rèn) 任意角任意角的三角函數(shù)正弦函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)難點(diǎn)是弧度制和圖象變換的準(zhǔn)確理解和 掌握關(guān)鍵是學(xué)好三角函數(shù)定義從實(shí)際教學(xué)情況來看教學(xué)中應(yīng)重視學(xué) 生的畫圖五點(diǎn)畫圖雖然簡(jiǎn)單但卻易學(xué)難掌握在本章教學(xué)中教師應(yīng)根 據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)知識(shí)通過列舉熟知的實(shí)例創(chuàng)設(shè)豐富 的情境使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)模型的意義教學(xué)時(shí)可結(jié)合本章引言的

3、章 頭圖讓學(xué)生圍繞這些問題展開討論通過思考讓學(xué)生知道三角函數(shù)可 以刻畫這些周期變化規(guī)律從而激發(fā)學(xué)生的求知欲 和性質(zhì)及結(jié)合三角形的基礎(chǔ)知識(shí)為背景的三角函數(shù)知識(shí)頻頻在各省 高考試題中出現(xiàn)難度雖有降低卻是經(jīng)久不衰的高考考查內(nèi)容教學(xué)分析教材首先通過實(shí)際問題的展示引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突然 后通過具體例子將初中學(xué)過的角的概念推廣到任意角在此基礎(chǔ)上引 出終邊相同的角的集合的概念這樣可以使學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn) 生活經(jīng)驗(yàn) 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn) 的基礎(chǔ)上更好地認(rèn)識(shí)任意角象限角終邊相同的角等概 念讓學(xué)生體會(huì)到把角推廣到任意角的必要性引出角的概念的推廣問 題本節(jié)充分結(jié)合角和平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系建立了象限角的概念使 得任意角的討論有一個(gè)

4、統(tǒng)一的載體教學(xué)中要特別注意這種利用幾何 的直觀性來研究問題的方法引導(dǎo)學(xué)生善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法 來認(rèn)識(shí)問題解決問題讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)在平面直角坐標(biāo)系中討論任意 角能熟練寫出與已知角終邊相同的角的集合是本節(jié)的一個(gè)重要任務(wù)學(xué)生的活動(dòng)過程決定著課堂教學(xué)的成敗教學(xué)中應(yīng)反復(fù)挖掘探究 欄目及探究示圖的過程功能在這個(gè)過程上要不惜多花些時(shí)間讓學(xué)生 進(jìn)行操作與思考自然地更好地歸納出終邊相同的角的一般形式也就 自然地理解了集合 S k 360kZ 的含義如能借助信息技 術(shù)則可以動(dòng)態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程更有利于學(xué)生觀察角的變化 與終邊位置的關(guān)系讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的過程中體會(huì)既要知道旋轉(zhuǎn)量又要 知道旋轉(zhuǎn)方向才能準(zhǔn)確刻畫角

5、的形成過程的道理更好地了解任意角 的 com 的展示使學(xué)生理解角的概念推廣的必要性理解并掌握正角負(fù) 角零角象限角終邊相同角的概念及表示樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)并由此刻理解推廣之后的角的概念 相同的角不一定相等終邊相同的角有無限多個(gè)它們相差360的整數(shù) 倍這對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展形成科學(xué)的世界觀價(jià)值觀具有重要意義 合等思想方法的運(yùn)用為今后的學(xué)習(xí)與發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)將 0360范圍的角推廣到任意角終邊相同的角的集 合教學(xué)難點(diǎn)用集合來表示終邊相同的角課時(shí)安排 1 課時(shí)教學(xué)過程 機(jī)只要指針旋轉(zhuǎn)到陰影部分即可獲得高額獎(jiǎng)品由此發(fā)問指針怎樣旋 轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)多少度才能贏還有我們所熟悉的體操運(yùn)動(dòng)員旋轉(zhuǎn)的角度自行

6、車車輪旋轉(zhuǎn)的角度螺絲扳手的旋轉(zhuǎn)角度這些角度都怎樣解釋在學(xué)生 急切想知道的渴望中引入角的概念的推廣進(jìn)而引入角的概念的推廣 范圍是什么用這些角怎樣解釋現(xiàn)實(shí)生活的一些現(xiàn)象比如你原地轉(zhuǎn)體 一周的角度應(yīng)怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象由此讓學(xué)生展開 討論進(jìn)而引入角的概念的推廣問題推進(jìn)新課提出問題你的手表慢了 5 分鐘你將怎樣把它調(diào)整準(zhǔn)確假如你125 小時(shí)你應(yīng)當(dāng)怎樣將它調(diào)整準(zhǔn)確當(dāng)時(shí)間調(diào)整準(zhǔn)確后分 度角體操運(yùn)動(dòng)中有轉(zhuǎn)體兩周在這個(gè)動(dòng)作中運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體多少度請(qǐng)兩名男生 或女生或多名男女學(xué)生 起立做由面向黑板轉(zhuǎn)體 背向黑板的動(dòng)作在這個(gè)過程中他們各轉(zhuǎn)體了多少度活動(dòng)讓學(xué)生到講 臺(tái)利用準(zhǔn)備好的教具鐘表實(shí)地演示撥表的過程讓學(xué)

7、生站立原地做轉(zhuǎn) 體動(dòng)作教師強(qiáng)調(diào)學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量并思考怎樣表示旋轉(zhuǎn)方 向?qū)卮鹫_的學(xué)生及時(shí)給予鼓勵(lì)表?yè)P(yáng)對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引 思路角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一 針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置 OB 則形成了一個(gè)角 點(diǎn) O 是角的頂點(diǎn)射線 我們規(guī)定一條射線繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫 做正角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角鐘表的時(shí)針和分針在旋 轉(zhuǎn)過程中所形成的角總是負(fù)角為了簡(jiǎn)便起見在不引起混淆的前提下 角 或 可以簡(jiǎn)記作如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)我們稱它形成了一個(gè)零角零角的 始邊和終邊重合如果 是零角那么 0提出問題能否以同一條射線為始邊作出下列角 210-4

8、5 如何在坐標(biāo)系中作出這些角象限角是什么意思 0角又是什 么意思 活動(dòng)先讓學(xué)生看書思考并討論這些問題教師提示點(diǎn)撥并 對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生教師提示引導(dǎo)考慮 問題的思路學(xué)生作這樣的角使用一條射線作為始邊沒有固定的參照 所以會(huì)作出很多形式不同的角教師可以適時(shí)地提醒學(xué)生如果將角放 到平面直角坐標(biāo)系中問題會(huì)怎樣呢并讓學(xué)生思考討論在直角坐標(biāo)系 內(nèi)討論角的好處使角的討論得到簡(jiǎn)化還能有效地表現(xiàn)出角的終邊周 今后我們?cè)谧鴺?biāo)系中研究和討論角為了討論問題的方便我們使 角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合那么角的 終邊在第幾象限我們就說這個(gè)角是第幾象限角要特別強(qiáng)調(diào)角與直角 坐標(biāo)

9、系的關(guān)系角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸 使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合 角的終邊在第幾象限我們就說這個(gè)角是第幾象限角這樣限角-45角是第四象限角50角是第三象限角問銳角是第幾象限角鈍角是第幾象限角直角是第幾象限角反之如 何將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中給定一個(gè)角就有唯一一條 的角是否唯一如果不唯一那么終邊相同的角有什么關(guān)系在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出210-150的角的終邊你有什么發(fā)現(xiàn)它 們有怎樣的數(shù)量關(guān)系 328-32-392角的終邊及數(shù)量關(guān)系是怎樣 邊相同的角有什么關(guān)系所有與 終邊相同的角連同角 在內(nèi)怎樣用一個(gè)式子表示出 來活動(dòng)讓學(xué)生從具體問題入手探索

10、終邊相同的角的關(guān)系再用所準(zhǔn)備 的教具或是多媒體給學(xué)生演示演示象限角終邊相同的角并及時(shí)地引 同的角的表示作好準(zhǔn)備為了使學(xué)生明確終邊相同的角的表示方法還可以用教具作一個(gè) 32角放在直角坐標(biāo)系內(nèi)使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合形成-32角后提問學(xué)生這是第幾象限角是多少度 角學(xué)生對(duì)后者的回答是多種多樣的至此教師因勢(shì)利導(dǎo)予以啟發(fā)學(xué)生對(duì)問題探究的結(jié)果已經(jīng)水到渠 成本節(jié)難點(diǎn)得以突破同時(shí)學(xué)生也在這一學(xué)習(xí)過程中體會(huì)到了探索的 樂趣激發(fā)起了極大的學(xué)習(xí)熱情這是比學(xué)習(xí)知識(shí)本身更重要的討論結(jié)果210與-150角的終邊相同328-32-392角的 相同所有與 終邊相同的角連同角 在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集

11、合 S 即任一與角 終邊相同的角都可以表示成 與整數(shù)個(gè)周角的和學(xué)生認(rèn)識(shí) kZ 是任意角終邊相同的角不一定 在 0360范圍內(nèi)找出與-95012角終邊相同的角并判定它 學(xué)生很容易分別寫出所有與90270的終邊相同的角構(gòu)成集合 這時(shí)應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考能否化簡(jiǎn)這兩個(gè)式子用一個(gè)式子表 讓學(xué)生觀察討論思考并逐漸形成共識(shí)教師再規(guī)范地 com 達(dá)式子 情況下注意采用簡(jiǎn)約的形式 點(diǎn)評(píng)本例是讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示教學(xué)中應(yīng)引 導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊相同的角時(shí)表示方法不唯一要注意采用 寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合 -2180 -31545-1180 -135450180 45451180 225

12、452180 405453180 585本例是讓學(xué)生表示終邊在已知直線的角并找出某一范 一象限 第二象限第三象限第四象限活動(dòng)本題關(guān)鍵是寫出第一象限的角的集合其他象限的角的 集合依此類推即可如果學(xué)生閱讀例題后沒有解題思路或者把中的 范圍寫成 090可引導(dǎo)學(xué)生分析 360450范圍的角是不是第一 象限的角呢進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生寫出所有終邊相同的角 點(diǎn)評(píng)教師給出以上解答后可進(jìn)一步提問以上的解答形式是唯一 進(jìn)一步深刻理解終邊相同角 直角不屬于任何一個(gè)象限不屬于任何一個(gè)象限的角不一定是直 角鈍角是第二象限角但是第二象限角不一定是鈍角點(diǎn)評(píng)要深刻認(rèn)識(shí)銳角直角鈍角和象限角的區(qū)別與聯(lián)系并理解記 憶為弄清概念的本質(zhì)屬性還

13、可以再進(jìn)一步啟發(fā)設(shè)問一定讓學(xué)生展開討論在爭(zhēng)論中將對(duì)問題的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步升華并牢牢的 礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)評(píng)本題的目的是將終邊相同的角的符號(hào)表示應(yīng)用到其他周期 象限角角并判斷是第幾象限的角542第四象限角點(diǎn)評(píng)能在給定的范圍內(nèi)找出與指定角終邊相同的角并判斷是第 點(diǎn)評(píng)用集合表示法和符號(hào)語言寫出與指定角終邊相同的角的集 合并在給定的范圍內(nèi)找出與指定的角的終邊相同的角課堂小結(jié)讓學(xué)生自己回憶本節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些新知識(shí)你是怎樣獲得這些 新知識(shí)的你從本節(jié)課上都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法讓學(xué)生自己得到以下 本節(jié)課推廣了角的概念學(xué)習(xí)了正角負(fù)角零角的定義象限角的概 念以及終邊相同的角的表示方法零角是射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)一個(gè)角 是第幾象限的角關(guān)

14、鍵是看這個(gè)角的終邊落在第幾象限終邊相同的角 的表示有兩方面的內(nèi)容 1 與角 終邊相同的角這些角的集合為 S 數(shù) 即為所找的角數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法 預(yù)習(xí)下一節(jié)弧度制設(shè)計(jì)感想 教學(xué)效果會(huì)很好教師可充分利用多媒體做好課件在課堂上演示給學(xué) 生有條件的學(xué)校可以讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器進(jìn)行探究讓學(xué)生在 知識(shí)提煉方法 念的理解在學(xué)生得出象限角的概念后可以充分讓學(xué)生討論在直角坐 標(biāo)系中研究角的好處前瞻性地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)在直角坐標(biāo)系中角的周而復(fù)始的變化規(guī)律為研究三角函數(shù)的周期性奠定基礎(chǔ)1 列舉不在0360的角時(shí)應(yīng)注意所有的角在同一個(gè)平面內(nèi)且 的過程中角的頂點(diǎn)不動(dòng) 3 在寫出終邊相

15、同的角的集合時(shí)可根據(jù)具體問題對(duì)相應(yīng)的集合 教學(xué)分析在物理學(xué)和日常生活中一個(gè)量常常需要用不同的方法 進(jìn)行度量不同的度量方法可以滿足我們不同的需要現(xiàn)實(shí)生活中有許 多計(jì)量單位如度量長(zhǎng)度可以用米厘米尺碼等不同的單位制度量重量 可以用千克斤噸磅等不同的單位制度量角的大小可以用度為單位進(jìn) 通過類比引出弧度制給出 1 弧度的定義然后通過探究得到弧度 數(shù)的絕對(duì)值公式并得出角度和弧度的換算方法在此基礎(chǔ)上通過具體 的例子鞏固所學(xué)概念和公式進(jìn)一步認(rèn)識(shí)引入弧度制的必要性這樣可 以盡量自然地引入弧度制并讓學(xué)生在探究過程中更好地形成弧度的 概念建立角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠 通過探究討論關(guān)鍵弄清

16、1 弧度角的定義使學(xué)生建立弧度的概念 理解弧度制的定義達(dá)到突破難點(diǎn)之目的通過電教手段的直觀性使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性可行性通過周角的兩 種單位制的度量得到角度與弧度的換算公式使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制弧 度制都是度量角的制度二者雖單位不同但卻是互相聯(lián)系辯證統(tǒng)一的 進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)辯證統(tǒng)一思想的理解滲透數(shù)學(xué)中普遍存在相互聯(lián)系相 轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)三維目標(biāo) 總結(jié)引入弧度制的好處學(xué)會(huì)歸納整理并認(rèn)識(shí)到任何新知識(shí)的學(xué)習(xí)都 會(huì)為解決實(shí)際問題帶來方便從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué) 重點(diǎn)理解弧度制的意義并能進(jìn)行角度和弧度的換算教學(xué)難點(diǎn)弧度的概念及其與角度的關(guān)系課時(shí)安排 種度量單位是怎樣換算的家庭購(gòu)買水果常

17、用千克斤為單位進(jìn)行度量 這兩種度量單位是怎樣換算的度量角的大小除了以度為單位度量外 還可采用哪種度量角的單位制它們是怎樣換算的 遍使用的鐘表實(shí)際上我們使用的鐘表是用時(shí)針分針和秒針角度的變 化來確定時(shí)間的無論采用哪一種方法度量一個(gè)確定的量所得到的量數(shù)必須是唯一確定的在初中已學(xué)過利用角度來度量角的大小現(xiàn)在來 學(xué)習(xí)角的另一種度量方法弧度制要使學(xué)生真正了解弧度制首先要弄 在引入弧度制后可以引導(dǎo)學(xué)生建立弧與圓心角的聯(lián)系弧的度數(shù) 等于圓心角的度數(shù)隨著角的概念的推廣圓心角和弧的概念也隨之推 廣從形上說圓心角有正角零角負(fù)角相應(yīng)的弧也就有正弧零弧負(fù)弧從 數(shù)上講圓心角與弧的度數(shù)有正數(shù)0負(fù)數(shù)圓心角和弧的正負(fù)實(shí)際上表

18、 示了角的不同方向就像三角函數(shù)值的正負(fù)可以用三角函數(shù)線 有向線 段 的方向來表示一樣每一個(gè)圓心角都有一條弧與它對(duì)應(yīng)并且不同的 圓心角對(duì)應(yīng)著不同的弧反之亦然推進(jìn)新課新知探究提出問題問題在初中幾何里我們學(xué)習(xí)過角的度量1的角是怎 活動(dòng)教師先讓學(xué)生思考或討論問題并讓學(xué)生回憶初中有關(guān) 角度的知識(shí)提出這是認(rèn)識(shí)弧度制的關(guān)鍵為更好地理解角度弧度的關(guān) 系奠定基礎(chǔ)討論后教師提問學(xué)生并對(duì)回答好的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)對(duì)回答 不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的關(guān)鍵教師板書弧度制的定義規(guī)定 長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做 1 弧度的角以弧度為單位 制提出問題問題作半徑不等的甲乙兩圓在每個(gè)圓上作出等于其 半徑的弧長(zhǎng)連結(jié)圓心與弧的

19、兩個(gè)端點(diǎn)得到兩個(gè)角將乙圖移到甲圖上 樣的關(guān)系 的弧度數(shù)是多少既然角度制弧度制都是角的度量制那么它們之間如 何換算 活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和歸納角度制和弧度制的關(guān) 系提問學(xué)生歸納的情況讓學(xué)生找出區(qū)別和聯(lián)系教師給予補(bǔ)充和提示 對(duì)表現(xiàn)好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng)對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示和鼓勵(lì)引入弧度 之后應(yīng)與角度進(jìn)行對(duì)比使學(xué)生明確第一弧度制是以弧度為單位來度 量角的單位制角度制是以度為單位來度量角的單位制第二 1 弧度是 第三無論是以弧度還是以度為單位角的大小都是一個(gè)與半徑大小無 關(guān)的定值教師要強(qiáng)調(diào)為了讓學(xué)生習(xí)慣使用弧度制本教科書在后續(xù)的 盡量采用弧度制 弧度化為角度 2 rad 3601 rad 5730 5

20、718弧度制 與角度制的換算公式設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為 rad n n rad 該怎么用弧度來表示扇形的面積與弧長(zhǎng)公式用弧度怎么表示2r -2 - 0師先給學(xué)生說給圖象對(duì)一些特 殊角填表然后概括出一般情況教師讓學(xué)生互動(dòng)起來討論并總結(jié)出規(guī) 律提問學(xué)生的總結(jié)情況讓學(xué)生板書教師對(duì)做正確的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)對(duì) 沒有總結(jié)完全的學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的提示檢查完畢后教師做個(gè)總結(jié)學(xué)生 認(rèn)識(shí)換算問題即角度制弧度制都是角的度量制那么它們一定可以換 算推而廣之同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象用不同方式表示時(shí)它們之間一定有內(nèi)在 聯(lián)系認(rèn)識(shí)這種聯(lián)系性也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一教師給學(xué)生指出角的概念推廣后在弧度制下角的集合與實(shí)數(shù)集R 之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系每

21、一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù) 即這個(gè)角的 弧度數(shù) 與它對(duì)應(yīng)反過來每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角 即弧度數(shù) 等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角 與它對(duì)應(yīng)值得注意的是今后在表示與角 終邊相 者 2k 60一類的寫法在弧度制中與角 終邊相同的角連同角 在 的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系圖 2 討論結(jié)果與角 終邊相同的角連同角 在內(nèi) 可以寫成 2k kZ 的形式弧度制下關(guān)于扇形的公式為 l RS R2S lR-180 0 未旋轉(zhuǎn) 0 0 r 逆時(shí)針方向 180r向 2 360 應(yīng)用示例 活動(dòng)本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下理解弧度制與角度 制的聯(lián)系與區(qū)別以達(dá)到熟練掌握定義從實(shí)際教學(xué)上看弧度制不難理 解學(xué)生結(jié)合角度制很容易記住根據(jù)弧度制的定義我

22、們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧和所對(duì)的圓心角 個(gè)是答案 D 將下列用弧度制表示的角化為 2k kZ 02 活動(dòng)本題的目的是讓學(xué)生理解什么是終邊相同的角教師給 解 -4 是第一象限角 10 是第二象限角 2k kZ 02 的形式再根據(jù) 角終邊所在的位置進(jìn)行判 |0628 的形式通過 與 比較大小估計(jì)出角所在的象限變式訓(xùn)練 1 把-1 480寫成 2k kZ 02 的形式2 若 -4 0 且 與 1 中 終邊相同求解 1 -1 480 - -10 0 2-1 480 2 -5 2 與 終邊相同 2k kZ同 活動(dòng)本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下會(huì)用弧度制求終邊 相同的角并通過獨(dú)立完成課后練習(xí)真正領(lǐng)悟弧度制的

23、要領(lǐng)最終達(dá)到 熟練掌握從實(shí)際教學(xué)來看用弧度制解決角的問題要很容易卻難掌握 很有可能記錯(cuò)或者混淆或者化簡(jiǎn)錯(cuò)誤學(xué)生需多做些這方面的題來練 基本功可先讓學(xué)生多做相應(yīng)的隨堂練習(xí)在黑板上當(dāng)場(chǎng)演練教師給予 批改指導(dǎo)對(duì)易出錯(cuò)的地方特別強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的種種失誤教師不要 著急在學(xué)生的練習(xí)操作中一一糾正這對(duì)以后學(xué)習(xí)大有好處又0 2 0 2點(diǎn)評(píng)本題是在一定的約束條件下求與角 終邊相同的角一 求當(dāng)扇形的圓心角多大時(shí)扇形的面積最大并求這個(gè)最大值活動(dòng)這是一道應(yīng)用題并且考查了函數(shù)思想教師提示學(xué)生回 顧一下用函數(shù)法求最值的思路與步驟教師提問學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌 握和鞏固并對(duì)回答好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng)對(duì)回答不全面的學(xué)生給予一定 的提示

24、和鼓勵(lì)教師補(bǔ)充函數(shù)法求最值所包括的五個(gè)基本環(huán)節(jié) 1 選取 自變量 2 建立目標(biāo)函數(shù) 3 指出函數(shù)的定義域 4 求函數(shù)的最值 5 作出相應(yīng)結(jié)論其中自變量的選取不唯一建立目標(biāo)函數(shù)結(jié)合有關(guān)公式 進(jìn)行函數(shù)定義域要根據(jù)題意確定有些函數(shù)是結(jié)構(gòu)確定求最值的方法 并確保在定義域內(nèi)能取到最值點(diǎn)評(píng)這是一個(gè)最大值問題可用函數(shù)法求解即將扇形的面積 S 表 示成某個(gè)變量的函數(shù)然后求這個(gè)函數(shù)的最大值及相應(yīng)的圓心角 點(diǎn)評(píng)求扇形的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角半徑弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任 意兩個(gè)量相反也可由扇形的面積結(jié)合其他條件求扇形的圓心角半徑 弧長(zhǎng)解題時(shí)要注意公式的靈活變形及方程思想的運(yùn)用知能訓(xùn)練 15 2 -240 3 543 1 k

25、 kZ 2 k kZ 4 1 cos075 cos075 2 tan12 tan12點(diǎn)評(píng)體會(huì)同數(shù)值不同單位的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值可能不同并進(jìn) 一步認(rèn)識(shí)兩種單位制注意在用計(jì)算器求三角函數(shù)值之前要先對(duì)計(jì)算 點(diǎn)評(píng)通過分別運(yùn)用角度制和弧度制下的弧長(zhǎng)公式體會(huì)引入弧度 弧度數(shù)的絕對(duì)值公式課堂小結(jié) 調(diào)角度制與弧度制是度量角的兩種不同的單位制它們是互相聯(lián)系的 關(guān)系式由此可以很方便地進(jìn)行角度與弧度的換算三個(gè)注意的問題同 要切記特殊角的弧度數(shù)同學(xué)們要熟記重要的一點(diǎn)是同學(xué)們自己找到了角的集合與實(shí)數(shù)集 R 的一一對(duì) 應(yīng)關(guān)系對(duì)弧度制下的弧長(zhǎng)公式扇形面積公式有了深刻的理解要把這 兩個(gè)公式記下來并在解決實(shí)際問題中靈活運(yùn)用表?yè)P(yáng)

26、學(xué)生能總結(jié)出引 入弧度制的好處這種不斷總結(jié)不斷歸納梳理知識(shí)編織知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)特 別是同學(xué)們善于聯(lián)想積極探索的學(xué)習(xí)品質(zhì)會(huì)使我們終生受用這樣持 之以恒地堅(jiān)持下去你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)王國(guó)的許多寶藏以服務(wù)于社會(huì)造福 本節(jié)課的設(shè)計(jì)思想是在學(xué)生的探究活動(dòng)中通過類比引入弧度制 這個(gè)概念并突破這個(gè)難點(diǎn)因此一開始要讓學(xué)生從圖形代數(shù)兩方面深 入探究不要讓開始的探究成為一種擺設(shè)如果學(xué)生一開始沒有很好的 理解那么以后有些題怎么做就怎么難受通過探究讓學(xué)生明確知識(shí)依 附于問題而存在方法為解決問題的需要而產(chǎn)生將弧度制的概念的形 成過程自然地貫徹到教學(xué)活動(dòng)中去由此把學(xué)生的思維推到更寬的廣 度本節(jié)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是由特殊到一般由易到難這符合學(xué)生

27、的認(rèn)知規(guī) 律讓學(xué)生在探究中積累知識(shí)發(fā)展能力對(duì)形成科學(xué)的探究未知世界的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)有著良好的啟迪但由于學(xué)生知識(shí)水平的限制本節(jié)不能擴(kuò)展 太多建議讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)總結(jié)歸納用弧度來計(jì)量角的好處并 為后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)根據(jù)本節(jié)特點(diǎn)可考慮分層推進(jìn)照顧全體對(duì)優(yōu)等生重在引導(dǎo)他們 變式思維的訓(xùn)練培養(yǎng)他們求同思維求異思維的能力以及思維的靈活 性深刻性與創(chuàng)造性鼓勵(lì)他們獨(dú)立思考勇于探索敢于創(chuàng)新對(duì)正確的要 予以肯定對(duì)暴露出來的問題要及時(shí)引導(dǎo)剖析糾正使課堂學(xué)習(xí)成為再 過程學(xué)生已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)它是用直角三角形邊長(zhǎng)的比來刻畫 的銳角三角函數(shù)的引入與解三角形有直接關(guān)系任意角的三角函數(shù)是 刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型它

28、與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了因 此與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)關(guān)鍵是要使 學(xué)生理解三角函數(shù)的概念圖象和性質(zhì)并能用三角函數(shù)描述一些簡(jiǎn)單 的周期變化規(guī)律解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函 數(shù)由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系使得我們?cè)谟?論三角函數(shù)的問題時(shí)對(duì)于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問 題等都可以從圓的性質(zhì) 特別是對(duì)稱性 中得到啟發(fā)三角函數(shù)的研究 中數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用利用信息技術(shù)可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系并在角的變化過程中將這種聯(lián)系 直觀地體現(xiàn)出來所以信息技術(shù)可以幫

29、助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的 本質(zhì)激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)勇于探索勇于創(chuàng) 新的精神通過學(xué)生之間師生之間的交流合作實(shí)現(xiàn)共同探究教學(xué)相長(zhǎng) 的 com 單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義理解三角函數(shù)是以 實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識(shí)正弦余弦正切 函數(shù)的定義域理解并掌握正弦余弦正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào) 表示出來 教學(xué)重點(diǎn)任意角的正弦余弦正切的定義終邊相同的角的同一三 教學(xué)難點(diǎn)用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫三角函數(shù)三角函數(shù)符 示課時(shí)安排思路 1 我們把角的范圍推廣了銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎 對(duì)邊與斜邊的比值嗎類比角的概念的推廣怎樣修正三角函數(shù)定義由 此展開新課另外用單

30、位圓定義法單刀直入給出定義然后再在適當(dāng)時(shí) 機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù)這也是一種不錯(cuò)的選擇思路 2 教師先讓學(xué)生看教科書上的思考通過這個(gè)思考提出用直 角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的問題以引導(dǎo)學(xué) 生回憶銳角三角函數(shù)概念體會(huì)引進(jìn)象限角概念后用角的終邊上點(diǎn)的 坐標(biāo)比表示銳角三角函數(shù)的意義從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定 基礎(chǔ)教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前作了如下鋪墊直角三角形 為載體的銳角三角函數(shù)象限角為載體的銳角三角函數(shù)單位圓上 點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)推進(jìn)新課新知探究提出問題 問題在初中時(shí)我們學(xué)了銳角三角函數(shù)你能回憶 定義嗎 三角函數(shù)嗎 活動(dòng)教師提出問題學(xué)生口頭回答突出它是以銳角為 自變

31、量邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù)教師并對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行 表?yè)P(yáng)對(duì)回答不出來的同學(xué)給予提示和鼓勵(lì)然后教師在黑板上畫出直 教師提示前面我們對(duì)角的概念已經(jīng)進(jìn)行了擴(kuò)充并且學(xué)習(xí)了弧度 制知道了角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的在此基礎(chǔ)上我們來研究任 意角的三角函數(shù)教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 b根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義我們有sin cos tan銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量邊的比值為函數(shù)值的三角函 數(shù)sin cos tan 表達(dá)式簡(jiǎn)化 活動(dòng)教師先讓學(xué)生們相互討論并讓他們動(dòng)手畫畫圖 形看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來然后提問學(xué)生由學(xué)生回答教 師的問題教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn)計(jì)算一下對(duì)應(yīng)的比值獲得具

32、體認(rèn) 識(shí)并由相似三角形的性質(zhì)來證明最后可以發(fā)現(xiàn)由相似三角形的知識(shí) 對(duì)于確定的角 這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn) P 在 的終邊上的位置的改變 過圖形教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比學(xué)生通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn) 圓中角 的弧度 數(shù)的絕對(duì)值等于圓心角 所對(duì)的弧長(zhǎng) 符號(hào)由角 的終邊的旋轉(zhuǎn)方向 為單位圓這樣上述 點(diǎn)就是 的終邊與單位圓的交點(diǎn)銳角三角函數(shù) 位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示 么所以正弦余弦正切都是以角為自變量以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐 標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)教師出示定義后可讓學(xué)生解釋一下定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系教師應(yīng)指 出任意角的正弦余弦正切的定義是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)用單位圓上點(diǎn)的 坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù)與學(xué)生在銳角三角

33、函數(shù)學(xué)習(xí)中建立的已 有經(jīng)驗(yàn)有一定的距離與學(xué)生在數(shù)學(xué)必修一的學(xué)習(xí)中建立起來的經(jīng)驗(yàn) 也有一定的距離學(xué)生熟悉的函數(shù) y f x 是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)而 這里給出的三角函數(shù)首先是實(shí)數(shù) 弧度數(shù) 到點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)然后才 是實(shí)數(shù) 弧度數(shù) 到實(shí)數(shù) 橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo) 的對(duì)應(yīng)這就給學(xué)生的理解造成一定的困難教師在教學(xué)中可以在學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)已有的幾 何直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系 在直角坐標(biāo)系中考查銳角三角函數(shù)得出用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo) 比值 表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論然后再特殊化引出用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表 示銳角三角函數(shù)的結(jié)論在此基礎(chǔ)上再定義任意角的三角函數(shù)在導(dǎo)學(xué)過程中教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意盡管

34、我們從銳角三角函數(shù)出 發(fā)來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)但任意角的三角函數(shù)與銳角三 角函數(shù)之間并沒有一般與特殊的關(guān)系教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)使學(xué)生體會(huì) 到用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)不僅簡(jiǎn)單方便而且反映本 質(zhì)教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么對(duì) 應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)函數(shù)值是什么特別注意 既表示一個(gè)角又是一個(gè) 可以把三角函數(shù)看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)值得注意的是 1 正弦余 弦正切余切正割余割都是以角為自變量以比值為函數(shù)值的函數(shù) 2 sinsin積而是一個(gè)比值三角函數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體 討論結(jié)果這三個(gè)比值與終邊上的點(diǎn)的位置無關(guān)根據(jù)初中學(xué)過 由相似三角形的知識(shí)對(duì)于確定的角 這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)

35、 P 在 的終邊上的位置的改變而改變提出問題問題學(xué)習(xí)了任意角并利用單位圓表示了任意角的三 角函數(shù)引入一個(gè)新的函數(shù)我們可以對(duì)哪些問題進(jìn)行討論 的 活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合在數(shù)學(xué)必修一中的有關(guān)函數(shù)的問題讓 學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí)并總結(jié)回答老師的問題教師對(duì)學(xué)生總結(jié)的東西進(jìn) 行提問并對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng)回答不正確或者不全面的學(xué)生 給予提示和補(bǔ)充教師讓學(xué)生完成教科書上的探究教師提問或讓學(xué)生 按照這樣的思路我們一起來探究如下問題請(qǐng)根據(jù)任意角的三角 函數(shù)定義先將正弦余弦正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表再將 這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)填入圖 3 中的括號(hào)內(nèi)三角函數(shù)定義教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)

36、的坐標(biāo)的特 的定義域是 R 類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域?qū)τ谡泻瘮?shù) tan xtan義 所以正切函數(shù)的定義域是 k kZ 由學(xué)生填寫下表三角函數(shù)定義域 sin R cos R tan k k Z 三角函數(shù)的定義告訴我們各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符 四象限角是負(fù)的 可制作課件展示 同樣地余弦函數(shù)在第一四象限是 正的在第二三象限是負(fù)的正切函數(shù)在第一三象限是正的在第二四象 討論結(jié)果定義域值域單調(diào)性等 活動(dòng)教師留給學(xué)生一定的時(shí)間學(xué)生獨(dú)立思考并回答明確可以用角 終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)但用單位 圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義既不失一般性又簡(jiǎn)單更容易看清對(duì)應(yīng)關(guān)系教師 要點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生習(xí)慣畫圖充分利用數(shù)形

37、結(jié)合但要提醒學(xué)生注意 角 這樣定義三角函數(shù)突出了點(diǎn) P 的任意性說明任意角 的三角函 數(shù)值只與 有關(guān)而與點(diǎn) P 在角的終邊上的位置無關(guān)教師要讓學(xué)生充 論后深刻理解這一點(diǎn) Pcos x 題可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上再由定義得解切值所以 sin cos tan 求證當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)角 為第 活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生討論驗(yàn)證在不同的象限內(nèi)各個(gè)三角函數(shù) 值的符號(hào)有什么樣的關(guān)系提示學(xué)生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其 內(nèi)在的關(guān)系可以知道三角函數(shù)的定義告訴我們各三角函數(shù)在各象限 于第三四象限角是負(fù)的同樣地余弦函數(shù)在第一四象限是正的在第二 三象限是負(fù)的正切函數(shù)在第一三象限是正的在第二四象限是

38、負(fù)的證明我們證明如果式都成立那么 為第三象限角因?yàn)閟in 又因?yàn)槭?tan 0 成立所以 角的終邊可能位于第一或第三 因?yàn)槭蕉汲闪⑺?角的終邊只能位于第三象限 于是角 為第三象限角學(xué)們自己證明點(diǎn)評(píng)本例的目的是認(rèn)識(shí)不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào) 其條件以一個(gè)不等式出現(xiàn)在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生把問題的條件結(jié)論弄清 楚然后再給出證明這一問題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能 力活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)終邊相同角的表示法有什么特點(diǎn)終邊相同的 的關(guān)系再到函數(shù)值之間的 系進(jìn)行討論然后再用三角函數(shù)的定義證明 得到一組公式 公式一 解 1 sin390 sin 36030 sin302 cos cos 2 costan

39、 tan -36030 tan30點(diǎn)評(píng)本題主要是對(duì)誘導(dǎo)公式一的考查利用公式一將任意角都轉(zhuǎn) 生獨(dú)立思考這一題目本題雖然是個(gè)填空題看似簡(jiǎn)單但內(nèi)含分類討論 思想可以找兩個(gè)學(xué)生來板演這個(gè)例題對(duì)解答思路正確的學(xué)生給以鼓 勵(lì)對(duì)思路受阻的學(xué)生要引導(dǎo)其思路的正確性并適時(shí)地點(diǎn)撥學(xué)生假如 是個(gè)大的計(jì)算題應(yīng)該怎樣組織步驟均有 10sin 3sec 0 f 1 sin f 2 sin f 3 sin 0fsinfsinf6 sin2 0活動(dòng)讓學(xué)生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點(diǎn)并讓學(xué)生歸納出一些常見函數(shù)有意義的要求根據(jù)函數(shù)有意義的特征來求 自變量的范圍對(duì)于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時(shí)要結(jié) 合三角函數(shù)的定

40、義進(jìn)行求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時(shí) 正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略教師提醒學(xué)生應(yīng)引起注意這種情 況同時(shí)函數(shù)的定義域是一個(gè)集合所以結(jié)論要用集合形式表示 2k 2k kZZ式有意義必須 sin 0 且 tan 有意義由此推導(dǎo)出 的取值范圍就是函數(shù)的定義域域x2 要使函數(shù)有意義必須使 sinx 與 tanx 有意義有函數(shù) y incostan 2sin cos tan點(diǎn)評(píng)已知角 終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)由定義求角 的三角函數(shù)值3 角 0 90 180 270 360 角 的弧度數(shù) 0sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 -1 0 1tan 0 不存在 0 不存在 0 點(diǎn)評(píng)熟悉特殊角的三角函

41、數(shù)值角形內(nèi)角有關(guān)的三角函數(shù)值的符號(hào)5 1 正 2 負(fù) 3 零 4 負(fù) 5 正 6 正位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)或 2 或或或或象限的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)7 1 0874 6 2 3 05 4 1點(diǎn)評(píng)求三角函數(shù)值并進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定義及公式一課本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義并且討論了正弦余弦 正切函數(shù)的定義域任意角的三角函數(shù)實(shí)質(zhì)上是銳角三角函數(shù)的擴(kuò)展 是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺?biāo)與距離坐標(biāo)與坐標(biāo)的比記憶方 法可用銳角三角函數(shù)類比記憶至于三角函數(shù)的定義域可由三角函數(shù) 的定義分析得到本節(jié)課我們重點(diǎn)討論了兩個(gè)內(nèi)容一是三角函數(shù)在各 象限內(nèi)的符號(hào)二是一組公式兩者的作用分別是前者確定

42、函數(shù)值的符 容是我們?nèi)蘸髮W(xué)習(xí)的基礎(chǔ)經(jīng)常要用請(qǐng)同學(xué)們熟記作業(yè)關(guān)于三角函數(shù)定義法總的說來就兩種單位圓定義法與終邊定義 法這兩種方法本質(zhì)上是一致的正因?yàn)榇烁鞣N數(shù)學(xué)出版物中兩種定義 方法都有采用在學(xué)習(xí)本節(jié)的過程中可以與初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義 進(jìn)行類比學(xué)習(xí)理解任意角三角函數(shù)的定義不但是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān) 鍵也是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵在教學(xué)中教師應(yīng)該充分調(diào)動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思 考和總結(jié)的能力以鞏固對(duì)知識(shí)的理解和掌握教師在教學(xué)中始終引導(dǎo)學(xué)生緊扣三角函數(shù)的定義善于利用數(shù)形 結(jié)合在利用三角函數(shù)定義進(jìn)行求值時(shí)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)要注意橫向聯(lián)系即 不僅僅能求出該值還要善于觀察該值與其他三角函數(shù)值之間的聯(lián)系 出規(guī)律來求解設(shè)計(jì)者房增鳳 觀覽車

43、大家是否想過大觀覽車在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中座椅離地面的高度隨著 轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化而變化二者之間有怎樣的相依關(guān)系呢 將任意角的三角函數(shù)化成 0360角的三角函數(shù)的一組公式前面還 分析討論了三角函數(shù)的定義域這些內(nèi)容的研究都是建立在任意角的 三角函數(shù)定義之上的這些知識(shí)在以后我們繼續(xù)學(xué)習(xí)三角內(nèi)容時(shí)是經(jīng) 常反復(fù)運(yùn)用的請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必在理解的基礎(chǔ)上要加強(qiáng)記憶由三角函數(shù) 或者說是用數(shù)來表示的今天我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)正弦余弦正切函數(shù)的另一 種表示方法幾何表示法我們知道直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的 方向有關(guān)因此自然產(chǎn)生一個(gè)想法是以坐標(biāo)軸的方向來規(guī)定有向線段 的方向以使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來推進(jìn)新課提出問題 問題回憶上節(jié)課學(xué)習(xí)的

44、三角函數(shù)定義并思考三 角函數(shù)的定義能否用幾何中的方法來表示應(yīng)怎樣表示呢段 活動(dòng)指導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出單位圓設(shè)任意角 的 負(fù)值 弦余弦函數(shù)的定義就有 就有 tan AT 被看作帶有方向的線段叫做有向線段提出問題 問題怎樣把三角函數(shù)線與有向線段聯(lián)系在一起 當(dāng)角 的終邊變化時(shí)它們有什么變化 活動(dòng)師生共同討論最后一2 當(dāng)角 的終邊在 x 軸上時(shí)正弦線正切線都變成點(diǎn) 3 正弦線 余弦線正切線都是與單位圓有關(guān)的有向線段所以作某角的三角函數(shù) 作單位圓4 線段有兩個(gè)端點(diǎn)在用字母表示正弦線余弦線正切線時(shí)要先寫 起點(diǎn)字母再寫終點(diǎn)字母不能顛倒或者說含原點(diǎn)的線段以原點(diǎn)為起點(diǎn) 5 三種有向線段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反

45、方向一致三種有向線段的 三角函數(shù)值相同線正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線 上 的 射 影 分 別 為 點(diǎn) MN 則 sin _cos _tan _sin _cos _tan _活動(dòng)根據(jù)三角函數(shù)線的定義可知 sin MPcos OMtanATsin NQcos ONtan AT點(diǎn)評(píng)掌握三角函數(shù)線的作法注意用有向線段表示三角函數(shù)線時(shí) 書寫順序不能隨意顛倒利用三角函數(shù)線證明| sin | cos |1解當(dāng) 的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)正弦 或余弦 線變成一個(gè)點(diǎn)而余 邊 有| sin | cos | | OM | MP | 1| sin | cos |1 此寫出角 的集合 1 sin 2 sin 活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生畫出單位圓

46、對(duì)于 1 可設(shè)角 的終邊與單位圓 的角的終邊然后根據(jù)已知條件確定角 的范圍故滿足條件的角 的集合為 2k 或 2k kZ 的區(qū)域 如圖中的陰影部分 即為角 的終邊所在的范圍故滿足條件的角 的集合為 2k 2k kZ點(diǎn)評(píng)在解簡(jiǎn)單的特殊值 如等 的等式或不等式時(shí)應(yīng)首先在單 位圓內(nèi)找到對(duì)應(yīng)的終邊 作縱坐標(biāo)為特殊值的直線與單位圓相交連結(jié) 交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)作射線 一般情況下用 02 內(nèi)的角表示它然后畫出 滿足原等式或不等式的區(qū)域用集合表示出來 域cosxylgsinx活動(dòng)先引導(dǎo)學(xué)生求出 x 所滿足的條件這點(diǎn)要提醒學(xué)生注意 研究函數(shù)必須在自變量允許的范圍內(nèi)研究否則無意義再利用三角函 數(shù)線畫出滿足條件的角 x

47、 的終邊范圍求解時(shí)可根據(jù)各種約束條件利 解 1 由題意得 sinx0sin2x sinxx 2k 2k 2k 2k kZ 等式 2活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)證明恒等式的方法與步驟特別地在證明 三角恒等式時(shí)一般地是從較繁的一邊推向較簡(jiǎn)的一邊從方向上來推 證三角恒等式主要有三種推證方法即從左邊推向右邊從右邊推向左 邊左右兩邊同推向第三個(gè)式子有sin cos sec csc點(diǎn)評(píng)根據(jù)本題的特點(diǎn)被證式的左邊比較復(fù)雜故可由左邊證向右邊 邊 左邊 右邊故原等式成立知能訓(xùn)練解答 1 終邊在不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的情況包括三角 的同一三角函數(shù)的值相等點(diǎn)評(píng)利用單位圓中的三角函數(shù)線認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)未學(xué)性 統(tǒng)一要求2

48、 3 4 略 余都是近似數(shù) 圖略sin225 -07cos225 -07tan225 -1sincostan -058的三角函數(shù)線 概念與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來可以從數(shù)和形兩方面認(rèn)識(shí)三角函數(shù) 的定義并使得對(duì)三角函數(shù)的定義域函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律公式一等 點(diǎn)評(píng)反思單位圓中的三角函數(shù)線對(duì)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)概念的作用課 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有向線段的定義正弦線余弦線正切線的定義 這三種三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段其之所以特殊一是其與 坐標(biāo)軸平行 或重合 二是其與單位圓有關(guān)這些線段分別都可以表示 相應(yīng)三角函數(shù)的值所以說它們是三角函數(shù)的一種幾何表示三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)問題的重要工具利 用三角函

49、數(shù)線可以解或證明三角不等式求函數(shù)的定義域以及比較大 小三角函數(shù)線也是后面將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的圖象的作圖工具作業(yè)若 為銳角則 1 sin cos 1 2 sin2 cos2 1 yyxk -k kZ對(duì)于三角函數(shù)線開始時(shí)學(xué)生可能不是很理解教師應(yīng)該充分發(fā)揮 好圖象的直觀作用讓學(xué)生通過圖形來感知了解三角函數(shù)線的定義在 學(xué)生理解了正弦線余弦線正切線的定義后教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生會(huì)利用三 角函數(shù)線來發(fā)現(xiàn)總結(jié)歸納正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)的性質(zhì)以便為 以后更好地學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)打下良好的基礎(chǔ)教師要讓學(xué) 生對(duì)三角函數(shù)線了解即可要讓學(xué)生利用任意角的三角函數(shù)線來感知 對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)不要再向深處挖掘因?yàn)?/p>

50、三角函數(shù)線 能解決的問題都可以用三角函數(shù)的圖象來解決教師在教學(xué)中要搞好 師生互動(dòng)讓學(xué)生自己動(dòng)腦動(dòng)手多啟發(fā)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題提出問題解 決問題的能力讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和歸納總結(jié)知識(shí)的能力com數(shù)的基本關(guān)系與三角函數(shù)的定義域符號(hào)的確定一樣同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 式的推導(dǎo)緊扣了定義是按照一切從定義出發(fā)的原則進(jìn)行的通過對(duì)基 本關(guān)系的推導(dǎo)應(yīng)注意學(xué)生重視對(duì)基本概念學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣的形成學(xué) 會(huì)通過對(duì)基本概念的學(xué)習(xí)善于鉆研從中不斷發(fā)掘更深層次的內(nèi)涵接 或間接地聯(lián)系起來在使用時(shí)一要注意同角至于角的表達(dá)形式是至關(guān) k kZ 求出另外的兩個(gè)這是同角三角函數(shù)關(guān)系式的一個(gè)最基本功能在求值 時(shí)根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定角的終邊

51、的位置是關(guān)鍵和必要的有時(shí) 由于角的終邊的位置不確定因此解的情況不止一種解題時(shí)產(chǎn)生遺漏 的主要原因一是沒有確定好或不去確定終邊的位置二是利用平方關(guān) 系開方時(shí)漏掉了負(fù) com 函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)基本關(guān)系式并 能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明 一求二 2 化簡(jiǎn)三角函數(shù)式 3 證明三角恒等式通過本節(jié)的學(xué)習(xí)學(xué)生應(yīng)明了如何進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與三角恒等式的證明 三角恒等變形的能力樹立轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 課本的三個(gè)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用 思路 1 先請(qǐng)學(xué)生回憶任意角的三角函數(shù)定義然后引導(dǎo)學(xué)生先計(jì) 算后觀察以下各題的結(jié)果并鼓勵(lì)學(xué)生大膽進(jìn)行猜想教師點(diǎn)撥學(xué)生能 否用定義給

52、予證明由此展開新課計(jì)算下列各式的值ossincos提出問題 在以下兩個(gè)等式中的角是否都可以是任意角若 不能角 應(yīng)受什么影響 顯然當(dāng) 的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)這個(gè)公式也成立這就是說同一個(gè)角 的正弦余弦的平方和等于 1 商等于角 的 對(duì)于同一個(gè)角的正弦余弦正切至少應(yīng)知道其中的幾個(gè)值才能 其他的三角函數(shù)的值 活動(dòng)問題先讓學(xué)生 用自己的語言敘述同角三角函數(shù)的基本關(guān)系然后教師點(diǎn)撥學(xué)生思考 這兩個(gè)公式的用處同時(shí)啟發(fā)學(xué)生注意同一個(gè)角這個(gè)前提條件及使等 有意義的角的取值范圍 考正確的學(xué)生給予鼓勵(lì)對(duì)沒有思路的學(xué)生教師點(diǎn)撥其思考的方法最 一求二在上述兩個(gè)等式中不是所有的角都可以是任意角在第一個(gè)等 式中 可以是任意角在

53、第二個(gè)等式中 k kZ在上述兩個(gè)等式中只要知道其中任意一個(gè)就可以求出其余的 兩個(gè)知道正弦 余弦 就可以先求出余弦 正弦 用等式 1 進(jìn)而用第二 n活動(dòng)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)生應(yīng)熟練掌握先讓學(xué)生接 觸比較簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題明確和正確地應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系可以引 的值最容易求得在求cos 時(shí)需要進(jìn)行開平方運(yùn)算因此應(yīng)根據(jù)角 所 cos2 1-sin2 1- 2點(diǎn)評(píng)本題是直接應(yīng)用關(guān)系求解三角函數(shù)值的問題屬于比較簡(jiǎn)單 和直接的問題讓學(xué)生體會(huì)關(guān)系式的用法應(yīng)使學(xué)生清楚 tan 中的負(fù)號(hào)來自 是第二象限角這也是根據(jù) 商數(shù)關(guān)系直接運(yùn)算后的結(jié)果它不同于在選用平方關(guān)系式的三角函數(shù) 條件得出角的終邊只能在第二或第三象限

54、啟發(fā)學(xué)生思考僅有 cos 0 是不能確定角 的終邊所在的象限 tan 點(diǎn)評(píng)在已知角的一個(gè)三角函數(shù)值但是不知道角所在的象限的時(shí) 候應(yīng)先根據(jù)題目條件討論角的終邊所在的象限分類討論所有的情況 活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生思考討論角的終邊在什么位置能否直接利用 在坐標(biāo)軸上關(guān)于 sin cos tan 的關(guān)系式只有 tan 在這個(gè)式子 中必須知道其中兩個(gè)三角函數(shù)值才能求出第三個(gè)因此像這類問題的 求解不能一步到位需要公式的綜合應(yīng)用其步驟是先根據(jù)條件判斷角 的終邊的位置討論出現(xiàn)的所有情況然后根據(jù)討論的結(jié)果利用基本關(guān) 要求學(xué)生靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式進(jìn)行變形化簡(jiǎn)求解需要學(xué)生認(rèn)真細(xì)致分析題目的條件靈活運(yùn)用公式需要較高的思維層次 解

55、本題仿照上題可以比較順利完成求證 活動(dòng)先讓學(xué)生討論探究證明方法教師引導(dǎo)思考方向教 材中介紹了兩種證明方法證法一是從算式一邊到另一邊的證法算式 右邊的非零因式 1sin 在左邊沒有出現(xiàn)可考慮左邊式子的分子分母同乘以 1sinx 再化簡(jiǎn)在證法二中可以這樣分析要讓算式成立需證 方關(guān)系可知這個(gè)等式成立將上述分析過程逆推便可以證得原式成立證法二因?yàn)?1-sinx 1sinx 1-sin2x cos2x cosxcosxx 和證法二外你可否還有其他的證明方法教師和學(xué)生一起討論由此可 所以點(diǎn)評(píng)這是一道很有訓(xùn)練價(jià)值的經(jīng)典例題教師要充分利用好 這個(gè)題目從這個(gè)例題可以看出證明一個(gè)三角恒等式的方法有很多證 明一個(gè)等

56、式可以從它的任何一邊開始證得它等于另一邊還可以先證 得另一個(gè)等式成立從而推出需要證明的等式成立化簡(jiǎn) 活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生探究原式結(jié)果為 cos440時(shí)是不是最簡(jiǎn)形式還應(yīng)怎么辦教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用誘導(dǎo)公式一化簡(jiǎn)為 cos80由于 oscos點(diǎn)評(píng)恰當(dāng)利用平方關(guān)系和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式提醒學(xué)生注 意化簡(jiǎn)后的簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式應(yīng)盡量滿足以下幾點(diǎn) 1 所含的三角函數(shù)種類最少 2 能求值 指準(zhǔn)確值 的盡量求值 3 不含特殊角的三角 點(diǎn)評(píng)提醒學(xué)生注意 12sin cos sin2 cos2 2sin coss costan0374 1 cos tan cos sin2 5 1 左 sin2 cos2 sin2 -cos

57、2 sin2 -cos2 右2 左 sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 cos2 1 右課堂 及成立的條件根據(jù)一個(gè)任意角的正弦余弦正切中的一個(gè)值求出其 余的兩個(gè)值 可以簡(jiǎn)稱知一求二 時(shí)要注意這個(gè)角的終邊所在的位置 從而出現(xiàn)一組或兩組或四組 以兩組的形式給出知一求二的解題步驟一般為先確定角的終邊位置再根據(jù)基本關(guān) 系式求值若已知正弦或余弦則先用平方關(guān)系再用其他關(guān)系求值若已 造方程組求值教師和學(xué)生一起歸納三角函數(shù)式化簡(jiǎn)與三角恒等式的證明的一 般方法及應(yīng)注意的問題并讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)用到的思想方法作業(yè)的推導(dǎo)和應(yīng)用是本節(jié)課的重點(diǎn)也是本節(jié)課的難點(diǎn)公式的應(yīng)用實(shí)際上是求可化為完全平方的三角函數(shù)式的算

58、術(shù)平 方根的化簡(jiǎn)題和證明題這類問題可按下列情形分別處理符號(hào)可以確定則可以根據(jù)算術(shù)平 直接得到結(jié)果2 如果這個(gè)三角函數(shù)式的值的符號(hào)不可以確定則可根據(jù)題設(shè)條 件經(jīng)過合理的分類討論得到結(jié)果三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)體現(xiàn)了由繁到簡(jiǎn)的最基本的數(shù)學(xué)解題原則它 不僅需要學(xué)生能熟悉和靈活運(yùn)用所學(xué)的三角公式還需要熟悉和靈活 運(yùn)用這些公式的等價(jià)形式同時(shí)這類問題還具有較強(qiáng)的綜合性對(duì)其他 非三角知識(shí)的靈活運(yùn)用也具有較高的要求在教學(xué)時(shí)要注意進(jìn)行相關(guān) 證明恒等式的過程實(shí)質(zhì)上就是分析轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊差異來 促成統(tǒng)一的過程證明時(shí)常用的方法一般有以下三種式一邊開始證明它等于另一邊證 2 依據(jù)等于同量的兩個(gè)量相等證明左右兩邊等于同一個(gè)式

59、子 3依據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立從而推出原式 教材上在運(yùn)用這一方法時(shí)使用的是綜合法初學(xué)恒等式的證明時(shí) 運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法可以使證明的思路更清楚一些實(shí)際上使用綜合 法時(shí)不一定要求進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化只需證明等式成立的充分條件即可 教 師知道即可 證明方法中分別運(yùn)用到了分式的基本性質(zhì)和算式的基本 使學(xué)生明白如果算式中含有正弦余弦正切等三角函數(shù)為了便于 將算式兩邊溝通可通過切化弦使兩邊的三角函數(shù)相同本節(jié)主要是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二三四并利用它們解決一些求解化簡(jiǎn) 本小節(jié)介紹的五組誘導(dǎo)公式在內(nèi)容上既是公式一的延續(xù)又是后 繼學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)它們與公式一組成的六組誘導(dǎo)公式用于解決求任 意角的三角函數(shù)值的問

60、題以及有關(guān)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)證明等問題在誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)中化歸思想貫穿始末這一典型的數(shù)學(xué)思想無 論在本節(jié)中的分析導(dǎo)入還是利用誘導(dǎo)公式將求任意角的三角函數(shù)值 轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值均清晰地得到體現(xiàn)在教學(xué)中注意數(shù)學(xué)思 想滲透于知識(shí)的傳授之中讓學(xué)生了解化歸思想形成初步的化歸意識(shí) 特別是在本課時(shí)的三個(gè)轉(zhuǎn)化問題引入后為什么確定180 角為第一 研究對(duì)象- 角為第二研究對(duì)象正是化歸思想的運(yùn)用公式二公式三與公式四中涉及的角在本課的分析導(dǎo)入時(shí)為不大 于 90的非負(fù)角但是在推導(dǎo)中卻把 拓廣為任意角這一思維上的轉(zhuǎn) 折使學(xué)生難以理解甚至?xí)?dǎo)致對(duì)其必要性的懷疑因此它成為本課時(shí) 課本例題實(shí)際上是誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用難點(diǎn)在于需